シャッフル代数

数学において、シャッフル代数は、ある集合上の単語に対応する基底を持つホップ代数であり、その積は2 つの単語X、 Y のシャッフル積 X ⧢ Yで与えられます。これは、単語 X 、 Yを織り交ぜるすべての方法の合計です。この織り交ぜ方は、リッフルシャッフル順列によって与えられます。

有限集合上のシャッフル代数は、その集合上の自由リー代数の普遍包絡代数の次数付き双対です。

有理数上では、シャッフル代数はリンドン語における多項式代数と同型です。

シャッフル積は、非可換代数の一般的な設定で発生します。これは、掛け合わせられる因数の相対的な順序、つまりリフルシャッフル順列を保存できるためです。これは、因数が可換である場合に適切となる分割されたべき乗構造とは対照的に考えられます。

シャッフル製品

長さmとnの単語のシャッフル積は、⁠( m + n )!/m ! n !⁠次の例に示すように、2 つの単語を交互に配置する方法は 2 つあります。

ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab

ああ⧢ああ= 10ああああ

これは次のように帰納的に定義できる^[1]

u ⧢ ε = ε ⧢ u = u

ua ⧢ vb = ( u ⧢ vb ) a + ( ua ⧢ v ) b

ここで、ε は空の単語、aとbは単一の要素、uとv は任意の単語です。

シャッフル積は、アイレンバーグとマックレーン（1953）によって導入されました。「シャッフル積」という名前は、この積が2つの単語をリフルシャッフルするすべての方法の合計であると考えられることから来ています。これがリフルシャッフル順列です。この積は交換可能で結合的です。^[2]

いくつかのアルファベットでは、2 つの単語のシャッフル積は、シャッフル積記号⧢ ( Unicode文字 U+29E2 SHUFFLE PRODUCT 、キリル文字⟨ш⟩ shaに由来) で表されることが多いです。

浸透製品

これによく似た浸透積は、 Chen、Fox、Lyndon (1958) によって導入された。これはアルファベットA上の単語に対して帰納的に定義される。

fa ↑ ga = ( f ↑ ga ) a + ( fa ↑ g ) a + ( f ↑ g ) a

fa ↑ gb = ( f ↑ gb ) a + ( fa ↑ g ) b

例えば：

ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab

ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2 abba + 2 baab + baba

浸透積も交換可能かつ結合的である。^[3]

参照

参考文献

^ ロテール 1997、101,126 ページ
^ ロテール 1997、126 ページ
^ ロテール 1997、128 ページ

陳国蔡;フォックスラルフ H .;リンドンロジャー C. (1958)、「自由微分積分学 IV. 下中心級数の商群」、数学年報、第 2 シリーズ、68 (1): 81–95、doi :10.2307/1970044、JSTOR 1970044、MR 0102539、Zbl 0142.22304
アイレンバーグ、サミュエル;マックレーン、サンダース(1953)、「H(Π,n) の群について。I」、数学年報、第 2 シリーズ、58 (1): 55–106、doi :10.2307/1969820、ISSN 0003-486X、JSTOR 1969820、MR 0056295、Zbl 0050.39304
Green、JA (1995)、シャッフル代数、リー代数と量子群、Textos de Matemática。セリエB、vol. 9、コインブラ: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, MR 1399082
Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「シャッフル代数」、数学百科事典、EMS Press
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010)、「代数、環、モジュール。リー代数とホップ代数」、数学サーベイおよびモノグラフ、第 168 巻、アメリカ数学会、doi :10.1090/surv/168、ISBN 978-0-8218-5262-0、MR 2724822、Zbl 1211.16023
Lothaire, M. (1997)、「単語の組合せ論」、数学とその応用百科事典、第 17 巻、Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, JE; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, MP; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo。Roger Lyndon による序文 (第 2 版)、Cambridge University Press、ISBN 0-521-59924-5、Zbl 0874.20040
ロイテナウアー、クリストフ（1993）、自由リー代数、ロンドン数学協会モノグラフ。新シリーズ、第7巻、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853679-6、MR 1231799、Zbl 0798.17001

外部リンク

シャッフル積記号

[1] ロテール 1997、101,126 ページ

[L126-2] ロテール 1997、126 ページ

[L128-3] ロテール 1997、128 ページ