普遍幾何代数

数学において、普遍幾何代数は、不定二次形式を備えた実ベクトル空間によって生成される一種の幾何代数である。一部の著者はこれを無限次元の場合に限定している。

$2$ $2$ $n$ の普遍幾何代数 $($ $n$ $,$ $n$ $)は、$ $2$ $n$ 次元擬ユークリッド空間 $R$ $n$ $,$ $n$ のクリフォード代数として定義されます。^{[1]この代数は「母代数」とも呼ばれます。これは非退化シグネチャを持ちます。この空間のベクトルは}幾何積を通じて代数を生成します。この積により、ベクトルの操作は非可換ではありますが、よく知られた代数規則に近くなります。 ${\mathcal {G}}$

$n = \infty$ 、つまり次元が可算な場合、 $(\infty, \infty) は単に$ 普遍幾何代数 (UGA)と呼ばれ、 $R$ $p$ $、$ $q$ などのベクトル空間とそれぞれの幾何代数 $($ $p$ $、$ $q$ $)$ を含みます。 ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$

UGA にはすべての有限次元幾何代数 (GA) が含まれます。

$UGA の要素はマルチベクトルと呼ばれます。すべてのマルチベクトルは、複数のr$ ベクトルの合計として表すことができます。一部のrベクトルは、スカラー( $r = 0$ )、ベクトル( $r = 1$ )、およびバイベクトル( $r = 2$ )です。

$単位擬似スカラー（ I$ ）を選択することで有限次元GAを生成することができる。

a\wedge I=0

はベクトル空間です。このベクトル空間のベクトルの幾何積は、 $I$ がメンバーである GA を定義します。すべての有限次元 GA は一意の $I$ (符号を除く) を持つため、それによって GA を定義したり特徴付けたりすることができます。擬似スカラーは、 $n$ 次元ベクトル空間の単位面積の $n$ 平面セグメントとして解釈できます。

ベクトル多様体

ベクトル多様体は、UGA におけるベクトルの特別な集合です。^[2]これらのベクトルは、ベクトル多様体に接する線形空間の集合を生成します。ベクトル多様体は、多様体に対する微分積分を行うために導入されたため、（微分可能な）多様体をベクトル多様体と同型の集合として定義できます。その違いは、ベクトル多様体は代数的に豊富であるのに対し、多様体はそうではないという点にあります。これがベクトル多様体の主な動機であるため、次の解釈は有益です。

ベクトル多様体を「点」の特別な集合として考えてみましょう。これらの点は代数のメンバーであるため、加算および乗算できます。これらの点は、各点に一定の次元の接線空間を生成します。この接線空間は、ベクトル多様体の点の関数である (単位)擬似スカラーを生成します。ベクトル多様体は擬似スカラーによって特徴付けられます。擬似スカラーは、単位面積の接線方向の $n$ 平面セグメントとして解釈できます。これを念頭に置くと、多様体はすべての点で局所的に $R n$ のように見えます。

ベクトル多様体は完全に抽象的なオブジェクトとして扱うことができますが、代数のすべての要素が幾何学的オブジェクトを表し、加算や乗算などの代数演算が幾何学的変換に対応するように、幾何代数が作成されます。

UGAのベクトル集合 ${x} = M n$ $を考えてみましょう。このベクトル集合が「接線」単純(n + 1)$ ベクトルの集合を生成する場合、つまり

\forall x\in M^{n}:\exists I_{n}(x)=x\wedge A(x)\mid I_{n}(x)\lor M_{n}=x

$M n は$ ベクトル多様体で、 $A$ の値は単純な $n$ ベクトルの値です。これらのベクトルを点として解釈すると、 $I n (x) は$ $x$ で $M n$ に接する代数の擬スカラーです。 $I$ $n$ $($ $x$ $)は、$ 向き付けられた $n$ 平面での単位面積として解釈できます。これが $n$ でラベル付けされる理由です。関数 $I$ $n は、$ $これらの接n$ 平面の $M$ $n$ 上の分布を与えます。

ベクトル多様体は、特定の GA を定義する方法と同様に、単位擬似スカラーによって定義されます。集合 ${x}$ は、スカラーによる加算と乗算では閉じられません。この集合はベクトル空間ではありません。すべての点で、ベクトルは一定の次元の接線空間を生成します。この接線空間のベクトルは、ベクトル多様体のベクトルとは異なります。元の集合と比較すると、それらはバイベクトルですが、線形空間 (接線空間) にまたがるため、ベクトルとも呼ばれます。この空間の次元が多様体の次元であることに注意してください。この線形空間は代数を生成し、その単位擬似スカラーはベクトル多様体を特徴付けます。これが、抽象ベクトルの集合 ${x} が$ ベクトル多様体を定義する方法です。「点」の集合が「接線空間」を生成すると、すぐに「接線代数」とその「擬似スカラー」が続きます。

ベクトル多様体の単位擬スカラーは、ベクトル多様体上の点の（擬スカラー値の）関数です。つまり、この関数が滑らかであれば、ベクトル多様体は滑らかであると言えます。^[3]多様体は、ベクトル多様体に同型な集合として定義できます^{[どのように？ ]}。多様体の点は代数構造を持たず、集合自体にのみ関係します。これが、ベクトル多様体と同型の多様体の主な違いです。ベクトル多様体は、定義により常に普遍幾何代数のサブセットであり、要素は代数的に操作できます。対照的に、多様体はそれ自身以外の集合のサブセットではありませんが、要素間には代数的な関係はありません。

多様体の微分幾何学^[3]はベクトル多様体で実行できます。微分幾何学に関連するすべての量は、微分可能関数である場合、 $I n (x)から計算できます。これが、ベクトル多様体の定義の背後にある本来の動機です。ベクトル多様体は、$ メトリック、接続、ファイバーバンドルなどの構造が必要に応じて導入される「ビルドアップ」アプローチに代わる、多様体の微分幾何学へのアプローチを可能にします。 ^[4]ベクトル多様体の関連する構造は、その接線代数です。幾何学的計算とベクトル多様体の定義を使用すると、座標を使用せずに多様体の幾何学的特性を研究できます。

参照

共形幾何代数

参考文献

^ ポソ、ホセ・マリア;ソプチク、ギャレット。線形代数と幾何学における幾何代数
^ 第 1 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ
^ ab 第 4 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ
^ 第 5 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ

D. Hestenes、G. Sobczyk (1987-08-31)。Clifford Algebra to Geometric Calculus: a Unified Language for mathematical and physics. Springer. ISBN 902-772-561-6。
C. Doran、A. Lasenby (2003-05-29)。「6.5 埋め込み面とベクトル多様体」。物理学者のための幾何代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-715-954。
L. Dorst、J. Lasenby (2011)。「19」。実践的幾何代数ガイド。Springer。ISBN 0-857-298-100。
Hongbo Li (2008)。不変代数と幾何学的推論。World Scientific。ISBN 981-270-808-1。

[1] ポソ、ホセ・マリア;ソプチク、ギャレット。線形代数と幾何学における幾何代数

[2] 第 1 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ

[four-3] 第 4 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ

[4] 第 5 章: [D. Hestenes & G. Sobczyk] クリフォード代数から幾何微積分へ