ねじ理論

ねじ理論は、剛体の運動学と動力学で生じる角速度と線速度、力とモーメントなど、双対ベクトル^[1]としても知られるベクトルのペアの代数計算です。^{[2] [3]}

ねじ理論は、剛体力学の中心となる線の幾何学を数学的に 定式化するもので、線は空間運動のねじ軸と力の作用線を形成します。線のプルッカー座標を形成するベクトルのペアは単位ねじを定義し、一般的なねじは実数のペアの乗算とベクトルの加算によって得られます。^[4]

ねじ理論の重要な定理には、次のものがあります。転送原理は、ベクトルを使用した点の幾何学的計算は、ベクトルをねじに置き換えることによって得られる線の幾何学的計算と平行であることを証明します。 ^[1] シャスルの定理は、 2つの剛体の姿勢間の任意の変更が単一のねじで実行できることを証明します。 ポアンソの定理は、剛体の主軸と副軸（中間軸ではない）の周りの回転は安定していることを証明します。

ねじ理論はロボット力学^{[5] [6] [7] [8]}、機械設計、計算幾何学、多体力学において重要なツールです。これは、剛体運動を補間するために使用されてきたねじとデュアルクォータニオンの関係によるところが大きいです。^[9]ねじ理論に基づいて、並列機構（並列マニピュレータまたは並列ロボット）の型合成のための効率的なアプローチも開発されました。^[10]

剛体の空間変位は、直線の周りの回転と、同じ直線に沿った移動によって定義され、これを「回転」と呼ぶ。スクリュー運動。これは、シャレスの定理として知られています。スクリュー運動を定義する 6 つのパラメータは、スクリュー軸を定義するプルッカー ベクトルの 4 つの独立した成分と、この線に沿った回転角と直線スライドであり、スクリューと呼ばれるベクトルのペアを形成します。比較すると、空間変位を定義する 6 つのパラメータは、回転を定義する 3 つのオイラー角と、並進ベクトルの 3 つの成分によっても表すことができます。

ねじは、力やトルク、直線速度や角速度など、空間剛体運動の研究で生じる 3 次元ベクトルのペアから構成される 6 次元ベクトルです。ねじのコンポーネントは、空間内の線のプルッカー座標と、線に沿ったベクトルの大きさ、およびこの線周りのモーメントを定義します。

ねじれは、剛体の速度を軸の周りの角速度とこの軸に沿った線速度として表すために使用されるねじです。剛体内のすべてのポイントは軸に沿った速度の同じ成分を持ちますが、軸からの距離が大きいほど、この軸に垂直な平面内の速度が大きくなります。したがって、移動する剛体の速度ベクトルによって形成される螺旋状のフィールドは、ポイントがねじれ軸から放射状に離れるほど平坦になります。

一定のねじれ運動をしている物体の点は、固定フレーム内で螺旋を描きます。このねじれ運動のピッチがゼロの場合、軌道は円を描き、動きは純粋な回転になります。ねじれ運動のピッチが無限大の場合、軌道はすべて同じ方向の直線になります。

ニュートンの法則を剛体に適用する際に生じる力とトルクのベクトルは、レンチと呼ばれるネジにまとめることができます。力には作用点と作用線があるため、空間内の線のプルッカー座標を定義し、ピッチはゼロです。一方、トルクは空間内の線に束縛されない純粋なモーメントであり、無限ピッチのネジです。これら 2 つの大きさの比がネジのピッチを定義します。

ねじを順序付きペアと する

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

ここで、SとV は3 次元の実数ベクトルです。これらの順序付きペアの和と差は、成分ごとに計算されます。ねじは、しばしば双対ベクトルと呼ばれます。

ここで、実数の順序付きペアâ = ( a , b )を導入します。これはデュアルスカラーと呼ばれます。これらの数の加算と減算を成分ごとに行い、乗算を次のように定義します。 ねじS = ( S , V )とデュアルスカラーâ = ( a , b )の乗算は、成分ごとに計算すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\hat {\mathsf {c}}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).}$$$${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a \mathbf {V} +b\mathbf {S} ).}$$

最後に、ねじの点積と外積を次の式で導入します。 はデュアルスカラーで、 はねじです。ねじの点積と外積はベクトル代数の恒等式を満たし、ベクトル代数の計算と直接並行する計算を可能にします。 $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=( \mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$$${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ),}$$

双対スカラーẑ = ( φ , d )が双対角度を定義すると、正弦と余弦の無限級数定義によって、 やはり双対スカラーである関係式が得られます。一般に、双対変数の関数はf (ẑ) = ( f ( φ ), df ′( φ ))と定義されます。ここで、df ′( φ ) はf ( φ )の導関数です 。 $${\displaystyle \sin {\hat {\mathsf {z}}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {\mathsf {z}}}= (\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}$$

これらの定義により、次の結果が得られます。

• 単位ねじは直線のプルッカー座標であり、次の関係を満たす。$${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$$
• ẑ = ( φ , d )を双対角とします。ここでφはS と T の軸が共通法線を中心としてなす角度、d は共通法線に沿ったこれらの軸間の距離です。$${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {\mathsf {z}}};}$$
• NをS軸とT軸の共通法線を定義する単位ねじとし、ẑ = ( φ , d )をこれらの軸間の双角とすると、$${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {\mathsf {z}}}{\mathsf {N}}.}$$

ねじの一般的な例としては、剛体に作用する力と関連したレンチが挙げられます。力Fの作用点をPとし、この点を固定フレームに配置するベクトルをPとします。レンチW = ( F , P × F )はねじです。剛体に作用するすべての力F _i、i = 1, ..., nから得られる合力とモーメントは、個々のレンチ W _iの合計です。つまり、

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

2つの等しいが反対の力Fと-Fがそれぞれ点Aと点Bに作用する場合、結果として次の式が得られる ことに留意してください。

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

これは、形状のネジが

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

純粋な瞬間として解釈することができます。

剛体のねじれを定義するには、空間変位のパラメータ化された集合D( t ) = ([A( t )], d ( t ))によって定義される剛体の運動を考慮する必要があります。ここで、[A] は回転行列、d は並進ベクトルです。これにより、運動体の座標に固定された点p は、固定フレーム内で 曲線P (t) を描きます。

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

Pの速度は

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

ここでvは移動フレームの原点の速度、すなわちd d /dtである。この式にp  = [ A ^T ]( P  −  d )を代入すると、

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

ここで[Ω] = [d A /d t ][ A ^T ]は角速度行列、ωは角速度ベクトルです。

ネジ

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

は運動体のねじれです。ベクトルV  =  v  +  d  ×  ωは、固定フレームの原点に対応する物体内の点の速度です。

2つの重要な特別なケースがあります。(i) dが定数、つまりv  = 0の場合、ねじれは直線の周りの純粋な回転であり、ねじれは

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

(ii) [Ω] = 0、つまり物体が回転せずv方向にのみスライドする場合、ねじれは次のように表される純粋なスライドである。

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

回転関節の場合、回転軸が点qを通りベクトルωに沿って向くと、関節のねじれは次のように表される。

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\q\times {\boldsymbol {\omega }}\end{Bmatrix}}.}$

直動ジョイントの場合、ベクトルvがスライドの方向を定義すると、ジョイントのねじれは次のように表されます。

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

ネジの座標変換は、線上の点の座標の変換から得られる線のプルッカー ベクトルの座標変換から始めると簡単に理解できます。

物体の変位をD  = ([ A ],  d )で定義する。ここで[ A ]は回転行列、dは並進ベクトルである。物体内の2点pとqで定義される線を考え、その線はプルッカー座標を持つ。

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

すると、固定フレームでは変換された点の座標P  = [ A ] p  +  dとQ  = [ A ] q  +  dが得られ、次のようになります。

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

したがって、空間変位は、次のように表される線のプルッカー座標の変換を定義する。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

行列[ D ]は、外積演算を実行する歪対称行列です。つまり、[ D ] y  =  d  ×  yです。

空間変位D  = ([ A ],  d )から得られる6×6行列は、双対行列に組み立てられる。

${\displaystyle [{\hat {\mathsf {A}}}]=([A],[DA]),}$

これをスクリューs  = ( s . v ) に作用させて、

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {\mathsf {A}}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

双対行列[Â] = ([ A ], [ DA ])は行列式が1であり、双対直交行列と呼ばれます。

パラメータ化された4x4同次変換によって定義された剛体の動きを考えてみましょう。

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

この表記では、 P = ( X、Y、Z、 1) とP = ( X、Y、Z )を区別しませんが、これは文脈上明らかであると考えられます。

この動きの速度は、物体内の点の軌道の速度を計算することによって定義されます。

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

ドットは時間に関する微分を表し、pは定数なのでその微分はゼロになります。

pの逆変換を速度方程式に代入して、軌道P ( t )に作用してPの速度を得る。つまり、

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

どこ

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

[Ω]は角速度行列であることを思い出してください。行列[ S ]は同次変換のリー群SE (3)のリー代数se (3)の要素です。[ S ]の成分はツイストスクリューの成分であり、このため[ S ]はツイストとも呼ばれます。

行列[ S ]の定義から、常微分方程式を定式化することができる。

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

一定のねじれ行列[ S ]を持つ動き[ T ( t )]を求める。解は指数行列である。

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

この定式化は一般化することができ、 SE( n )における初期配置g (0)とse( n )におけるねじれξが与えられた場合、新しい位置と方向への同次変換は、次の式で計算できる。

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

ここで、θ は変換のパラメータを表します。

変換幾何学では、変換の基本概念は鏡映（数学）です。平面変換では、平行線の鏡映によって平行移動が得られ、交差する 1 対の直線の鏡映によって回転が得られます。同様の概念からねじ変換を生成するには、空間内の平面を使用する必要があります。平行平面は、ねじの回転を生成する交差平面の交線であるねじ軸に垂直である必要があります。したがって、平面での 4 つの鏡映によってねじ変換が実行されます。反転幾何学の伝統は、射影幾何学のアイデアの一部を借用し、解析幾何学に依存しない変換の言語を提供します。

ねじの変位によって生じる並進と回転の組み合わせは、指数写像で表すことができます。

双対数の場合、 ε ² = 0なので、 exp( aε ) = 1 + aεとなり、指数級数のその他の項はすべて消滅します。

F = {1 + εr  : r ∈ H }, ε ² = 0とします。任意のベクトル四元数rと sに対して、 F は回転q → p −1 ^qpと変換(1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s )に対して安定であることに注意してください。 F は、8 次元の双対四元数空間の3 平面です。この 3 平面F は空間 を表し、Fに制限された構築されたホモグラフィは空間のスクリュー変位です。

a をr軸周りの所望の回転角度の半分、br をねじ軸上の変位の半分とします。すると、z = exp(( a + bε ) r )およびz * = exp(( a − bε ) r )となります。すると、ホモグラフィは次のようになります 。

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz:z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz:1].}$

z * の逆関数は

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

したがって、ホモグラフィはqを

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

ここで、任意の四元数ベクトルp、p * = − pに対して、q = 1 + pε ∈ Fとし、必要な回転と平行移動が実行されます。

明らかに、双対四元数環の単位群はリー群です。サブグループには、パラメータarとbsによって生成されるリー代数があります。ここで、a、b ∈ R、およびr、s ∈ Hです。これらの 6 つのパラメータは、単位のサブグループである単位球面を生成します。もちろん、これにはFとベルソルの3 次元球面が含まれます。

剛体の点X ₁、X _{2 、} ... X _nに作用する力の集合 F ₁、F ₂ ... F _nを考える。X i、i  = 1、 ...、nの軌道は、回転 [ A ( t )] を伴う剛体の動きと、物体内の基準点の 移動d ( t ) によって定義され、次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

ここで、x _{i は}移動体の座標です。

各点X _iの速度は

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

ここでωは角速度ベクトル、vはd ( t )の微分です。

各点の 変位δ r _i = v _i δtに対する力の仕事は次のように与えられる。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

各点の速度を運動体のねじれに基づいて定義すると、

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

この式を展開し、ωとvの係数を集めると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

運動体のねじれとそれに作用するレンチを導入し、

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

仕事は形をとる

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

6×6行列[Π]は、ねじを使った仕事の計算を簡略化するために使用され、

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

どこ

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

[I]は3×3の単位行列です。

レンチのねじれに対する仮想仕事がゼロの場合、レンチの力とトルクはねじれに対する拘束力となります。レンチとねじれは相反的であると 言われます。

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

すると、ねじWとT は相互になります。

ロボットシステムの研究では、仕事の計算で6×6行列[Π]を必要としないために、ねじれの成分を転置することがよくある。^[1] この場合、ねじれは次のように定義される。

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

したがって仕事の計算は次のようになる

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

この場合、

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

レンチ W はねじれ T と逆になります。

この数学的枠組みは、1876年にロバート・スタウェル・ボール卿によって、機構の運動学と静力学（剛体力学）への応用のために開発されました。 ^[4]

フェリックス・クラインは、楕円幾何学とエアランゲン・プログラムの応用としてねじ理論を考えた。^[11]彼はまた、楕円幾何学と、ケーリー・クライン計量を用いたユークリッド幾何学の新しい見方を考案した。ねじに適用されたフォン・シュタウトの円錐曲線と計量の対称行列の使用は、ハーヴェイ・リプキンによって説明されている。^{[12]他の著名な貢献者には、}ジュリアス・プリュッカー、WKクリフォード、FMディメントバーグ、ケネス・H・ハント、JRフィリップスがいる。^[13]

変換幾何学におけるホモグラフィの考え方は、1 世紀以上前にソフス・リーによって提唱されました。それより以前には、ウィリアム・ローワン・ハミルトンが単位四元数のバーサー形式を exp( ar )= cos a + r sin aとして示しました。この考え方は、複素平面上の単位円をパラメータ化するオイラーの公式にも見られます。

ウィリアム・キングドン・クリフォードは運動学に双対四元数の使用を開始し、その後アレクサンドル・コテルニコフ、エドゥアルト・スタディ（運動の幾何学）、ヴィルヘルム・ブラシュケが続いた。しかし、ソフス・リーの観点が再び取り上げられた。^[14] 1940年、ジュリアン・クーリッジは『幾何学的手法の歴史』の261ページで、ねじの変位に双対四元数を使用することを説明した。彼は1885年のアーサー・ブッフハイムの貢献に言及している。^[15]クーリッジは、ハミルトンが実四元数に使用したツールに基づいて説明を単純に行った。

• ねじ軸
• ニュートン・オイラー方程式では、ねじを使用して剛体の動きと荷重を記述します。
• ツイスト（微分幾何学）
• ツイスト（有理三角法）

• ジョー・ルーニー ウィリアム・キングドン・クリフォード、ロンドンオープン大学デザイン・イノベーション学部。
• Ravi Banavar によるロボット工学、幾何学、制御に関するノート