単位代数 外積代数の準同型性
幾何代数学 において 、 ベクトル空間 間の 線型関数 の 外同型は、任意の 多重ベクトル への写像の自然な拡張である 。 外代数 の 唯一の 単位代数準同型 である。 [a]
意味 を からへ の -線型写像 と する。 の 外同型へ の拡張は 、
ふ
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
五
{\displaystyle V}
わ
{\displaystyle W}
ふ
{\displaystyle f}
ふ
_
: ⋀ （ 五 ） → ⋀ （ わ ）
{\displaystyle \textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (W)}
ふ
_
（ 1 ） = 1
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}
ふ
_
（ x ） = ふ （ x ）
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(x)=f(x)}
ふ
_
（ あ ∧ B ） =
ふ
_
（ あ ） ∧
ふ
_
（ B ）
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)\wedge {\underline {\mathsf {f}}}(B)}
ふ
_
（ あ + B ） =
ふ
_
（ あ ） +
ふ
_
（ B ）
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)+{\underline {\mathsf {f}}}(B)}
すべてのベクトル とすべての多重ベクトル およびに対して 、 となります。ここで は 上 の外積代数 を表します 。つまり、外積代数間の単位 代数準同型 が外積代数です。
x
{\displaystyle x}
あ
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
⋀ （ 五 ）
{\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}
五
{\displaystyle V}
外同型は元の線型写像の線型性特性を継承します。たとえば、スカラー 、 およびベクトル 、、、の場合、 外同型は双ベクトルに対して線型である
ことがわかります。
α
{\displaystyle \alpha}
β
{\displaystyle \beta}
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
ず
{\displaystyle z}
ふ
_
（ α x ∧ ず + β ええ ∧ ず ）
=
ふ
_
（ （ α x + β ええ ） ∧ ず ）
= ふ （ α x + β ええ ） ∧ ふ （ ず ）
= （ α ふ （ x ） + β ふ （ ええ ） ） ∧ ふ （ ず ）
= α （ ふ （ x ） ∧ ふ （ ず ） ） + β （ ふ （ ええ ） ∧ ふ （ ず ） ）
= α
ふ
_
（ x ∧ ず ） + β
ふ
_
（ ええ ∧ ず ） 、
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}}
これは、上記の加法上の分配公理を通じて、すべての多重ベクトル上の線形性に拡張されます。
副次的 を外同型と する。 の 随伴を 、次の性質を満たす外同型と
定義する。
f
_
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}}
f
¯
{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}}
f
¯
(
a
)
⋅
b
=
a
⋅
f
_
(
b
)
{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)\cdot b=a\cdot {\underline {\mathsf {f}}}(b)}
すべてのベクトル およびに対して 、 は 非退化対称双線形形式（ベクトルのスカラー積）です。
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
⋅
{\displaystyle \cdot }
その結果、
f
¯
(
A
)
∗
B
=
A
∗
f
_
(
B
)
{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(A)*B=A*{\underline {\mathsf {f}}}(B)}
すべての多重ベクトル およびに対して 、 は 多重ベクトル のスカラー積 です 。
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
∗
{\displaystyle *}
幾何計算 が利用できる場合は 、副関数をより直接的に抽出できます。
f
¯
(
a
)
=
∇
b
⟨
a
f
_
(
b
)
⟩
.
{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)=\nabla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}}}(b)\right\rangle .}
上記の 随伴関数の定義は、行列理論における 転置関数 の定義に似ています 。文脈が明確な場合は、 関数の下の
下線は省略されることがよくあります。
プロパティ 冒頭の定義から、多重ベクトルの外同型 は次数保存的であることが分かる。
A
{\displaystyle A}
f
_
(
⟨
A
⟩
r
)
=
⟨
f
_
(
A
)
⟩
r
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(\left\langle A\right\rangle _{r})=\left\langle {\underline {\mathsf {f}}}(A)\right\rangle _{r}}
ここで、表記は の -ベクトル部分を 示します 。
⟨
⟩
r
{\displaystyle \langle ~\rangle _{r}}
r
{\displaystyle r}
A
{\displaystyle A}
任意のベクトル は と表記できるため 、スカラーは の影響を受けないことになります 。 [b] 同様に、スカラー乗数 まで 擬似スカラーは 1 つしかないため、 である必要があります 。 行列式は 比例係数として定義されます。
x
{\displaystyle x}
x
=
1
∧
x
{\displaystyle x=1\wedge x}
f
_
(
1
)
=
1
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}
f
_
(
I
)
∝
I
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(I)\propto I}
det
f
=
f
_
(
I
)
I
−
1
{\displaystyle \det {\mathsf {f}}={\underline {\mathsf {f}}}(I)I^{-1}}
この文脈では、関数の行列式はその随伴関数の行列式と同じなので、下線は必要ありません。関数の合成の行列式は、行列式の積です。
det
(
f
∘
g
)
=
det
f
det
g
{\displaystyle \det({\mathsf {f}}\circ {\mathsf {g}})=\det {\mathsf {f}}\det {\mathsf {g}}}
関数の行列式がゼロでない場合、その関数の逆関数は次の式で表される。
f
_
−
1
(
X
)
=
f
¯
(
X
I
)
I
−
1
det
f
=
f
¯
(
X
I
)
[
f
¯
(
I
)
]
−
1
,
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},}
そしてその随伴関数も同様であり、
f
¯
−
1
(
X
)
=
I
−
1
f
_
(
I
X
)
det
f
=
[
f
_
(
I
)
]
−
1
f
_
(
I
X
)
.
{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}
固有値と固有ベクトル の概念は 外同型に一般化できる。 を実数とし 、 を 次数 の（非ゼロの）ブレードとする。 が 固有値 を持つ関数の 固有 ブレードである とは、 のとき言う。
λ
{\displaystyle \lambda }
B
{\displaystyle B}
r
{\displaystyle r}
B
{\displaystyle B}
λ
{\displaystyle \lambda }
f
_
(
B
)
=
λ
B
.
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(B)=\lambda B.}
線形代数では、すべての要素が実数である行列の固有値は複素固有値を持つことができるため、実固有値のみを考慮するのは奇妙に思えるかもしれません。しかし、幾何代数では、異なる等級のブレードが複雑な構造を示すことがあります。ベクトルと擬似ベクトルはどちらも固有ブレードとして動作できるため、通常の線形代数で見られる複素固有値の自由度に一致する一連の固有値を持つ場合があります。
例 シンプルな地図 恒等写像 と スカラー射影演算子は外同型です。
ヴェルソル 回転子 によるベクトルの回転は 次のように表される。
R
{\displaystyle R}
f
(
x
)
=
R
x
R
−
1
{\displaystyle f(x)=RxR^{-1}}
外同型性を持つ
f
_
(
X
)
=
R
X
R
−
1
.
{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(X)=RXR^{-1}.}
これが外同型の正しい形であることを確認します。回転は分配法則を持つ幾何積から構築されるため、線形でなければなりません。回転も外同型であることを確認するには、回転がベクトル間の角度を保存することを思い出してください。
x
⋅
y
=
(
R
x
R
−
1
)
⋅
(
R
y
R
−
1
)
{\displaystyle x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})}
次に、より高次の要素を入力して、ベクトルの元の回転と一致しているかどうかを確認します。
f
_
(
x
∧
y
)
=
R
(
x
∧
y
)
R
−
1
=
R
(
x
y
−
x
⋅
y
)
R
−
1
=
R
x
y
R
−
1
−
R
(
x
⋅
y
)
R
−
1
=
R
x
R
−
1
R
y
R
−
1
−
x
⋅
y
=
(
R
x
R
−
1
)
∧
(
R
y
R
−
1
)
+
(
R
x
R
−
1
)
⋅
(
R
y
R
−
1
)
−
x
⋅
y
=
(
R
x
R
−
1
)
∧
(
R
y
R
−
1
)
+
x
⋅
y
−
x
⋅
y
=
f
(
x
)
∧
f
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}}
直交投影演算子 ブレードへの 直交射影演算子 は外同型である:
P
B
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}}
B
{\displaystyle B}
P
B
(
x
∧
y
)
=
P
B
(
x
)
∧
P
B
(
y
)
.
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}_{B}(x)\wedge {\mathcal {P}}_{B}(y).}
非例 – 直交拒絶演算子 直交射影演算子とは対照的に、ブレードによる 直交拒絶は 線形ですが、 外同型で
は ありません。
P
B
⊥
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }}
B
{\displaystyle B}
P
B
⊥
(
1
)
=
1
−
P
B
(
1
)
=
0
≠
1.
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal {P}}_{B}(1)=0\neq 1.}
非例 – グレード射影 演算子 線形だが外同型ではない 多重ベクトルの多重ベクトル値関数の例としては 、グレードがゼロでないグレード射影、たとえばグレード 1 への射影があります。
⟨
x
∧
y
⟩
1
=
0
{\displaystyle \langle x\wedge y\rangle _{1}=0}
⟨
x
⟩
1
∧
⟨
y
⟩
1
=
x
∧
y
{\displaystyle \langle x\rangle _{1}\wedge \langle y\rangle _{1}=x\wedge y}
注記
^ 特に 外積代数§関数性を 参照。 ^が ゼロ写像 で ある場合 、それが公理によって要求される場合を除きます。
f
{\displaystyle f}
引用
参考文献 ヘステネス、D.; ソブチク、G. (1987)、クリフォード代数から幾何微積分まで: 数学と物理学の統一言語、物理学の基礎理論、第 5 巻、シュプリンガー、 ISBN 90-277-2561-6 Crumeyrolle, A.; Ablamowicz, R.; Lounesto, P. (1995)、Clifford Algebras and Spinor Structures: A Special Volume Dedicated to the Memory of Albert Crumeyrolle (1919–1992)、Mathematics and Its Applications、vol. 321、Springer、p. 105、 ISBN 0-7923-3366-7 ベイリス、WE（1996）、クリフォード（幾何学）代数：物理学、数学、工学への応用、シュプリンガー、p. 71、 ISBN 0-8176-3868-7 Dorst, L.; Doran, CJL; Lasenby, J. (2001)、コンピュータサイエンスとエンジニアリングにおける幾何代数の応用、Springer、p. 61、 ISBN 0-8176-4267-6 D'Orangeville, C.; Anthony, A.; Lasenby, N. (2003)、物理学者のための幾何代数、ケンブリッジ大学出版局、p. 343、 ISBN 0-521-48022-1 Perwass, C. (2008)、Geometric Algebra with Applications in Engineering, Geometry and Computing、第 4 巻、Springer、p. 23、 ISBN 3-540-89067-X Joot, P. (2014)、幾何代数による物理学の探究、p. 157
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d666b3257e697ca3067f370fcfc706033bfb748)
![{\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d8da26c9a306ed0142c15143fac498205d070b)
![{\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb071101ab1a9671722d95451e304bf3d468348f)
