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平面ベースの幾何代数は、平面、直線、点、および剛体変換をモデル化するためのクリフォード代数の応用です。一般的に、これは、これらの要素とそれらの交点、射影、および3D空間におけるそれらの間の角度を含む応用問題を解決することを目的としています。 [ 1 ]元々はスピン群の研究から発展し、[ 2 ] [ 3 ]ロボット工学への応用を念頭に置いて開発されました。 [ 4 ] [ 5 ]その後、機械学習、[ 6 ]剛体動力学、[ 7 ]およびコンピュータサイエンス、[ 8 ]特にコンピュータグラフィックスに応用されています。[ 8 ] [ 9 ]通常、双対演算と組み合わせて、「射影幾何代数」として知られるシステムになります（下記参照）。
平面ベースの幾何代数は、平面反射を基本要素として、他のすべての変換と幾何学的オブジェクトをそれらから構築します。形式的には、平面反射をクリフォード代数のグレード 1要素、つまり「」のような単一の添え字で記述される要素と同一視します。「。以下に説明するいくつかのまれな例外を除いて、代数はほぼ常にCl 3,0,1 ( R ) (物理空間の代数の射影バージョン) であり、これは、2 乗が 3 つの基底グレード 1 要素であることを意味します。そして、その二乗が。
平面ベースのGAは、回転の軸角表現、回転と並進の四元数と双対四元数表現、直線のプルッカー表現、平面の点法線表現、点の同次表現など、工学で適用される多数の代数的構成を包含します。双対四元数により、古典力学のねじり、ひねり、レンチモデルを構築できます。[ 7 ]
平面ベースの幾何学アプローチは、点、並進、回転軸、平面法線がすべて「ベクトル」としてモデル化される外積を使用するアプローチとは対照的です。しかし、高度な工学問題でベクトルを使用すると、ギブスベクトル、擬似ベクトル、反変ベクトルなど、さまざまな種類のベクトルを微妙に区別する必要が生じることがよくあります。平面ベースのGAでは、これら2つのうち後者は「回転軸」と「点」の概念に対応し、その区別は、次のような表記によって明確になります。回転軸など（2 つの下位インデックス）は、次のような点とは常に異なる表記になります。（下位3つの指標）
以下で考察する対象は、矢印として視覚化したり（あるいは外積を取ったり）できるような意味での「ベクトル」であることは稀ですが、ベクトル空間の要素であるという非常に技術的な意味では、すべて「ベクトル」です。したがって、「ベクトル」という言葉から生じる様々な代数的および視覚的な意味合いによる混乱を避けるため、本稿ではこの言葉の使用を避けます。
平面に基づく幾何代数は、平面から始まり、そこから他のオブジェクトを構築します。その標準基底は、次の平面で構成されます。ラベル付けされている、ラベル付き飛行機、そして飛行機、。他の平面は、基底平面の線形結合（重み付き和）として得られる。例えば、それは、y平面とz平面の中間にある平面となるでしょう。
一般的に、平面ベースのGAでは、2つのものを合計すると、常にそれらの加重平均が得られます。したがって、点を合計すると、それらの間の点が得られます。同一平面上の線を合計すると、それらの間の線が得られます。回転を合計しても、軸と角度が（大まかに言えば）加算対象の軸と角度の間にある回転が得られます。
加算と同じくらい基本的な演算の一つに、幾何積があります。例えば：
ここでは、これは平面反射である飛行機、そしてこれは、x軸を中心とした180度回転です。それらの幾何積はこれは原点に関する点反射です。なぜなら、これは180度の回転の後に、回転軸に直交する平面内での平面反射によって生じる変換だからです。
任意の2つの要素についてそしてそれらの幾何積変革とは続いて変革が変換合成は変換適用ではないことに注意してください。例：「によって変換されました「、それは変換です」続いて変換変換アプリケーションはサンドイッチ製品を使用して実装されています。以下を参照してください。
この幾何学的解釈は通常、次の主張と組み合わされる。
最初の３つの定義方程式の幾何学的解釈は、同じ平面反射を２回行うと元の場所に戻るということです。例えば、任意の１級要素（平面）をそれ自身で乗算すると恒等関数になります。「。より微妙なのは、他の1ベクトルと同様に、代数要素平面を表すが、それは無限遠の平面である。
無限遠の飛行機他のどの平面とも異なる振る舞いをする。3次元では、空は、無限に遠く離れた平面であり、近づくことはできても決して到達できないものとして視覚化できる。他の平面に映し出すことは意味があるが、空に映し出すことは無意味であり、それは次の言葉に込められている。空の中には、「消失点」、あるいは「理想点」、または「無限遠点」と呼ばれる点が存在する。平行線はこれらの点で交わると言える。
無限遠線も存在します。天の川は無限遠線として見え、地平線もその一例です。平面上に立つ観測者にとって、その平面に平行なすべての平面は地平線で交わります。代数的に、地面となるために、地面と平行な平面（地面から5メートルずれた位置）が描かれる。これら2つの平行な平面は無限遠線で交わる。。
例えばほとんどの行は回転軸として機能できます。実際、それらは虚数四元数として扱うことができます。しかし、無限平面上にある線は例えば、は「回転」の軸としては機能しません。代わりに、これらは並進の軸であり、複素数や四元数に似た代数を持つのではなく、二乗すると0になるため、その代数的挙動は双対数と同じです。3つの基底線を原点を通る線と組み合わせると、、に二乗する3つの基底線は無限遠にある、、線分の（プリュッカー）座標に必要な要素を提供します。
幾何積が変換合成として定義されているため、それを用いて定義できる実用的な操作は数多くあります（これは、四元数積における内積と外積の定義方法と直接的に類似しています）。これらには以下が含まれます。
3D空間における距離保存変換の代数はユークリッド群と呼ばれ、カルタン・ディユドネの定理によれば、回転や平行移動を含むその任意の要素は、平面における一連の反射として表すことができる。
平面ベースのGAでは、基本的にすべての幾何学的オブジェクトは変換として考えることができます。平面など平面反射、点などは点反射であり、線はこれらは線反射であり、3Dでは180度回転と同じです。恒等変換は、反射がゼロのユニークなオブジェクトです。これらはすべて、。
要素の一部例えば、 180度以外の角度による回転には、それを視覚化するために使用される単一の特定の幾何学的オブジェクトはありません。しかし、それらは常に反射で構成されていると考えることができ、平面ベースの幾何代数におけるオブジェクトのいくつかの要素の線形結合として常に表現できます。例えば、は、軸であり、幾何積（変換合成）として記述できる。そしてどちらも平面反射であり、直線で交差する。。
実際、任意の回転は、その軸を通る 2 つの平面反射の合成として記述できます。したがって、2-反射と呼ばれます。[ 10 ]回転反射、すべり反射、および点反射も常に 3 つの平面反射の合成として記述できるため、3-反射と呼ばれます。3D の場合、この上限はスクリュー運動であり、これは 4-反射です。このため、スクリュー運動を考慮する場合は、3D 平面ベースの GA のグレード 4 要素を使用する必要があります。これは、最も高級な元素です。
平面での反射に続いて同じ平面での反射を行うと、変化は生じません。この幾何学の代数的解釈は、グレード 1 の要素、例えば1の二乗。この単純な事実は、幾何学的積の一般的な挙動を「鏡を打ち消す」ことで幾何学的問題を解決する装置として幾何学的に解釈するために使用できます。[ 10 ]
この有用性の例として、3D空間内の特定の直線Lに直交し、特定の点Pを通る平面を見つけたいとします。Lは2-反射であり、は 3 回の反射なので、それらの幾何積PLを取ると、ある意味で 5 回の反射が得られます。ただし、下の図のように、これらの反射のうち 2 つが相殺され、3 回の反射 (回転反射と呼ばれることもあります) が残ります。平面ベースの幾何代数表記では、この回転反射は、点反射に「追加された」平面反射と考えることができます。この回転反射の平面部分は、直線Lと元の点Pに直交する平面です。同様の手順を使用して、平面に直交し、点を通る直線、直線と平面の交点、または平面と別の平面の交線を求めることができます。
回転と平行移動は、距離と左右対称性（キラリティ）を保持する変換です。例えば、これらの変換をオブジェクトの集合に適用しても、オブジェクト間の相対的な距離は変化しません。また、左右対称性も変化しません。つまり、右利き用の手袋が左利き用の手袋に変わることはありません。3次元ユークリッド平面に基づく幾何代数におけるすべての変換は距離を保持しますが、鏡映、回転鏡映、および平行鏡映は左右対称性を保持しません。
回転と並進は左右対称性を保持するため、3D平面ベースのGAでは、偶数個の鏡映の合成として表すことができます。回転は、ある平面での鏡映に続いて、最初の平面と平行でない別の平面での鏡映を行うものと考えることができます（上記のPGAの文脈で設定されている四元数）。平面が平行であれば、それらの鏡映を合成すると並進が得られます。
回転と並進はどちらもスクリュー運動の特殊なケースです。たとえば、空間内の線を中心とした回転に続いて、同じ線に沿って並進が行われます。このグループは通常、SE(3)と呼ばれ、 3次元の特殊(手先保持)ユークリッド(距離保持) 変換のグループです。このグループには、代数や計算で使用できる 2 つの一般的な表現があります。 1 つは実数の 4×4 行列、もう 1 つはデュアル クォータニオンです。デュアル クォータニオン表現 (通常のクォータニオンと同様) は、実際にはSE(3) の二重カバーです。デュアル クォータニオンは乗算と加算に関して閉じており、偶数個の基底要素から作られているため、3D ユークリッド (平面ベース) 幾何代数の偶数部分代数と呼ばれます。この部分代数を説明するために「スピノル」という言葉が使われることがあります。 [ 11 ] [ 12 ]
平面を用いて剛体変換を記述することは、カミーユ・ジョルダン[ 13 ]とミシェル・シャール[ 14 ]の研究における主要な目標であった。なぜなら、それによって次元に依存しない扱いが可能になるからである。
反転幾何学とは、円や球の反転によって生成される幾何学的オブジェクトや挙動を研究する学問です。平面における反射は、球における反転の特殊なケースです。なぜなら、平面は半径が無限大の球だからです。平面ベースの幾何代数は反射の合成によって生成されるため、反転幾何学の特殊なケースと言えます。反転幾何学自体は、共形幾何代数（CGA）と呼ばれるより大きなシステムで実行することができ、平面ベースの幾何代数はその部分代数です。
CGA は通常 3D 空間にも適用され、ポアンカレ円盤に見られる変換を含む一般的な球、円、および等角変換 (角度保存変換) をモデル化することができます。[ 15 ] CGA はしばしば「点ベース」であるため、PGA と CGA の関連性を見出すのは難しい場合がありますが、一部の著者は CGA に平面ベースのアプローチを採用しており[ 10 ] 、平面ベースの GA と CGA の表記法は同一になっています。
平面ベースの幾何代数はすべてのユークリッド変換を表現できますが、実際には（元の用法[ 4 ]も含めて）射影幾何代数（PGA） [ 16 ]として知られる、より大きく実用的なシステムの一部としてほぼ常に使用されます。PGAは回帰的な積を持ちます。これにより、2点を結ぶ直線、直線と点を結ぶ平面、およびこれらを2本の直線を含む体積などの高次元部分空間に一般化したものを求めることができる。他のクリフォード代数やグラスマン代数と同様に、回帰積を定義するには、双対の定義が必要となる。の双対はと表記される、そして回帰積は次のように定義される。。
著者によって定義が異なるが、上記で使用されている定義とは異なり、どの定義を用いても、回帰積は完全に同一の結果をもたらします。したがって、実用的というよりは理論的な関心が強いため、双対の詳細な議論は通常、射影幾何代数の入門教材には含まれていません。定義のさまざまなアプローチ含む：
双対性の第二の形態と、幾何学的対象が均質に表現される（つまり、スカラー倍によって変化しない）という事実が組み合わさって、この体系が「射影幾何代数」と呼ばれる理由となっている。射影幾何代数には完全な射影群は含まれないことを明確にしておく必要がある。これは、完全な共形群を含む3次元共形幾何代数とは異なる。
第一近似として、物理世界はユークリッド的であり、つまりほとんどの変換は剛体です。したがって、射影幾何代数は通常Cl 3,0,1 ( R )に基づいています。これは、この代数で剛体変換をモデル化できるためです。ただし、代数を少し変更することで他の空間をモデル化することも可能です。[ 18 ]
これらのシステムでは、点、平面、線は平面ベースのGAと同じ座標を持ちます。しかし、回転や鏡映などの変換は、形状に全く異なる影響を与えます。以下のすべての場合において、代数は空間内の鏡映、回転、回転鏡映の群の二重被覆となります。
ユークリッド幾何学の場合のすべての公式は、これらの他の幾何学にも適用されます。交点は依然としてオブジェクトの交差を取る方法として機能し、幾何積は依然として変換を構成する方法として機能し、双曲幾何学の場合は内積によって双曲角を測定できるようになります。
3 つの偶数部分代数はすべて、（スカラーで商を取った後）古典的なリー群です。各群に対応するリー代数は、スカラーで商を取らないクリフォード代数の 2 次要素です[ 21 ] 。
