垂直束と水平束

数学において、垂直束と水平束は、滑らかなファイバー束に関連付けられたベクトル束です。より正確には、滑らかなファイバー束が与えられた場合、垂直束と水平束は、ホイットニー和がを満たす接束の部分束です。これは、各点 上で、ファイバーと が接空間の補完的な部分空間を形成することを意味します。垂直束はファイバーに接するすべてのベクトルから構成されますが、水平束では補完的な部分束のいくつかの選択が必要です。 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle VE}$${\displaystyle HE}$ ${\displaystyle TE}$${\displaystyle E}$${\displaystyle VE\oplus HE\cong TE}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V_{e}E}$${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$

これを正確にするために、における垂直空間を と定義します。つまり、微分(ここで) は、 のファイバーと同じ次元の核を持つ線型射影です。 と書くと、 はに接するベクトルとまったく同じものから構成されます。この名前は、水平円に投影された垂直円筒として表されることもある、円上の自明な直線束のような低次元の例に由来しています。が との直和である場合、の部分空間は水平空間と呼ばれます。 ${\displaystyle V_{e}E}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$${\displaystyle d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B}$${\displaystyle b=\pi (e)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle F=\pi ^{-1}(b)}$${\displaystyle V_{e}E}$${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H_{e}E}$${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle V_{e}E}$${\displaystyle H_{e}E}$

Eの各eに対する垂直空間 V _e Eの非交差和は、 T Eの部分束 V Eです。これはEの垂直束です。同様に、水平空間がeとともに滑らかに変化するとすれば、それらの非交差和は水平束です。ここでの「the」および「a」という語の使用は意図的です。各垂直部分空間は一意であり、 によって明示的に定義されます。自明な場合を除き、各点には無限の数の水平部分空間があります。また、各点での水平空間の任意の選択は、一般に滑らかなベクトル束を形成しないことにも注意してください。それらも適切に滑らかに変化する必要があります。 ${\displaystyle H_{e}E}$${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$

水平バンドルは、ファイバーバンドル上のエーレスマン接続の概念を定式化する1つの方法です。したがって、たとえば、E が主Gバンドルである場合、水平バンドルは通常G不変である必要があります。このような選択は、主バンドル上の接続と同等です。^{[1]これは、} E が主バンドルである何らかのベクトルバンドルに関連付けられたフレームバンドルである場合に特に発生します。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$

π : E → B を滑らかな多様体 B上の滑らかな繊維束とする。垂直束は接線写像d π  : T E  → T Bの核V E  := ker(d π )である。^[2]

dπ _{e は}各点eで射影的であるため、 T Eの正規部分束を生成します。さらに、垂直束 V Eも積分可能です。

E上のエーレスマン接続は、 T E内のV Eへの相補部分束 H Eの選択であり、接続の水平束と呼ばれます。E内の各点eにおいて、2つの部分空間は直和を形成し、 T _e E = V _e E ⊕ H _e Eとなります。

メビウスの帯は円の上の線束であり、円は帯の中央のリングとして描くことができます。帯の各点において、投影マップはそれを中央のリングに向かって投影し、ファイバーは中央のリングに対して垂直です。この点における垂直の束は、ファイバーの接線空間です。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle V_{e}E}$

滑らかなファイバー束の簡単な例として、2 つの多様体の直積が挙げられます。束B ₁  := ( M  ×  N , pr ₁ ) と、束射影 pr ₁  : M × N → M  : ( x ,  y ) →  xについて考えます。上の段落の定義を適用して垂直束を見つけるには、まずM × Nの点 (m,n) を考えます。この点の pr _{1による像は m です。この同じ pr 1}による m の逆像は{m} × Nなので、 T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × T Nとなります。垂直束は V B ₁ = M × T Nとなり、これは T( M × N )の部分束となります。他の投影pr ₂  : M  ×  N  →  N  : ( x ,  y ) →  yを取って繊維束B ₂  := ( M × N , pr ₂ )を定義すると、垂直束はV B ₂ = T M  ×  Nになります。

どちらの場合も、積構造によって水平バンドルの自然な選択が与えられ、したがって Ehresmann 接続が与えられます。つまり、B _{1の水平バンドルは}B ₂の垂直バンドルであり、その逆も同様です。

微分幾何学のさまざまな重要なテンソルと微分形式は、垂直束と水平束上で特定の特性を持つか、またはそれらに基づいて定義できます。これらのいくつかは次のとおりです。

• 垂直ベクトル場は、垂直束内にあるベクトル場である。つまり、Eの各点eに対して、 eにおける垂直ベクトル空間であるベクトルを選択する。^[2]${\displaystyle v_{e}\in V_{e}E}$${\displaystyle V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})}$
• E上の微分可能なr 形式は、 ベクトルの少なくとも 1 つが垂直である場合に、水平形式であると言われます。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha (v_{1},...,v_{r})=0}$${\displaystyle v_{1},...,v_{r}}$
• 接続形式は水平バンドル上では消え、垂直バンドル上でのみ非ゼロになります。このように、接続形式を使用して水平バンドルを定義できます。水平バンドルは接続形式の核です。
• はんだ形式またはトートロジー1 形式は垂直バンドル上では消え、水平バンドル上でのみ非ゼロになります。定義により、はんだ形式は水平バンドル内でのみ値を取ります。
• フレームバンドルの場合、ねじれ形式は垂直バンドル上で消え、任意の接続をレヴィ-チヴィタ接続にするために、つまり接続をねじれなしにするために追加する必要がある部分を正確に定義するために使用できます。確かに、はんだ形式を θ と書くと、ねじれテンソル Θ は Θ = D θ で与えられます (ここで、 D は外共変微分)。任意の接続 ω に対して、 T E上に、垂直バンドルで消える、ねじれテンソルと呼ばれる唯一の1 形式 σ が存在し、 ω+σ はねじれのない別の接続 1 形式になります。結果として得られる 1 形式 ω+σ は、レヴィ-チヴィタ接続に他なりません。これを定義として受け取ることができます。ねじれは で与えられるので、ねじれの消失は を持つことと同等であり、 σ は垂直バンドル上で消失しなければならないこと、および σ は各ファイバー上でG不変でなければならないこと（より正確には、 σ はGの随伴表現で変換する）を示すことは難しくありません。これは、計量​​テンソルを明示的に参照することなく、レヴィ-チヴィタ接続を定義していることに注意してください（ただし、計量テンソルは、基本空間の接線バンドルと余接バンドルの間、つまりフレームバンドルの水平部分空間と垂直部分空間の間のマッピングを確立するため、はんだ形式の特殊なケースとして理解できます）。${\displaystyle \Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta }$
• Eが主束である場合、基本ベクトル場は必然的に垂直束内に存在し、水平束内では消滅します。

• Choquet-Bruhat, イヴォンヌ県; DeWitt-Morette、Cécile (1977)、分析、多様体、物理学、アムステルダム: エルゼビア、ISBN 978-0-7204-0494-4
• 小林昭七、野水勝美 (1996)。『微分幾何学の基礎』第1巻（新版）。Wiley Interscience。ISBN 0-471-15733-3。
• コラーシュ、イワン。ミコル、ピーター。スロバキア語、1 月 (1993 年)、微分幾何学における自然操作(PDF)、Springer-Verlag
• クルプカ、デメテル。 Janyška, Josef (1990)、Lectures on Differential invariants、Univerzita JE Purkyně V Brně、ISBN 80-210-0165-8
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7