ハミルトン流としての測地線

数学において、測地線方程式は二次非線形微分方程式であり、一般的にはオイラー・ラグランジュの運動方程式の形で表現されます。しかし、ハミルトン方程式の形で、一連の結合した一次方程式として表現することもできます。この後者の定式化は、この記事で展開されています。

測地線は「曲がった空間における直線」であるとよく言われます。測地線方程式に対するハミルトン・ヤコビのアプローチを使用すると、この記述に非常に直感的な意味を与えることができます。測地線は、力を一切受けていない粒子の運動を記述します。平坦な空間では、直線で移動する粒子は、外部からの力を受けない限り、直線で動き続けることはよく知られています。これがニュートンの第 1 法則です。このような運動を記述するハミルトニアンは、運動量をp としてになることはよく知られています。粒子の直線運動につながるのは、運動量保存の法則です。曲面上でも、距離を正しく測定するためにはリーマン計量 を使用する必要があることを除いて、まったく同じ考え方が働いています。運動量を正しく測定するには、計量の逆を使用する必要があります。曲面上の自由粒子の運動は、上記とまったく同じ形式、つまり完全に運動項で構成されます。結果として生じる動きは、ある意味では依然として「直線」であり、そのため測地線は「曲がった空間内の直線」であると言われることがあります。この考え方については、以下でさらに詳しく説明します。 ${\displaystyle H=p^{2}/2m}$

（擬似）リーマン多様体 Mが与えられた場合、測地線は最小作用の原理を適用した結果生じる曲線として定義できます。変分原理を使用して、曲線のエネルギーを最小化（または極値を見つける）することで、その形状を記述する微分方程式を導出できます。滑らかな曲線が与えられた場合、

${\displaystyle \gamma :I\to M}$

実数直線の区間Iを多様体Mに写すと、エネルギー

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{I}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt,}$

ここで、 は点 における曲線の接線ベクトルです。ここで、は多様体M上の計量テンソルです。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t\in I}$${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$

上で与えられたエネルギーを作用として用いて、オイラー・ラグランジュ方程式またはハミルトン・ヤコビ方程式のいずれかを解くことができます。どちらの方法でも測地線方程式が解として得られますが、以下に示すように、ハミルトン・ヤコビ方程式の方が多様体構造についてより深い洞察が得られます。M上の局所座標に関して、(オイラー・ラグランジュ)測地線方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{a}}{dt^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{dt}}{\frac {dx^{c}}{dt}}=0}$

ここで、x ^a ( t ) は曲線 γ( t )の座標、はクリストッフェル記号であり、繰り返されるインデックスは総和規則の使用を意味します。 ${\displaystyle \Gamma_{bc}^{a}}$

測地線は、多様体の余接空間上で定義された特殊なハミルトン ベクトル場のハミルトン フローであると理解できます。ハミルトンは多様体上の計量から構築されるため、運動項のみで構成される二次形式になります。

測地線方程式は2階微分方程式である。以下に示すように、追加の独立変数を導入することで1階方程式として再表現することができる。座標x aの_座標近傍Uは、

${\displaystyle T^{*}M|_{U}\simeq U\times \mathbb {R} ^{n}}$

ポイントを送る地図によって

${\displaystyle \eta \in T_{x}^{*}M|_{U}}$

の点までの形を描きます 。次にハミルトニアンを次のように 導入します。${\displaystyle \eta =p_{a}dx^{a}}$${\displaystyle (x,p_{a})\in U\times \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H(x,p)={\frac {1}{2}}g^{ab}(x)p_{a}p_{b}.}$

ここで、g ^ab ( x ) は計量テンソルの逆関数です: g ^ab ( x ) g _bc ( x ) = 。座標変換における計量テンソルの挙動は、Hが変数の変更に対して不変であることを意味します。測地線方程式は次のように記述できます。 ${\displaystyle \delta_{c}^{a}}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{a}={\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}=g^{ab}(x)p_{b}}$

そして

${\displaystyle {\dot {p}}_{a}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{bc}(x)}{\partial x^{a}}}p_{b}p_{c}.}$

これらの方程式によって決定される流れは、共測地線流と呼ばれます。一方を他方に単純に代入すると、接線束TM上の測地線流を与えるオイラー・ラグランジュ方程式が得られます。測地線は、測地線流の積分曲線を多様体Mに投影したものです。これはハミルトン流であり、ハミルトニアンは測地線に沿って一定です。

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{a}+{\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}{\dot {p}}_{a}=-{\dot {p}}_{a}{\dot {x}}^{a}+{\dot {x}}^{a}{\dot {p}}_{a}=0.}$

したがって、測地線の流れは、コタンジェントバンドルを一定エネルギーの 等位集合に分割する。

${\displaystyle M_{E}=\{(x,p)\in T^{*}M:H(x,p)=E\}}$

各エネルギーE ≥ 0に対して、

${\displaystyle T^{*}M=\bigcup _{E\geq 0}M_{E}}$。

• テレンス・タオ『オイラー・アーノルド方程式』2010年: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/冒頭の議論を参照
• Ralph Abraham および Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics、(1978) Benjamin-Cummings、ロンドンISBN  0-8053-0102-X セクション 2.7 を参照してください。
• BA Dubrovin、AT Fomenko、SP Novikov、「Modern Geometry: Methods and Applications、Part I 」、(1984) Springer-Verlag、ベルリンISBN 0-387-90872-2第 5 章、特にセクション 33 を参照してください。