曲線に沿った距離
曲線を補正すると、曲線の円弧の長さと同じ長さの直線セグメントが生成されます。 パラメータθ の関数としての 対数螺旋 の 円弧の長さ s 。 弧の長さは 、曲線 の一部分に沿った 2 点間の距離です 。
不規則な円弧セグメントを連結された（直線の） 線分として近似することによってその長さを決定することは、 曲線の修正 とも呼ばれます。 修正可能な曲線 の場合、 これらの近似は任意に大きくなることはありません（したがって、曲線の長さは有限です）。
曲線が 単射かつ 連続 的に微分可能な 関数としてパラメータ化できる場合（つまり、導関数が連続関数である場合） 、曲線は修正可能（つまり、有限の長さを持つ）です。
ふ : [ 1つの 、 b ] →
R
ん
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
微分積分 の出現により 、場合によっては
閉じた形の解を 与える一般的な公式が生まれました。
一般的なアプローチ 複数の線形セグメントによる曲線への近似。 曲線の 修正と呼ばれます。 平面 上の 曲線 は 、曲線上の 有限個の 点を（直線の） 線分で結び、 多角形のパス を作成することで近似できます。 各線分の 長さを 計算するのは簡単なので（たとえば、ユークリッド空間での ピタゴラスの定理 を使用）、近似の全長は各線分の長さを 合計する ことで求められます。 この近似値は（累積） 弦 距離 として知られています 。 [1]
曲線が多角形のパスでない場合は、長さの短い線分を徐々に多く使用することで、曲線の長さをより正確に近似できます。曲線を接続された（直線の）線分として近似することによって曲線の長さを決定することを、曲線の 修正と 呼びます。連続した近似の長さは減少せず、無制限に増加し続ける可能性がありますが、滑らかな曲線の場合は、線分の長さが 任意に小さく なるにつれて、有限の制限に近づく傾向があります。
一部の曲線では、すべての多角形近似 (平行化) の長さの上限となる 最小の数値が存在します。これらの曲線は 平行化可能曲線 と呼ばれ、 弧の長さは 数値 として定義されます 。
ら
{\displaystyle L}
ら
{\displaystyle L}
符号付き円弧長は、 曲線 の 原点 となる参照点に対する 方向 や「方向」を伝えるために定義することができます（ 曲線の方向 と 符号付き距離 も参照）。 [2]
を単射かつ 連続 的に微分可能な （つまり導関数が連続関数である）関数とする 。 によって定義される曲線の長さは、線分の数が無限大に近づくにつれて、 の正規分割の線分の長さの合計の 極限 として定義できる 。これは、
ふ : [ 1つの 、 b ] →
R
ん
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
ふ
{\displaystyle f}
[ 1つの 、 b ]
{\displaystyle [a,b]}
ら （ ふ ） =
リム
いいえ → ∞
∑
私 = 1
いいえ
|
ふ （
t
私
） − ふ （
t
私 − 1
）
|
{\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}
ここで、 に対してこの定義は 、 積分としての弧の長さの標準的な定義と同等です。
t
私
= 1つの + 私 （ b − 1つの ）
/
いいえ = 1つの + 私 Δ t
{\displaystyle t_{i}=a+i(ba)/N=a+i\Delta t}
Δ t =
b − 1つの
いいえ
=
t
私
−
t
私 − 1
{\displaystyle \Delta t={\frac {ba}{N}}=t_{i}-t_{i-1}}
私 = 0 、 1 、 … 、 いいえ 。
{\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}
ら （ ふ ） =
リム
いいえ → ∞
∑
私 = 1
いいえ
|
ふ （
t
私
） − ふ （
t
私 − 1
）
|
=
リム
いいえ → ∞
∑
私 = 1
いいえ
|
ふ （
t
私
） − ふ （
t
私 − 1
）
Δ t
|
Δ t =
∫
1つの
b
|
ふ ′
（ t ）
|
d t 。
{\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}
最後の等式は次の手順で証明されます。
微積分学の第二基本定理は、 上の が および に写像される 場所を 示しています 。以下の手順では、次の同等の式が使用されます。
ふ （
t
私
） − ふ （
t
私 − 1
） =
∫
t
私 − 1
t
私
ふ ′
（ t ）
d t = Δ t
∫
0
1
ふ ′
（
t
私 − 1
+ θ （
t
私
−
t
私 − 1
） ）
d θ
{\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta }
t =
t
私 − 1
+ θ （
t
私
−
t
私 − 1
）
{\displaystyle t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})}
θ ∈ [ 0 、 1 ]
{\displaystyle \theta \in [0,1]}
[
t
私 − 1
、
t
私
]
{\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}
d t = （
t
私
−
t
私 − 1
） d θ = Δ t d θ
{\displaystyle dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta }
ふ （
t
私
） − ふ （
t
私 − 1
）
Δ t
=
∫
0
1
ふ ′
（
t
私 − 1
+ θ （
t
私
−
t
私 − 1
） ）
d θ 。
{\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .}
関数は 閉区間から 実数集合への連続関数であるため、 ハイン・カントール定理 に従って 一様連続 であり、したがって、正の実数で 単調非減少な 関数 が存在し、 となり 、 となる 。 次の式の 極限を考えてみよう。
|
ふ ′
|
{\displaystyle \left|f'\right|}
[ 1つの 、 b ]
{\displaystyle [a,b]}
δ （ ε ）
{\displaystyle \delta (\varepsilon )}
ε
{\displaystyle \epsilon }
Δ t < δ （ ε ）
{\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}
|
|
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
|
−
|
f
′
(
t
i
)
|
|
<
ε
{\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }
Δ
t
=
t
i
−
t
i
−
1
{\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}
θ
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \theta \in [0,1]}
N
→
∞
{\displaystyle {\ce {N\to \infty }}}
∑
i
=
1
N
|
f
(
t
i
)
−
f
(
t
i
−
1
)
Δ
t
|
Δ
t
−
∑
i
=
1
N
|
f
′
(
t
i
)
|
Δ
t
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}
上記のステップの結果は、
∑
i
=
1
N
|
∫
0
1
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
d
θ
|
Δ
t
−
∑
i
=
1
N
|
f
′
(
t
i
)
|
Δ
t
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}
用語は次のように並べ替えられる。
Δ
t
∑
i
=
1
N
(
|
∫
0
1
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
d
θ
|
−
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
)
|
d
θ
)
≦
Δ
t
∑
i
=
1
N
(
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
|
d
θ
−
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
)
|
d
θ
)
=
Δ
t
∑
i
=
1
N
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
|
−
|
f
′
(
t
i
)
|
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}}
ここで、左辺の が使われます。 をとする と 、 は
|
f
′
(
t
i
)
|
=
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
)
|
d
θ
{\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }
|
|
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
|
−
|
f
′
(
t
i
)
|
|
<
ε
{\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }
N
>
(
b
−
a
)
/
δ
(
ε
)
{\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}
Δ
t
<
δ
(
ε
)
{\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}
Δ
t
∑
i
=
1
N
(
|
∫
0
1
f
′
(
t
i
−
1
+
θ
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
d
θ
|
−
|
f
′
(
t
i
)
|
)
<
ε
N
Δ
t
{\displaystyle \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t}
ここで 、 、 です 。極限では となるため 、 の左辺は に 近づきます 。言い換えると、 この極限では となり、この等式の右辺は における の リーマン積分 となります。この弧長の定義は、における連続的 に微分可能な 関数 によって表される曲線の長さが 常に有限であること、つまり 修正可能で あることを示しています。
|
f
′
(
t
i
)
|
=
∫
0
1
|
f
′
(
t
i
)
|
d
θ
{\displaystyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }
ε
N
Δ
t
=
ε
(
b
−
a
)
{\displaystyle \varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)}
N
>
(
b
−
a
)
/
δ
(
ε
)
{\displaystyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}
N
→
∞
,
{\displaystyle N\to \infty ,}
δ
(
ε
)
→
0
{\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}
ε
→
0
{\displaystyle \varepsilon \to 0}
<
{\displaystyle <}
0
{\displaystyle 0}
∑
i
=
1
N
|
f
(
t
i
)
−
f
(
t
i
−
1
)
Δ
t
|
Δ
t
=
∑
i
=
1
N
|
f
′
(
t
i
)
|
Δ
t
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t}
|
f
′
(
t
)
|
{\displaystyle \left|f'(t)\right|}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
f
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
滑らかな曲線の弧の長さを微分ノルムの積分として定義することは、次の定義と同等である。
L
(
f
)
=
sup
∑
i
=
1
N
|
f
(
t
i
)
−
f
(
t
i
−
1
)
|
{\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}
ここで、 最大値は [3] の すべての可能な分割について取られます。 すべての可能な分割の合計の最大値としてのこの定義は 、が微分可能ではなく単に連続している場合にも有効です。
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
N
−
1
<
t
N
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
f
{\displaystyle f}
曲線は、無限の方法でパラメータ化できます。 を任意の 連続 微分 可能な一対一 とします。すると、 は 、元々 によって定義された曲線の別の連続微分可能なパラメータ化です 。曲線の弧の長さは、曲線を定義するために使用されるパラメータ化に関係なく同じです。
φ
:
[
a
,
b
]
→
[
c
,
d
]
{\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}
g
=
f
∘
φ
−
1
:
[
c
,
d
]
→
R
n
{\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}
f
.
{\displaystyle f.}
L
(
f
)
=
∫
a
b
|
f
′
(
t
)
|
d
t
=
∫
a
b
|
g
′
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
|
d
t
=
∫
a
b
|
g
′
(
φ
(
t
)
)
|
φ
′
(
t
)
d
t
in the case
φ
is non-decreasing
=
∫
c
d
|
g
′
(
u
)
|
d
u
using integration by substitution
=
L
(
g
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}
積分による弧の長さの計算 四分の一円 の平面曲線が が 連続 的に微分可能な 方程式 で定義されている 場合 、これは および のパラメトリック方程式の特殊なケースに過ぎません 。円弧の各微小セグメントの ユークリッド 距離は 次のように表されます。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
y
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle y=f(x),}
f
{\displaystyle f}
x
=
t
{\displaystyle x=t}
y
=
f
(
t
)
.
{\displaystyle y=f(t).}
d
x
2
+
d
y
2
=
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
.
{\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}
円弧の長さは次のように表されます。
s
=
∫
a
b
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
.
{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}
弧の長さに対する 閉じた形式の解を 持つ曲線には、懸垂 線 、 円 、 サイクロイド 、 対数螺旋 、 放物線 、 半三次放物線 、 直線などがあります。 楕円弧 と 双曲 弧の弧の長さに対する閉じた形式の解がなかったため、 楕円積分 が開発されました 。
数値積分 ほとんどの場合、単純な曲線であっても、弧長の閉形式の解は存在せず、 数値積分 が必要です。弧長積分の数値積分は通常非常に効率的です。たとえば、弧長積分を数値積分して単位円の 4 分の 1 の長さを求める問題を考えてみましょう。単位円の上半分は次のようにパラメータ化できます。 間隔は 円の 4 分の 1 に対応します。 また、 単位円の 4 分の 1 の長さは次のようにパラメータ化できます。
y
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}
x
∈
[
−
2
/
2
,
2
/
2
]
{\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}
d
y
/
d
x
=
−
x
/
1
−
x
2
{\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}
1
+
(
d
y
/
d
x
)
2
=
1
/
(
1
−
x
2
)
,
{\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}
∫
−
2
/
2
2
/
2
d
x
1
−
x
2
.
{\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}
この積分に対する 15点 ガウス・クロンロッド則の推定値は 1.570 796 326 808 177 は、
arcsin
x
|
−
2
/
2
2
/
2
=
π
2
{\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}
による 1.3 × 10 −11 および16点 ガウス積分 則の推定値は 1.570 796 326 794 727 は、実際の長さとわずか 1.7 × 10 −13 。これは、わずか16回の積分評価で、
この積分をほぼ 機械精度 で評価できることを意味します。
表面上の曲線 を曲面写像とし、をこの曲面上の曲線とします 。 弧長積分の積分関数は、 導関数を評価するに はベクトル場の
連鎖律が必要です。
x
(
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}
C
(
t
)
=
(
u
(
t
)
,
v
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}
|
(
x
∘
C
)
′
(
t
)
|
.
{\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}
D
(
x
∘
C
)
=
(
x
u
x
v
)
(
u
′
v
′
)
=
x
u
u
′
+
x
v
v
′
.
{\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}
このベクトルの二乗ノルムは
(
x
u
u
′
+
x
v
v
′
)
⋅
(
x
u
u
′
+
x
v
v
′
)
=
g
11
(
u
′
)
2
+
2
g
12
u
′
v
′
+
g
22
(
v
′
)
2
{\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}
(ここで は 第 1 基本形式の 係数) なので、弧長積分の被積分関数は (ここで および ) と書くことができます。
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
g
a
b
(
u
a
)
′
(
u
b
)
′
{\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}
u
1
=
u
{\displaystyle u^{1}=u}
u
2
=
v
{\displaystyle u^{2}=v}
その他の座標系 を極座標で表した曲線とする 。極座標から直交座標への写像は
C
(
t
)
=
(
r
(
t
)
,
θ
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}
x
(
r
,
θ
)
=
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
.
{\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}
弧長積分の被積分関数は ベクトル場の連鎖律によれば次のようになる。 したがって弧長積分の2乗被積分関数は
|
(
x
∘
C
)
′
(
t
)
|
.
{\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}
D
(
x
∘
C
)
=
x
r
r
′
+
x
θ
θ
′
.
{\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}
(
x
r
⋅
x
r
)
(
r
′
)
2
+
2
(
x
r
⋅
x
θ
)
r
′
θ
′
+
(
x
θ
⋅
x
θ
)
(
θ
′
)
2
=
(
r
′
)
2
+
r
2
(
θ
′
)
2
.
{\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}
したがって、極座標で表現された曲線の場合、弧の長さは次のようになります。
∫
t
1
t
2
(
d
r
d
t
)
2
+
r
2
(
d
θ
d
t
)
2
d
t
=
∫
θ
(
t
1
)
θ
(
t
2
)
(
d
r
d
θ
)
2
+
r
2
d
θ
.
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}
2 番目の式は、 によってパラメータ化された 極座標グラフを表します 。
r
=
r
(
θ
)
{\displaystyle r=r(\theta )}
t
=
θ
{\displaystyle t=\theta }
ここで、 を球座標で表した曲線とします。ここで、 は正の軸から測った極角 、 は方位角です。球座標から直交座標への変換は、
C
(
t
)
=
(
r
(
t
)
,
θ
(
t
)
,
ϕ
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
ϕ
{\displaystyle \phi }
x
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
(
r
sin
θ
cos
ϕ
,
r
sin
θ
sin
ϕ
,
r
cos
θ
)
.
{\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}
連鎖律を再度使用すると、 とが 異なる すべての ドット積 がゼロであることがわかるので、このベクトルの2乗ノルムは
D
(
x
∘
C
)
=
x
r
r
′
+
x
θ
θ
′
+
x
ϕ
ϕ
′
.
{\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}
x
i
⋅
x
j
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
(
x
r
⋅
x
r
)
(
r
′
2
)
+
(
x
θ
⋅
x
θ
)
(
θ
′
)
2
+
(
x
ϕ
⋅
x
ϕ
)
(
ϕ
′
)
2
=
(
r
′
)
2
+
r
2
(
θ
′
)
2
+
r
2
sin
2
θ
(
ϕ
′
)
2
.
{\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}
したがって、球座標で表された曲線の場合、弧の長さは
∫
t
1
t
2
(
d
r
d
t
)
2
+
r
2
(
d
θ
d
t
)
2
+
r
2
sin
2
θ
(
d
ϕ
d
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}
非常によく似た計算により、円筒座標で表された曲線の弧の長さは
∫
t
1
t
2
(
d
r
d
t
)
2
+
r
2
(
d
θ
d
t
)
2
+
(
d
z
d
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}
単純なケース
円弧 長さ（または大きさ）を表すラテン語が spatiumであるため、弧の長さは s で表されます 。
次の行では、 円 の 半径 、 は 直径 、 円周 、 円弧の長さ、円弧が円の 中心 でなす角度を 表します 。距離 とは 同じ 単位で表されます。
r
{\displaystyle r}
d
{\displaystyle d}
C
{\displaystyle C}
s
{\displaystyle s}
θ
{\displaystyle \theta }
r
,
d
,
C
,
{\displaystyle r,d,C,}
s
{\displaystyle s}
C
=
2
π
r
,
{\displaystyle C=2\pi r,}
これは次の式と同じである。 この式は定義である。
C
=
π
d
.
{\displaystyle C=\pi d.}
π
.
{\displaystyle \pi .}
弧が 半円 の場合、
s
=
π
r
.
{\displaystyle s=\pi r.}
任意の円弧の場合:
がラジアン単位 の 場合 、 これはラジアンの定義です。
θ
{\displaystyle \theta }
s
=
r
θ
.
{\displaystyle s=r\theta .}
が度単位 の 場合 、 これは次と同じです。
θ
{\displaystyle \theta }
s
=
π
r
θ
180
∘
,
{\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}
s
=
C
θ
360
∘
.
{\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}
がグラジエント単位 （100グラジエント、グレード、グラジアンは1つの 直角 ）の 場合 、 これは次と同じです。
θ
{\displaystyle \theta }
s
=
π
r
θ
200
grad
,
{\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}
s
=
C
θ
400
grad
.
{\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}
が回転数 の 場合 （1 回転は完全な回転、つまり 360°、つまり 400 グラジエント、つまり ラジアン）、 となります 。
θ
{\displaystyle \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
s
=
C
θ
/
1
turn
{\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}
地球上の大円 長さの単位である 海里 と メートル (またはキロメートル) は、もともと地球表面上の 大円 の弧の長さが、その中心でなす角度と単純に数値的に関係するように定義されました。この単純な式は 、次の状況に適用されます。
s
=
θ
{\displaystyle s=\theta }
が海里単位、が 分角単位 （ 1 ⁄ 60 度 ）の 場合 、または
s
{\displaystyle s}
θ
{\displaystyle \theta }
がキロメートル単位の場合 、 は グラジアン 単位です 。
s
{\displaystyle s}
θ
{\displaystyle \theta }
距離単位の長さは、地球の円周が等しくなるように選択された。 40,000 キロメートル 、または 21,600 海里。これらは、1 回転あたりの対応する角度単位の数です
。
メートルと海里の定義はより正確なものに取って代わられましたが、元の定義は概念的な目的や計算には十分正確です。たとえば、1キロメートルは正確に0.54海里であると示唆しています。公式の現代の定義を使用すると、1海里は正確に1.852キロメートルであり、 [4] 1キロメートルは約 0.539 956 80 海里。 [5] この現代の比率は、元の定義から計算された比率とは10,000分の1未満しか異なりません。
その他の単純なケース
歴史的方法
古代 数学の歴史 の大部分において 、最も偉大な思想家でさえ、不規則な弧の長さを計算することは不可能だと考えていました。 アルキメデスは「 枯渇法 」で曲線の下の面積を求める方法を開拓しましたが 、直線のように曲線が一定の長さを持つことさえ可能であると信じていた人はほとんどいませんでした。この分野で最初の基盤が築かれたのは、 微積分学 でよくあるように、 近似によるもの でした。人々は曲線の中に 多角形を 内接させ、長さをある程度正確に測定するために辺の長さを計算し始めました。より多くの線分を使用し、各線分の長さを短くすることで、より正確な近似値を得ることができました。特に、多くの辺を持つ多角形を円に内接させることで、 π のおおよその値を見つけることができました。 [6] [7]
17世紀 17 世紀には、消尽法によって、いくつかの超越曲線 が幾何学的手法によって修正されました 。1645 年に エヴァンジェリスタ トリチェリ ( 1650 年代に ジョン ウォリス という情報源もある)が 対数螺旋を、1658 年に クリストファー レン が サイクロイドを 、 1691 年に ゴットフリート ライプニッツ が 懸垂線を それぞれ修正しました。
1659年、ウォリスは ウィリアム・ニールが非自明な 代数曲線 の最初の修正法で ある半三次放物線 を発見したと認めた 。 [8]付随する図は145ページに掲載されている。91ページでは、ウィリアム・ニールは グリエルムス・ネリウス として言及されている 。
微積分が完全に正式に発展する前に、弧の長さの現代の積分形式の基礎は、 ヘンドリック・ファン・ホイラート と ピエール・ド・フェルマー によって独立に発見されました。
1659年、ファン・ホイラートは弧の長さを求める問題が曲線の下の面積を求める問題（つまり積分）に変換できることを示す構成を発表した。彼の方法の一例として、彼は半立方体の放物線の弧の長さを決定したが、これは 放物線の 下の面積を求める必要があった。 [9] 1660年、フェルマーはより一般的な理論を『直線との比較による 曲線の幾何 学的論文』で発表し、同じ結果を示した。 [10]
フェルマーの弧の長さを決定する方法 フェルマーは接線に関する以前の研究を基に、曲線
y
=
x
3
2
{\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}
x = a における 接線 の
傾き は
3
2
a
1
2
{\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}
したがって、接線は次の式を持つ。
y
=
3
2
a
1
2
(
x
−
a
)
+
f
(
a
)
.
{\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}
次に、彼は a を 少し増やして a + ε とし、線分 AC を Aから D までの 曲線の長さの比較的良い近似値にしました 。線分 ACの長さを求めるために、彼は ピタゴラスの定理を 使用しました 。
A
C
2
=
A
B
2
+
B
C
2
=
ε
2
+
9
4
a
ε
2
=
ε
2
(
1
+
9
4
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}
これを解くと、
A
C
=
ε
1
+
9
4
a
.
{\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}
長さを概算するために、フェルマーは一連の短いセグメントを合計しました。
無限の長さの曲線 コッホ曲線。 グラフ
x
⋅
sin
(
1
/
x
)
{\displaystyle x\cdot \sin(1/x)}
上で述べたように、一部の曲線は非平行化可能です。つまり、多角形近似の長さには上限がなく、長さは 任意の大きさに することができます。非公式には、このような曲線は無限長であると言われています。すべての弧 (一点弧を除く) の長さが無限である連続曲線があります。このような曲線の例としては、 コッホ曲線 があります。無限長の曲線の別の例としては、 0 を区切りの 1 つとし、 f (0) = 0 である任意の開集合に対して、 f ( x ) = x sin(1/ x ) で定義される関数のグラフがあります。 ハウスドルフ次元 と ハウスドルフ測度は 、このような曲線のサイズを定量化するために使用されることがあります。
（擬）リーマン多様体への一般化 を（擬似）リーマン多様体 、 を（擬似） 計量テンソル 、
を パラメトリック方程式
で定義される 曲線 と する。
M
{\displaystyle M}
g
{\displaystyle g}
γ
:
[
0
,
1
]
→
M
{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
γ
(
t
)
=
[
γ
1
(
t
)
,
…
,
γ
n
(
t
)
]
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}
そして
γ
(
0
)
=
x
,
γ
(
1
)
=
y
{\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }
の長さは 次のように定義される。
γ
{\displaystyle \gamma }
ℓ
(
γ
)
=
∫
0
1
|
|
γ
′
(
t
)
|
|
γ
(
t
)
d
t
{\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}
、 または、ローカル座標を選択して 、
x
{\displaystyle x}
ℓ
(
γ
)
=
∫
0
1
±
∑
i
,
j
=
1
n
g
i
j
(
x
(
γ
(
t
)
)
)
d
x
i
(
γ
(
t
)
)
d
t
d
x
j
(
γ
(
t
)
)
d
t
d
t
{\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}
、 どこ
γ
′
(
t
)
∈
T
γ
(
t
)
M
{\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}
は の接線ベクトルです。 平方根の符号は、平方根が実数であることを保証するために、与えられた曲線に対して一度だけ選択されます。正の符号は空間的曲線に対して選択されます。擬似リーマン多様体では、負の符号は時間的曲線に対して選択される場合があります。したがって、曲線の長さは非負の実数です。通常、部分的に空間的であり部分的に時間的である曲線は考慮されません。
γ
{\displaystyle \gamma }
t
.
{\displaystyle t.}
相対性理論 では 、時間的曲線（ 世界線 ）の弧の長さは世界線に沿って経過した 固有時間 であり、空間的曲線の弧の長さは 曲線に沿った
固有距離です。
参照
参考文献
^ Ahlberg、Nilson (1967)。 スプラインの理論とその応用 。Academic Press。p. 51。ISBN 9780080955452 。 ^ Nestoridis, Vassili; Papadopoulos, Athanase (2017). 「解析曲線のグローバル共形パラメータとしての弧長」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 445 (2). Elsevier BV: 1505–1515. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN 0022-247X. ^ ルディン、ウォルター (1976)。 数学的解析の原理 。McGraw-Hill, Inc. pp. 137。ISBN 978-0-07-054235-8 。 ^ Suplee, Curt (2009年7月2日). 「特別出版物811」. nist.gov . ^ CRC化学物理ハンドブック 、p. F-254 ^ Richeson, David (2015 年 5 月)。「循環論法: C を d で割ると定数になること を 最初に証明したのは誰か?」 The College Mathematics Journal。46 ( 3): 162–171。doi : 10.4169 /college.math.j.46.3.162。ISSN 0746-8342。S2CID 123757069 。 ^ Coolidge, JL (1953年2月). 「曲線の長さ」. アメリカ数学月刊誌 . 60 (2): 89–93. doi :10.2307/2308256. JSTOR 2308256. ^ ジョン、ウォリス (1659)。トラクタトゥスデュオ。以前、性器炎におけるサイクロイドと企業の研究…。オックスフォード：大学出版局。 91–96ページ。 ^ ファン・ヒューレット、ヘンドリック (1659)。 「Epistola de transmutatione curvarum linearyum in rectas [曲線を正しいものに変換することに関する手紙]」。 Renati Des-Cartes Geometria (第 2 版)。アムステルダム：ルイス＆ダニエル・エルゼビル。 517–520ページ。 ^ MPEAS (フェルマーの仮名) (1660)。 De Linearum Curvarum兼Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica。トゥールーズ：アルノー・コロメール。
出典 Farouki, Rida T. (1999)。「動きから生まれる曲線、曲線から生まれる動き」。Laurent, P.-J.、Sablonniere, P.、Schumaker, LL (編)。Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999 。Vanderbilt Univ. Press。pp. 63–90。ISBN 978-0-8265-1356-4 。
外部リンク
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![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \theta \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fead1e7dceab4be5ab2e91f5108144722daa8c36)
![{\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be6f68e690582b18646e7c6afe955a30090915b)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
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![{\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9a3ce127fcb9f491ca931e6d26ffd6c4b89794)
