二重接線束

数学、特に微分位相幾何学において、二重接線束あるいは第二接線束は、滑らかな多様体Mの接線束( TM、π _TM、M )の全空間TMの接線束 ( TTM、π _TTM、TM )を指す 。^[1]表記に関する注記: この記事では、射影写像をその定義域で表記する (例: π _TTM  : TTM → TM ) 。著者によっては、これらの写像を値域で索引付けする人もいるため、その場合、その写像はπ _TMと表記される。

第二接線束は、接続と2次常微分方程式、すなわち滑らかな多様体上の（半）スプレー構造の研究で登場し、 2次ジェット束と混同しないようにします。

( TM , π _TM , M )はそれ自体がベクトル束なので、その接束は二次ベクトル束構造 ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ) を持ちます。ここで、( π _TM ) _* : TTM → TM は、標準射影π _TM : TM → Mの押し出しです。 以下では、

${\displaystyle \xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M}$

関連する座標系を適用する

${\displaystyle \xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})}$

TM上の二次ベクトル束構造のX ∈ T _x Mにおける繊維は次の形をとる。

${\displaystyle (\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

二重接線束は二重ベクトル束です。

標準的な反転[ ^2]は、滑らかな反転j : TTM → TTMであり、 ( TTM , π _TTM , TM )と( TTM ,( π _TM ) _* , TM )の間のベクトル束同型という意味で、これらのベクトル空間構造を交換する。 TM上の関連座標では、次のように表される 。

${\displaystyle j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.}$

^{標準的な反転は、}任意のf : R2 → Mに対して、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}}$

ここで、sとtはR ²の標準基底の座標です。両方の偏導関数はR ^2からTTMへの関数であることに注意してください。

この性質は、実際、標準的な反転の本質的な定義を与えるために使用できます。^[3]実際、 p : J ² ₀ ( R ² ,M) → TTMの沈み込みは 次のように与えられます。

${\displaystyle p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)}$

ここで、p はゼロでの 2 ジェット空間で定義できます。これは、ゼロでの 2 次までの fにのみ依存するためです。次の応用を考えます。

${\displaystyle J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]}$

ここでα( s , t )=( t , s )である。するとJは射影pと互換性があり、商TTMの標準反転を誘導する。

任意のベクトル束について、接束( TM , π _TM , M )のファイバーT _x Mの接空間T _ξ ( T _x M )は、ファイバーT _x M自体と同一視できる。形式的には、これは垂直リフトによって達成され、これは次のように定義される 自然なベクトル空間同型 vl _ξ : T _x M → V _ξ ( T _x M )である。

${\displaystyle (\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).}$

垂直リフトは、 π _TM : TM → M上の( TM , π _TM , M ) の引き戻しバンドルから垂直接線バンドルへの自然なベクトルバンドル同型vl:(π _TM ) ^* TM → VTMとしても見ることができます 。

${\displaystyle VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.}$

垂直方向の揚力により、正準ベクトル場を定義することができる。

${\displaystyle V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,}$

これはスリット接線束TM \0内で滑らかである。正準ベクトル場は、リー群作用の無限小生成子としても定義できる。

${\displaystyle \mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .}$

任意のベクトル束に対して定義できる正準ベクトル場とは異なり、正準自己準同型は

${\displaystyle J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_ {\xi }TM}$

は接バンドルに対して特殊である。標準自己準同型Jは

${\displaystyle \operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad [JX,JY]=J [JX,Y]+J[X,JY],}$

また、次の理由から接構造とも呼ばれます。 ( E、p、M ) が、上記の性質を満たす、正準ベクトル場Vと (1,1)-テンソル場J を持つ任意のベクトル束で、 VTMの代わりにVE が使われる場合、ベクトル束 ( E、p、M ) は基本多様体の接束( TM、π _TM、M )と同型であり、J はこの同型におけるTMの接構造に対応します。

この種のより強い結果^[4]もあり、Nが2n次元多様体であり、N上に(1,1)テンソル場Jが存在 し、

${\displaystyle \オペレーター名 {Ran} (J)=\オペレーター名 {Ker} (J),\qquad [JX,JY]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

すると、N はある n次元多様体Mの接束の全空間の開集合に微分同相であり、J はこの微分同相写像における TMの接構造に対応する。

TM上の任意の関連座標系において、正準ベクトル場と正準自己準同型写像は座標表現を持つ。

${\displaystyle V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.}$

滑らかな多様体M上のセミスプレー構造は、定義により、 JH = V となるTM \0上の滑らかなベクトル場Hです。同等の定義は、j ( H )= Hであり、j : TTM → TTMは標準フリップです。さらに、[ V , H ]= Hであれば、セミスプレーHはスプレーです。

スプレー構造とセミスプレー構造は、 M上の2次常微分方程式の不変バージョンです。スプレー構造とセミスプレー構造の違いは、スプレーの解曲線はM上の点集合としての正の再パラメータ化^{[専門用語]}で不変であるのに対し、セミスプレーの解曲線は通常は不変ではないことです。

正準反転により、滑らかな多様体上の非線形共変微分を次のように定義することが可能になる。

${\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}$

スリット接線束TM \0上のエーレスマン接続とし、写像を考える

${\displaystyle D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),}$

ここで、Y _* : TM → TTMはプッシュフォワード、j : TTM → TTMは標準反転、κ: T ( TM /0)→ TM /0 はコネクタマップです。マッピングD _{X は}、 M上の滑らかなベクトル場のモジュール Γ ( TM ) における微分であり、

• ${\displaystyle D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$。
• ${\displaystyle D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)}$。

これらの性質を持つ任意の写像D _XはM上の（非線形）共変微分 ^[5]と呼ばれます。非線形という用語は、この種の共変微分D _Xが微分の方向X ∈ TM /0に関して必ずしも線形ではないという事実を指します。

局所表現を見ると、( TM /0,π _{TM /0} , M )上の Ehresmann 接続とM上の非線形共変微分が 1 対 1 に対応していることが確認できます。さらに、D _XがXで線形である場合、 Ehresmann 接続は二次ベクトル束構造で線形であり、D _{X は}その線形共変微分と一致します。

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