蜘蛛とハエの問題

蜘蛛と蝿の問題は、直方体の表面上の 2 点間の最短経路または測地線を求める、直感に反する解法を持つ娯楽数学の問題です。この問題はもともとHenry Dudeneyによって提起されました。

問題

典型的なパズルでは、長さ 30 フィート、幅 12 フィート、高さ 12 フィートの空っぽの直方体の部屋に、クモとハエがいます。クモは天井から 1 フィート下にいて、12 フィート×12 フィートの壁の 1 つに水平方向の中央にいます。ハエは床から 1 フィート上にいて、反対側の壁の水平方向の中央にいます。問題は、クモが壁、天井、床に沿って這って、静止しているハエにたどり着くために必要な最短距離を見つけることです。^[1]

ソリューション

素朴な解決法としては、クモが水平方向に中心を保ち、天井まで這い上がり、天井を横切ってハエのところまで降りていき、距離は 42 フィートになるというものだ。その代わりに、直方体の 6 つの面のうち 5 つを螺旋状に回る 40 フィートの最短経路となる。あるいは、直方体を網状に展開し、平面上に展開された 6 つの長方形のシステム上で最短経路 (線分) を見つけることで記述することもできる。網が異なれば線分の長さも異なるため、線分の長さが最小となる網を見つけるという問題になる。^[2]中間の長さの別の経路は、5 つの面ではなく 4 つの面を斜めに横切る。^[3] ${\sqrt {1658}}\approx 40.7$

長さl、幅w、高さhの部屋で、クモが天井から距離b下、ハエが床から距離a上にある場合、螺旋経路の長さはであるのに対し、単純な解の長さはである。^[1]直方体の寸法、およびクモとハエの初期位置によっては、これらの経路のいずれか、または他の 4 つの経路が最適解となる場合がある。^[4]ただし、直方体は存在せず、直方体上の 2 つの点では、最短経路が直方体の 6 つの面すべてを通過する。^[5] ${\sqrt {(w+h)^{2}+(b+l+a)^{2}}}$ $l+h-|ba|$

パズルの規定ルールを超えた別の水平思考の解決法としては、クモが壁に引き綱を取り付けて床に降り、壁を横切って30フィート、反対側の壁を1フィート登って、31フィートの這い上がり距離を得るという方法がある。同様に、天井まで登って壁を横切り、引き綱を取り付けて11フィート降りて、やはり31フィートの這い上がり距離を得ることもできる。^[6]

歴史

この問題はもともとヘンリー・デュドニーが1903年6月14日にイギリスの新聞ウィークリー・ディスパッチで出題し、 1907年に『カンタベリー・パズル』に収録された。マーティン・ガードナーはこれを「デュドニーの最も有名な頭の体操」と呼んでいる。^[7]

この問題のバージョンは、 1908年にアドルフ・フルヴィッツの日記に記録されています。フルヴィッツは、この問題をL.ギュスターヴ・デュ・パスキエから聞いたと述べています。そして、デュ・パスキエは、リヒャルト・フォン・ミーゼスからこの問題を聞いたそうです。^[8]

参考文献

^ ab Mellinger, Keith E.; Viglione, Raymond (2012年3月). 「蜘蛛とハエ」. The College Mathematics Journal . 43 (2): 169–172. doi :10.4169/college.math.j.43.2.169. S2CID 117839570.
^ Davis, Philip J. ; Chinn, William G. (1985). 「第16章: 蜘蛛と蝿」. 3.1416 And All That . ボストン: Birkhäuser. pp. 117–122. doi :10.1007/978-1-4615-8519-0_16.
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2006). 「9.4 クモとハエ」。視覚化された数学: 数学を理解するための画像の作成。教室用リソース資料。第 28 巻。アメリカ数学会。pp. 45–46。ISBN 9781614441007。
^ ミラー、S.マイケル; シェーファー、エドワード F. (2015年春)。「箱の表面に沿った点からその反対点までの距離」。Pi Mu Epsilon Journal。14 ( 2): 143–154。arXiv : 1502.01036。JSTOR 24340739 。
^ デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．デヴィッド・エップスタイン;伊藤、ヒロ；片山雄太；村山渉；宇野有志 (2022) 「多面体のすべての面を通過する測地線パス」。第24回離散・計算幾何・グラフ・ゲーム日本会議（JCDCG3 2022）（PDF）。 58～59ページ。
^ Weisstein, Eric W.「蜘蛛とハエの問題」。MathWorld。
^ ガードナー、マーティン(1958 年 6 月)。「パズルの天才、ヘンリー・アーネスト・デュードニーについて」。数学ゲーム。サイエンティフィック・アメリカン。198 (6): 108–114。doi : 10.1038 /scientificamerican0658-108。JSTOR 24941034 。
^ オズワルド、ニコラ (2014)。「スパイダーとハエの出会いは?」ハーヴィッツの複素連分数: 歴史的アプローチと現代的視点 (博士論文)。ユリウス・マクシミリアン大学ヴュルツブルク校。pp. 36–41。

[mv-1] Mellinger, Keith E.; Viglione, Raymond (2012年3月). 「蜘蛛とハエ」. The College Mathematics Journal . 43 (2): 169–172. doi :10.4169/college.math.j.43.2.169. S2CID 117839570.

[dc-2] Davis, Philip J. ; Chinn, William G. (1985). 「第16章: 蜘蛛と蝿」. 3.1416 And All That . ボストン: Birkhäuser. pp. 117–122. doi :10.1007/978-1-4615-8519-0_16.

[an-3] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2006). 「9.4 クモとハエ」。視覚化された数学: 数学を理解するための画像の作成。教室用リソース資料。第 28 巻。アメリカ数学会。pp. 45–46。ISBN 9781614441007。

[ms-4] ミラー、S.マイケル; シェーファー、エドワード F. (2015年春)。「箱の表面に沿った点からその反対点までの距離」。Pi Mu Epsilon Journal。14 ( 2): 143–154。arXiv : 1502.01036。JSTOR 24340739 。

[dde-5] デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．デヴィッド・エップスタイン;伊藤、ヒロ；片山雄太；村山渉；宇野有志 (2022) 「多面体のすべての面を通過する測地線パス」。第24回離散・計算幾何・グラフ・ゲーム日本会議（JCDCG3 2022）（PDF）。 58～59ページ。

[mw-6] Weisstein, Eric W.「蜘蛛とハエの問題」。MathWorld。

[g-7] ガードナー、マーティン(1958 年 6 月)。「パズルの天才、ヘンリー・アーネスト・デュードニーについて」。数学ゲーム。サイエンティフィック・アメリカン。198 (6): 108–114。doi : 10.1038 /scientificamerican0658-108。JSTOR 24941034 。

[o-8] オズワルド、ニコラ (2014)。「スパイダーとハエの出会いは?」ハーヴィッツの複素連分数: 歴史的アプローチと現代的視点 (博士論文)。ユリウス・マクシミリアン大学ヴュルツブルク校。pp. 36–41。