量子グラフ

数学や 物理学において、量子グラフとは、頂点が辺で接続された線形ネットワーク構造（すなわちグラフ）であり、各辺には長さが与えられ、各辺上に微分方程式（または擬似微分方程式）が定義されます。例としては、変電所（頂点）で接続された送電線（辺）からなる電力ネットワークが挙げられます。この場合、微分方程式は各送電線に沿った電圧を表し、各辺の境界条件は隣接する頂点で与えられ、すべての辺で加算された電流が各頂点でゼロになるようにします。

量子グラフは、1930年代にライナス・ポーリングによって有機分子中の自由電子のモデルとして初めて研究されました。また、量子カオスのモデルシステム、導波路の研究、フォトニック結晶、アンダーソン局在、または細いワイヤーの縮小の限界など、さまざまな数学的文脈でも現れます^{[ 1 ]} 。量子グラフは、ナノテクノロジーの理論的理解を得るために使用されるメゾスコピック物理学の重要なモデルとなっています。量子グラフの別の、より単純な概念は、フリードマンらによって導入されました^{[ 2 ]。}

具体的な応用を目的として量子グラフ上で提示された微分方程式を実際に解くこととは別に、典型的な問題として、制御可能性（システムを望ましい状態にするためにどのような入力を与える必要があるか、例えば電力ネットワーク上のすべての家に十分な電力を供給するなど）と識別可能性（システムの完全な状態を把握するために、何をどのようにどこで測定する必要があるか、例えば水道管ネットワークの圧力を測定して漏水しているパイプがあるかどうかを判断するなど）が挙げられます。

メトリックグラフは、集合からなるグラフ です。${\displaystyle V}$頂点と集合${\displaystyle E}$各辺が${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$間隔と関連付けられています${\displaystyle [0,L_{e}]}$となることによって${\displaystyle x_{e}}$は区間上の座標、頂点${\displaystyle v_{1}}$対応する${\displaystyle x_{e}=0}$そして ${\displaystyle v_{2}}$に${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$あるいはその逆も然り。どの頂点がゼロに位置するかの選択は任意であり、もう一方の選択は辺上の座標の変化に対応する。グラフには自然な計量がある。2点の場合${\displaystyle x,y}$グラフ上で、${\displaystyle \rho (x,y)}$これは、グラフの端に沿って距離を測定した場合の、両者間の最短距離です。

開グラフ：組み合わせグラフモデルでは、エッジは常に頂点のペアを結びますが、量子グラフでは半無限エッジも考慮することができます。これらは区間に関連付けられたエッジです。 ${\displaystyle [0,\infty )}$単一の頂点にアタッチされています${\displaystyle x_{e}=0}$1つ以上の開いた辺を持つグラフは、開グラフと呼ばれます。

量子グラフは、グラフ上の関数に作用する微分演算子（または擬似微分演算子）を備えたメトリックグラフです。${\displaystyle f}$メトリックグラフ上では、${\displaystyle |E|}$関数のタプル ${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$区間上で。グラフのヒルベルト空間は${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$ ここで、2つの関数の内積は

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$開辺の場合は無限大になる可能性がある。メトリックグラフ上の演算子の最も単純な例はラプラス演算子である。辺上の演算子は${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$どこ${\displaystyle x_{e}}$はエッジ上の座標です。演算子を自己共役にするには、適切な領域を指定する必要があります。これは通常、ソボレフ空間を取ることによって実現されます。${\displaystyle H^{2}}$グラフのエッジ上の関数と、頂点におけるマッチング条件の指定。

演算子を自己共役にするマッチング条件の自明な例は、ディリクレ境界条件である。${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$すべての辺について。有限辺上の固有関数は次のように書ける。

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

整数${\displaystyle n}$グラフが閉じていて無限の辺がなく、グラフの辺の長さが有理的に独立している場合、固有関数は単一のグラフ辺上に存在し、固有値は${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$ディリクレ条件では区間間の相互作用が許されないため、スペクトルは非連結なエッジの集合のスペクトルと同じになります。

エッジ間の相互作用を可能にする、より興味深い自己共役マッチング条件は、ノイマンマッチング条件または自然マッチング条件である。${\displaystyle f}$演算子の定義域では、グラフ上のあらゆる場所で連続であり、頂点における外向き導関数の合計はゼロである。

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

どこ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$頂点が${\displaystyle v}$は${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$もし${\displaystyle v}$は${\displaystyle x=L_{e}}$。

メトリックグラフ上の他の演算子の性質についても研究が行われている。

• これらには、より一般的なクラスのシュレーディンガー演算子、$${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$$どこ${\displaystyle A_{e}}$端には「磁気ベクトルポテンシャル」があり、${\displaystyle V_{e}}$はスカラーポテンシャルです。
• もう1つの例は、グラフ上のディラック演算子です。これは、電子のように固有角運動量が1/2である粒子の量子力学を記述するベクトル値関数に作用する行列値演算子です。
• グラフ上のディリクレ-ノイマン演算子は、フォトニック結晶の研究において現れる擬微分演算子である。

グラフ上のラプラス演算子の自己共役マッチング条件はすべて、KostrykinとSchraderのスキームに従って分類できます。実際には、Kuchment ^{[ 3 ]}によって導入された形式を採用する方が便利な場合が多く、これにより自動的に変分形式の演算子が得られます。

させて${\displaystyle v}$頂点となる${\displaystyle d}$そこから伸びるエッジ。簡単にするために、エッジ上の座標を次のように選択します。${\displaystyle v}$横たわる${\displaystyle x_{e}=0}$各エッジの交点について${\displaystyle v}$関数の場合${\displaystyle f}$グラフ上で

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

マッチング条件${\displaystyle v}$2つの行列で指定できます ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$線形方程式を通して、

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

マッチング条件は、自己共役演算子を定義します。 ${\displaystyle (A,B)}$最高ランクを持つ${\displaystyle d}$そして${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

有限グラフ上のラプラス演算子のスペクトルは、KottosとSmilanskyによって導入された散乱行列アプローチを用いて簡単に記述できる。 ^{[ 4 ] [ 5 ]} 辺上の固有値問題は、

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

したがって、境界上の解は平面波の線形結合として表すことができる。

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

時間依存シュレーディンガー方程式において${\displaystyle c}$は、 における出射平面波の係数です。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle {\hat {c}}}$入射平面波の係数${\displaystyle 0}$マッチング条件は${\displaystyle v}$散乱行列を定義する

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

散乱行列は、入射および出射平面波係数のベクトルを関連付けます。${\displaystyle v}$、${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$自己共役マッチング条件の場合${\displaystyle S}$は単一です。 ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$の${\displaystyle S}$は、有向エッジからの複素遷移振幅である。${\displaystyle (uv)}$ 端まで${\displaystyle (vw)}$これは一般的に${\displaystyle k}$しかし、多くのマッチング条件では、S行列は${\displaystyle k}$例えばノイマン整合条件の場合

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

式に代入すると${\displaystyle S}$ 生産する${\displaystyle k}$-独立遷移振幅

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

どこ${\displaystyle \delta _{uw}}$は、クロネッカーデルタ関数であり、${\displaystyle u=w}$それ以外の場合はゼロ。遷移振幅から、 ${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$マトリックス

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$これは結合散乱行列と呼ばれ、グラフ上の量子発展演算子と考えることができます。これはユニタリであり、ベクトルに作用します。${\displaystyle 2|E|}$グラフの平面波係数${\displaystyle c_{(uv)}}$は、から伝わる平面波の係数です。${\displaystyle u}$に${\displaystyle v}$フェーズ${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$は、平面波が頂点から伝搬する際に獲得する位相です。${\displaystyle u}$頂点へ${\displaystyle v}$。

量子化条件：グラフ上の固有関数は、それに関連付けられた${\displaystyle 2|E|}$平面波係数。固有関数は量子発展の下で定常であるため、発展演算子を使用してグラフの量子化条件を記述できます。

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

固有値${\displaystyle k_{j}}$値で発生する${\displaystyle k}$行列${\displaystyle U(k)}$固有値は1です。スペクトルを順に並べると ${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$。

グラフの最初のトレース公式はロス（1983）によって導出された。 1997年にコットスとスミランスキーは上記の量子化条件を用いて、遷移振幅が独立である場合のグラフ上のラプラス演算子のトレース公式を導出した。${\displaystyle k}$トレース公式は、スペクトルとグラフ上の周期軌道を結びつける。

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$これは状態密度と呼ばれます。トレース公式の右辺は2つの項、ワイル項から構成されています。${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ は固有値の平均分離であり、振動部分はすべての周期軌道にわたる合計である。${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$グラフ上で。 ${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$は軌道の長さであり、 ${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$はグラフの全長です。より短い原始軌道を繰り返して生成された軌道の場合、${\displaystyle r_{p}}$再分割の回数をカウントします。 ${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$これは、軌道上のグラフの頂点における遷移振幅の積である。

量子グラフは、1930年代にナフタレンなどの有機分子中の自由電子のスペクトルをモデル化するために初めて用いられた 。第一近似として、原子を頂点とし、σ電子が結合を形成して分子の形状に沿ったフレームを固定し、そのフレーム上に自由電子が閉じ込められる。

量子導波路を考える際にも同様の問題が生じます。量子導波路はメゾスコピック系、つまりナノメートルスケールの幅を持つシステムです。量子導波路は、辺が細い管である太いグラフと考えることができます。この領域におけるラプラス演算子のスペクトルは、特定の条件下でグラフ上のラプラス演算子のスペクトルに収束します。メゾスコピック系の理解は、ナノテクノロジーの分野において重要な役割を果たします。

1997年^{[ 6 ]} 、コットスとスミランスキーは、古典的にカオス的なシステムの量子力学である量子カオスを研究するためのモデルとして量子グラフを提案した 。グラフ上の古典的な運動は、エッジからの散乱の確率が確率的マルコフ連鎖として定義できる。${\displaystyle e}$端に${\displaystyle f}$量子遷移振幅の絶対値の二乗で与えられる。${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$ほぼすべての有限連結量子グラフにおいて、確率的ダイナミクスはエルゴード的かつ混合的であり、言い換えればカオス的である。

2次元または3次元に埋め込まれた量子グラフは、フォトニック結晶の研究に現れる。^{[ 7 ]} 2次元では、フォトニック結晶の単純なモデルは、高密度誘電体の多角形セルと、セル間に空気で満たされた狭い界面から構成される。誘電体内に主に留まる誘電体モードを研究すると、狭い界面に沿ってグラフ上に擬微分演算子が生じる。

格子のような周期的な量子グラフ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$周期系や量子グラフの一般的なモデルは、アンダーソン局在現象の研究に応用されており、無秩序が存在する場合にスペクトルバンドの端で局在状態が発生する。

• シルトの梯子は、架空の量子グラフ理論を扱った小説である。
• ファインマン図