接線束上のベクトル場
微分幾何学 において 、 スプレーとは、 接線束 TM 上の ベクトル場 H であり 、 基本多様体 M上の常微分方程式の 準 線型2次系をエンコードするものである。通常、スプレーは、その積分曲線 t →Φ H t (ξ)∈ TM が正の再パラメータ化において規則 Φ H t (λξ)=Φ H λt (ξ) に従うという意味で同次であることが要求される。この要件が省略された場合、 H は セミスプレー と呼ばれる 。
スプレーは、 リーマン 幾何学や フィンスラー幾何学 において、 積分曲線が 局所 的に長さを最小化する曲線の接線曲線とまったく同じである 測地線スプレーとして自然に生じる。セミスプレーは、 ラグランジュ力学 における作用積分の極値曲線として自然に生じる。これらすべての例を一般化すると、 M 上の任意の（非線形の可能性がある）接続はセミスプレー H を誘導し、逆に、任意のセミスプレー H は M 上にねじれのない非線形接続を誘導する。元の接続がねじれのない接続であれば、それは H によって誘導される接続と一致し 、同次ねじれのない接続はフルスプレーと一対一に対応する。 [1]
M を 微分可能多様体 とし 、 ( TM ,π TM , M ) をその接束とします。このとき、 TM 上の ベクトル場 H (つまり、 二重接束 TTM の 切断 ) は、次の 3 つの同値な条件のいずれかが成立する場合、
M 上の セミスプレー となります。
(π TM ) * H ξ = ξ. JH = V 、ここで J は TM 上の 接線構造 、 V は TM \0 上の正準ベクトル場です。 j ∘ H = H 、ここで j : TTM → TTMは 標準的な反転 であり 、 Hは TM → TTM へのマッピングとして見られます 。 次のいずれかの同等の条件が満たされる場合、
M 上の 半噴霧 H は (完全な) 噴霧 となります。
H λξ = λ * (λ H ξ )、ここで λ * : TTM → TTM は、乗算 λ: TM → TM を 正のスカラー λ>0 で 押し進めることです。 正準ベクトル場 Vに沿った H のリー微分は [ V , H ] = H を 満たします。 Hの 積分曲線 t →Φ H t (ξ)∈ TM \0は、任意のλ>0に対して Φ H t (λξ)=λΦ H λt (ξ)を満たす。 を、各接空間上の座標基底を用いて、上の 局所座標 )に関連付けられた 上の局所座標とします 。すると、 は、次の 形式の局所表現を持つ場合、
上の半スプレーとなります。
（
x
私
、
ξ
私
）
{\displaystyle (x^{i},\xi^{i})}
T ま
{\displaystyle TM}
（
x
私
{\displaystyle (x^{i}}
ま
{\displaystyle M}
H
{\displaystyle H}
ま
{\displaystyle M}
H
ξ
=
ξ
私
∂
∂
x
私
|
（ x 、 ξ ）
− 2
グ
私
（ x 、 ξ ）
∂
∂
ξ
私
|
（ x 、 ξ ）
。
{\displaystyle H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}.}
TM 上の各座標系上で、 半噴霧 Hが（完全な）噴霧となるのは、 噴霧係数 G i が 次式を満たす
場合のみである。
グ
私
（ x 、 λ ξ ） =
λ
2
グ
私
（ x 、 ξ ） 、 λ > 0.
{\displaystyle G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,}
ラグランジアン力学におけるセミスプレー 物理システムは、ラグランジアン力学において、 ある配置空間 Mの 接線束 上の ラグランジアン関数 L : TM → Rによってモデル化される。力学法則は、システムの状態の時間発展 γ:[ a , b ]→ M が 作用積分に対して定常であること
を述べるハミルトン原理から得られる。
S
（ γ ） :=
∫
1つの
b
ら （ γ （ t ） 、
γ ˙
（ t ） ） d t
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt}
。 TM 上の関連座標では、 作用積分の最初の変化は次のように表される。
d
d s
|
s = 0
S
（
γ
s
） =
|
1つの
b
∂ ら
∂
ξ
私
バツ
私
−
∫
1つの
b
（
∂
2
ら
∂
ξ
じ
∂
ξ
私
γ ¨
じ
+
∂
2
ら
∂
x
じ
∂
ξ
私
γ ˙
じ
−
∂ ら
∂
x
私
）
バツ
私
d t 、
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}X^{i}dt,}
ここで、 X :[ a , b ]→ Rは γ( t )=γ0 ( t )の周りの変分 γs :[ a , b ]→ M に関連付けられた変分ベクトル場です 。この最初の変分式は、次の概念を導入することで、よりわかりやすい形に書き直すことができます。
の 共役運動量 である 共ベクトル です 。
α
ξ
=
α
私
（ x 、 ξ ） d
x
私
|
x
∈
T
x
∗
ま
{\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M}
α
i
(
x
,
ξ
)
=
∂
L
∂
ξ
i
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle \alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )}
ξ
∈
T
x
M
{\displaystyle \xi \in T_{x}M}
に 対応する 1 形式は 、ラグランジアンに関連付けられた ヒルベルト形式 です。
α
∈
Ω
1
(
T
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(TM)}
α
ξ
=
α
i
(
x
,
ξ
)
d
x
i
|
(
x
,
ξ
)
∈
T
ξ
∗
T
M
{\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*}TM}
の 双線形形式は 、 におけるラグランジアン の 基本テンソル です 。
g
ξ
=
g
i
j
(
x
,
ξ
)
(
d
x
i
⊗
d
x
j
)
|
x
{\displaystyle g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j})|_{x}}
g
i
j
(
x
,
ξ
)
=
∂
2
L
∂
ξ
i
∂
ξ
j
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}(x,\xi )}
ξ
∈
T
x
M
{\displaystyle \xi \in T_{x}M}
基本テンソル が任意の で非退化である場合、 ラグランジアン は ルジャンドル条件 を満たします。この場合、 の逆行列 は と表されます 。
g
ξ
{\displaystyle \displaystyle g_{\xi }}
ξ
∈
T
x
M
{\displaystyle \xi \in T_{x}M}
g
i
j
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle g_{ij}(x,\xi )}
g
i
j
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle g^{ij}(x,\xi )}
ラグランジアンに関連付けられた エネルギー は です。
E
(
ξ
)
=
α
ξ
(
ξ
)
−
L
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )}
ルジャンドル条件が満たされる場合、 d α∈Ω 2 ( TM )は シンプレクティック形式 であり、 TM 上の ハミルトン関数 Eに対応する唯一の ハミルトンベクトル場 H が存在し、
d
E
=
−
ι
H
d
α
{\displaystyle \displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha }
。 ハミルトンベクトル場 Hの TM 上の関連座標における成分を ( X i , Y i )とする。すると
ι
H
d
α
=
Y
i
∂
2
L
∂
ξ
i
∂
x
j
d
x
j
−
X
i
∂
2
L
∂
ξ
i
∂
x
j
d
ξ
j
{\displaystyle \iota _{H}d\alpha =Y^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}}
そして
d
E
=
(
∂
2
L
∂
x
i
∂
ξ
j
ξ
j
−
∂
L
∂
x
i
)
d
x
i
+
ξ
j
∂
2
L
∂
ξ
i
∂
x
j
d
ξ
i
{\displaystyle dE={\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{i}}
したがって、ハミルトンベクトル場 Hは配置空間 M 上のセミスプレーであり 、スプレー係数は
G
k
(
x
,
ξ
)
=
g
k
i
2
(
∂
2
L
∂
ξ
i
∂
x
j
ξ
j
−
∂
L
∂
x
i
)
.
{\displaystyle G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.}
ここで、最初の変分式は次のように書き直すことができる。
d
d
s
|
s
=
0
S
(
γ
s
)
=
|
a
b
α
i
X
i
−
∫
a
b
g
i
k
(
γ
¨
k
+
2
G
k
)
X
i
d
t
,
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,}
そして、γ[ a , b ]→ M が 固定端点を持つ作用積分に対して定常となるのは、その接線 γ':[ a , b ]→ TM が ハミルトンベクトル場 H に対する積分曲線である場合に限ります。したがって、機械システムのダイナミクスは、作用積分から生じるセミスプレーによって記述されます。
ジオデシックスプレー リーマン多様体 と フィンスラー多様体 の局所的に長さを最小にする曲線は 測地線 と呼ばれます。ラグランジアン力学の枠組みを使用すると、これらの曲線をスプレー構造で記述できます。TM上のラグランジアン関数を 次のように
定義します 。
L
(
x
,
ξ
)
=
1
2
F
2
(
x
,
ξ
)
,
{\displaystyle L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),}
ここで、 F : TM → Rは フィンスラー関数 である 。リーマン関数の場合は、 F 2 ( x ,ξ) = g ij ( x )ξ i ξ j を 使用する。ここで、上のセクションの概念を導入する。リーマン関数の場合、基本テンソルg ij ( x ,ξ) は、単にリーマン計量 g ij ( x ) であることがわかる 。一般的な場合、同次条件
F
(
x
,
λ
ξ
)
=
λ
F
(
x
,
ξ
)
,
λ
>
0
{\displaystyle F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0}
フィンスラー関数は次の式を意味します。
α
i
=
g
i
j
ξ
i
,
F
2
=
g
i
j
ξ
i
ξ
j
,
E
=
α
i
ξ
i
−
L
=
1
2
F
2
.
{\displaystyle \alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{i},\quad F^{2}=g_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j},\quad E=\alpha _{i}\xi ^{i}-L={\tfrac {1}{2}}F^{2}.}
古典力学の観点から、最後の式は、システム（ M 、 L ）内のすべてのエネルギーが運動エネルギー形式であることを示しています。さらに、均一性特性が得られます。
g
i
j
(
λ
ξ
)
=
g
i
j
(
ξ
)
,
α
i
(
x
,
λ
ξ
)
=
λ
α
i
(
x
,
ξ
)
,
G
i
(
x
,
λ
ξ
)
=
λ
2
G
i
(
x
,
ξ
)
,
{\displaystyle g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i}(x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),}
最後のものは、この機械システムのハミルトンベクトル場 H が完全なスプレーであることを示しています。基礎となるフィンスラー (またはリーマン) 多様体の一定速度の測地線は、次の理由により、このスプレーによって記述されます。
g ξ は フィンスラー空間に対して正定値であるため 、長さ関数に対して十分短い定常曲線はすべて長さを最小化します。 エネルギーは自動的に運動定数となるため、作用積分のすべての定常曲線は一定速度になります 。
F
(
γ
(
t
)
,
γ
˙
(
t
)
)
=
λ
{\displaystyle F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda }
等速 曲線の場合、作用積分と長さ関数は次のように関係付けられる。
γ
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}
S
(
γ
)
=
(
b
−
a
)
λ
2
2
=
ℓ
(
γ
)
2
2
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma )={\frac {(b-a)\lambda ^{2}}{2}}={\frac {\ell (\gamma )^{2}}{2(b-a)}}.}
したがって、曲線が 作用積分に対して定常であるためには、曲線が一定速度であり、長さ関数に対して定常である必要があります。ハミルトンベクトル場 H はフィンスラー多様体 ( M 、 F ) の 測地線スプレー と呼ばれ 、対応する流れ Φ H t (ξ) は 測地線フロー と呼ばれます。
γ
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}
非線形接続との対応 滑らかな多様体上の 半スプレーは 、その水平および垂直投影を通じてスリット接線束上の
エーレスマン接続を定義する。
H
{\displaystyle H}
M
{\displaystyle M}
T
(
T
M
∖
0
)
=
H
(
T
M
∖
0
)
⊕
V
(
T
M
∖
0
)
{\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}
h
:
T
(
T
M
∖
0
)
→
T
(
T
M
∖
0
)
;
h
=
1
2
(
I
−
L
H
J
)
,
{\displaystyle h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{2}}{\big (}I-{\mathcal {L}}_{H}J{\big )},}
v
:
T
(
T
M
∖
0
)
→
T
(
T
M
∖
0
)
;
v
=
1
2
(
I
+
L
H
J
)
.
{\displaystyle v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}
TM \0上のこの接続は 常にゼロのねじれテンソルを持ち、これはフレーリッヒャー・ナイエンフイス括弧
T =[ J , v ] として定義されます。より基本的な用語で、ねじれは次のように定義できます。
T
(
X
,
Y
)
=
J
[
h
X
,
h
Y
]
−
v
[
J
X
,
h
Y
]
−
v
[
h
X
,
J
Y
]
.
{\displaystyle \displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY]-v[hX,JY].}
TM \0上の 正準ベクトル場 V と誘導接続の随伴構造 Θ を導入すると、セミスプレーの水平部分は hH =Θ V と書くことができます。セミスプレーの垂直部分 ε= vHは 第1スプレー不変量 として知られており 、セミスプレー H 自体は次のように分解されます。
H
=
Θ
V
+
ϵ
.
{\displaystyle \displaystyle H=\Theta V+\epsilon .}
最初のスプレー不変量は張力に関係している
τ
=
L
V
v
=
1
2
L
[
V
,
H
]
−
H
J
{\displaystyle \tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{[V,H]-H}J}
常微分方程式を通して誘導された非線形接続
L
V
ϵ
+
ϵ
=
τ
Θ
V
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \Theta V.}
したがって、最初のスプレー不変量 ε （および全体の半スプレー H ）は、非線形接続から次のように復元できます。
ϵ
|
ξ
=
∫
−
∞
0
e
−
s
(
Φ
V
−
s
)
∗
(
τ
Θ
V
)
|
Φ
V
s
(
ξ
)
d
s
.
{\displaystyle \epsilon |_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{0}e^{-s}(\Phi _{V}^{-s})_{*}(\tau \Theta V)|_{\Phi _{V}^{s}(\xi )}ds.}
この関係から、 H が完全なスプレーである
場合にのみ、誘導された接続が均質であることもわかります。
参考文献
^ I. Bucataru、R. Miron、 Finsler-Lagrange Geometry 、Editura Academiei Române、2007. シュロモ・シュテルンバーグ（1964） 『微分幾何学講義 』プレンティス・ホール 。 ラング、セルジュ（1999）、 微分幾何学の基礎 、シュプリンガー・フェアラーク 。 ヨアン州ブカタル。ラドゥ、ミロン (2007)。フィンスラー・ラグランジュ幾何学。動的システムへの応用 (PDF) 。エディトゥーラ・アカデミー・ロマンヌ。 
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c2d8d0dd04be91ac24d40469cc8b8ad0c7057d)
![{\displaystyle \displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY]-v[hX,JY]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9178556606b1f11ce438b111f558599b7a5be31)
![{\displaystyle \tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{[V,H]-H}J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f06a7d1e36c15f43f227c93eaa3c54fc466df1b)
