楕円体上の測地線

楕円体上の測地線の研究は、測地学、特に三角測量網の解法に関連して生まれました。地球の形は、わずかに平らな球体である扁平楕円体でよく近似されます。測地線は、曲面上の 2 点間の最短経路であり、平面上の直線に類似しています。したがって、楕円体上の三角測量網の解法は、回転楕円体三角法の一連の演習です (Euler 1755)。

地球を球体として扱う場合、測地線は大円（すべて閉じている）となり、問題は球面三角法の問題に帰着する。しかし、ニュートン（1687）は、地球の自転の影響により、地球はわずかに扁平な楕円体に似たものになることを示した。この場合、赤道と子午線だけが単純な閉じた測地線となる。さらに、赤道上の 2 点間の最短経路は、必ずしも赤道に沿っているわけではない。最後に、楕円体をさらに摂動させて三軸楕円体（3 つの異なる半軸を持つ）にした場合、閉じている測地線は 3 つだけとなる。

測地線を定義する方法はいくつかあります (Hilbert & Cohn-Vossen 1952、pp. 220–221)。単純な定義は、表面上の 2 点間の最短経路です。ただし、多くの場合、測地曲率がゼロの経路、つまり曲面上の直線の類似物として定義する方が便利です。この定義には、楕円体の表面を非常に長く移動して開始点に戻り始める測地線が含まれ、他の経路の方が直接的になり、交差したり、再度たどる経路も含まれます。測地線の十分に短いセグメントは、その終点間の最短経路ですが、測地線は必ずしもグローバルに最小 (つまり、すべての可能な経路の中で最短) であるとは限りません。すべてのグローバルに最短の経路は測地線ですが、その逆は当てはまりません。

18 世紀末までに、回転楕円体 (回転楕円体という用語も使用される) は、地球の形状の近似値として広く受け入れられるようになりました。三角測量ネットワークの調整には、すべての測定値を基準楕円体に縮小し、結果として生じる 2 次元の問題を回転楕円体三角法の演習として解くことが必要でした (Bomford 1952、第 3 章) (Leick ら 2015、§4.5)。

さまざまな測地線の問題を 2 つのタイプにまとめることができます。緯度φ ₁、経度λ ₁の点Aと緯度φ ₂、経度λ ₂の点B の2 つの点を考えます(図 1 を参照)。接続する測地線 ( AからB ) はABで、長さs ₁₂ 、 2 つの端点の方位角はα ₁とα ₂^{です。 [1]} 通常考慮される 2 つの測地線の問題は次のとおりです。

1. 直接測地線問題または第１測地線問題で_は、A、α1、およびs12_が与えられた場合、Bとα2_を決定します。
2. 逆測地線問題または第２測地​​線問題は、AとBが与えられた場合、s ₁₂、α ₁、およびα ₂を決定します。

図 1 からわかるように、これらの問題は、1 つの角度(正問題の場合はα _{1 、逆問題の場合は}λ ₁₂ = λ ₂ − λ ₁₎とその 2 つの隣接する辺が与えられた三角形 NAB を解くことです。球面の場合、これらの問題の解は球面三角法の簡単な演習であり、その解は球面三角形を解く公式によって与えられます。(大圏航行に関する記事を参照してください。)

回転楕円体の場合、測地線を定義する特性定数はクレロー (1735) によって発見されました。測地線の経路の体系的な解は、ルジャンドル (1806) とオリアーニ (1806) (および 1808 年と 1810 年のその後の論文) によって与えられました。直接問題の完全な解 (計算表と計算例を完備) はベッセル (1825) によって与えられました。

18 世紀には、測地線は一般的に「最短線」と呼ばれていました。「測地線」（実際には曲線）という用語は、ラプラス (1799b) によって造られました。

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [この線を測地線と呼ぶことにします]。

この用語は英語では「geodesic line」または「geodetic line」として導入されました。たとえば（Hutton 1811、p. 115）、

これまで説明してきた方法で描かれた線、または三角法の測定から導き出された線は、測地線または測地線と呼ばれます。測地線は、地球の表面上の 2 つの端点の間に引くことができる最短の線であるという特性があり、したがって、2 つの点間の距離を測る適切な経路測定です。

他の分野で採用される際には、測地線（しばしば測地線と短縮される）が好まれました。

このセクションでは、回転楕円体（扁平楕円体と長楕円体の両方）に関する問題を扱います。三軸楕円体に関する問題については次のセクションで説明します。

ここでは測地線の方程式が展開されます。導出は Bessel (1825) の方程式に厳密に従います。Jordan & Eggert (1941)、Bagratuni (1962、§15)、Gan'shin (1967、第 5 章)、Krakiwsky & Thomson (1974、§4)、Rapp (1993、§1.2)、Jekeli (2012)、および Borre & Strang (2012) もこれらの方程式の導出を行っています。

赤道半径a、極半軸bを持つ回転楕円体を考えます。扁平率f、離心率 e、第2離心率e ′を定義します。

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.}$

（測地学のほとんどの応用では、楕円体は扁平（ a > b）とみなされますが、この理論は長楕円体（ a < b）にもそのまま適用され、その場合、 f、e ²、およびe ′ ²は負になります。）

楕円体上の経路の基本線分の長さがdsであるとします。図2と図3から、方位角がαの場合、ds はdφおよびdλと次の 関係にあることがわかります。

${\displaystyle \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda 、}$ （１）

ここで、ρは子午線曲率半径、R = ν cos φは緯度円φの半径、νは法線曲率半径である。したがって、基本セグメントは次のように表される。

${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$

ここでφ ′ = dφ / dλであり、ラグランジアン関数L はρ( φ )とR ( φ )を介してφに依存する。 ( φ ₁ , λ ₁ )と( φ ₂ , λ ₂ )間の任意の経路の長さは次のように与えられる。

${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$

ここでφはλの関数で、φ ( λ ₁ ) = φ ₁かつφ ( λ ₂ ) = φ ₂を満たす。最短経路または測地線は、 s ₁₂を最小化する関数φ ( λ )を見つけることを伴う。これは変分法の演習であり、最小化条件はベルトラミ恒等式によって与えられる。

${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$

Lを代入し、式(1)を用いる と、

${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$

クレロー（1735）は幾何学的構成を用いてこの関係式を発見した。同様の導出はリュスターニク（1964、§10）によっても示されている。^[2] この関係式を微分すると次のようになる。

${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$

これを式(1)と組み合わせると、測地線に対する 常微分方程式の系が得られる。

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \sin \alpha }{\nu }}.}$

R をパラメトリック緯度βで表すには、次の ようにします。

${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$

そしてクレローの関係は

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$

これは、三角形NAB（図 4 を参照）の2辺NA = 1 ⁄ 2 π − β ₁、NB = 1 ⁄ 2 π − β ₂と、それらの反対角B = π − α ₂およびA = α _{1 を}関連付ける球面三角法の正弦定理です。

3 番目の辺AB = σ ₁₂ (球面弧の長さ) と夾角N = ω ₁₂ (球面経度)の関係を見つけるには、赤道を始点とする測地線を表す三角形NEP を検討すると便利です(図 5 を参照)。この図では、補助球に関する変数が、括弧内に示した楕円体の対応する量とともに示されています。下付き文字のない量は任意の点Pを参照します。測地線が赤道を北方向に横切る点Eは、 σ、s、ωの原点として使用されます。

Pを無限小移動させて辺EPを延長すると（図6参照）、

${\displaystyle \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$ （２）

式(1)と式(2)を組み合わせると、 sとλの微分方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$

βとφの関係は

${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$

これにより

${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$

測地線の微分方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$

最後のステップは、これらの微分方程式の両方でσを独立パラメータとして使用し、sとλを積分として表すことです。図5の 球面三角形EGPの頂点EとGに正弦定理を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,}$

ここでα _{0 は}Eにおける方位角である。これをds / d σの式に代入し、結果を積分すると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$ （３）

どこ

${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$

そして積分の極限はs ( σ = 0) = 0となるように選ばれる。ルジャンドル (1811, p. 180) は、sの式は半軸b √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀とbを持つ楕円上の弧の式と同じであると指摘した。λ の式を σで表すには、次のように書く。

${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$

これは式2とクレローの関係 から導かれる。

${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$ （4）

積分の極限は、赤道通過時にλ = λ _{0 、} σ = 0 となるように選択される。

これで、補助球を使用した測地線の経路の解決が完了します。この装置により、大円を回転楕円体上の測地線に正確にマッピングできます。

地球の楕円体（小さな平坦化を伴う）上の測地線を近似する方法もいくつかあります（Rapp 1991、§6）。これらのいくつかは、地理的距離に関する記事で説明されています。ただし、これらの複雑さは通常、厳密な解を求める方法と同程度です（Jekeli 2012、§2.1.4）。

図 7 は、子午線 (緑) と赤道 (赤) で構成される単純な閉じた測地線を示しています。(ここで「単純」という修飾語は、測地線が自己交差を介さずに閉じていることを意味します。) これは、前のセクションで示した測地線の方程式から得られます。

その他の測地線は、図 8 と 9 に代表され、赤道からα ₀ = 45°で始まる測地線を示しています。測地線は赤道の周りを振動します。赤道の交差点はノードと呼ばれ、最大または最小の緯度の点は頂点と呼ばれます。頂点のパラメトリック緯度はβ = ±( 1 ⁄ 2 π − |α ₀ |)で与えられます。測地線は、経度が 1 増加する前に、緯度で 1 回の完全な振動を完了します。360°。したがって、赤道を北向きに通過するたびに (図 8 を参照)、λ は赤道を完全に一周するのに約2 π f sinα ₀だけ足りません(長楕円体の場合、この量は負になり、λ は完全に一周するよりも多くなります。図 10 を参照)。 α ₀のほぼすべての値に対して、測地線は 2 つの頂点の緯度間の楕円体のその部分を埋めます (図 9 を参照)。

楕円体が十分に扁平な場合、すなわちb ⁄ a < 1 ⁄ 2 の場合、別の種類の単純な閉じた測地線が可能である (Klingenberg 1982, §3.5.19)。そのような測地線を 2 つ図 11 と 12 に示す。ここで、b ⁄ a = 2 ⁄ 7であり、緑 (青) の測地線の赤道方位角α _{0は次のように選択される。}53.175°（それぞれ75.192°）、したがって測地線は楕円体の1周で赤道の周りを2回（それぞれ3回）完全に振動します。

図13は、 α _1がAの倍数である測地線（青色）を示している。15°から、最短経路でなくなる点までです。(楕円体効果を強調するため、平坦化は1 ⁄ 10に増加されています。) また、定数s _{12の曲線 (緑色) も示されています。これは、} A を中心とする測地線円です。ガウス (1828) は、任意の表面上で測地線と測地線円が直角に交差することを示しました。

赤い線はカット軌跡、つまりAから複数（この場合は 2 つ）の最短測地線を持つ点の軌跡です。球面上では、カット軌跡は 1 点です。扁平楕円体（ここに示す）上では、 Aの反対心点φ = − φ ₁を中心とした緯度円の一部です。カット軌跡の経度範囲は、およそλ ₁₂ ∈ [ π ( 1 − f cos φ ₁ ), π (1 + f cos φ ₁ )]です。Aが赤道上にある場合 （ φ ₁ = 0）、この関係は正確であり、その結果、赤道は| λ ₁₂ | ≤ π (1 − f )の場合にのみ最短測地線となります。長楕円体の場合、切断軌跡はAの対蹠点λ ₁₂ = πを中心とした対蹠子午線の部分であり、これは、対蹠点に到達する前に子午線測地線が最短経路ではなくなることを意味します。

測地線に関するさまざまな問題では、測地線が乱れたときの挙動を知る必要があります。これは、三角法の調整 (Ehlert 1993)、測地線に従う信号の物理的特性の決定などに役立ちます。s でパラメータ化された基準測地線と、そこからt ( s )離れた2 番目の測地線を考えてみましょう。ガウス (1828) は、 t ( s )がガウス・ヤコビ方程式に従うことを示し

${\displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,}$

ここで、K ( s ) はsにおけるガウス曲率である。2次の線形同次微分方程式として、その解は2つの独立した解の和として表される。

${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,\quad \left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=1,\\M(s_{1},s_{1})&=1,\quad \left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=0.\end{aligned}}}$

m ( s ₁ , s ₂ ) = m _{12 は}いわゆる縮尺であり、M ( s ₁ , s ₂ ) = M _{12 は}測地線スケールである。^[3] それらの基本的な定義を図14に示します。

回転楕円体のガウス曲率は

${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$

ヘルマート（1880、式（6.5.1））は、この場合のガウス・ヤコビ方程式を解き、m ₁₂とM _12を積分として表せるようにした。

図 14 (上のサブ図) からわかるように、同じ点から始まり方位角がd α _{1異なる 2 つの測地線の距離は}m ₁₂ d α ₁です。楕円体などの閉じた表面上では、m _{12 はゼロの周りを振動します。} m ₁₂がゼロになる点は、開始点と共役な点です。 AとBの間の長さs ₁₂の測地線が最短経路となるためには、AとBの間にAと共役な点が存在しないという Jacobi 条件 (Jacobi 1837) (Jacobi 1866、§6) (Forsyth 1927、§§26–27) (Bliss 1916) を満たしている必要があります。この条件が満たされない場合は、より短い経路 (必ずしも測地線とは限らない)が近くにあります。したがって、ヤコビ条件は測地線の局所的な特性であり、測地線がグローバル最短経路であるための必要条件にすぎません。測地線が最短経路であるための必要十分条件は次のとおりです。

• 扁円楕円体の場合、| σ12 |_​ ≤ π ;
• 扁長楕円体の場合、| λ12 |_​ ≤ π、α ₀ ≠ 0の場合。α ₀ = 0の場合、 | の場合、補足条件m ₁₂ ≥ 0が必要です。λ12 |_​ = π。

特定の点Aからの測地線が切断軌跡を超えて延長されると、図15に示すような包絡線が形成される。ここで、α ₁が3° は水色で表示されます。(測地線は、対蹠点に初めて近づくときのみ表示され、それ以降のものは表示されません。) 一部の測地円は緑色で表示されます。これらは、エンベロープ上で尖点を形成します。切断された軌跡は赤色で表示されます。エンベロープは、Aと共役な点の軌跡です。エンベロープ上の点は、測地線上でm ₁₂ = 0となる点を見つけることで計算できます。Jacobi (1891) は、エンベロープによって生成されるこの星のような図形を小惑星と呼んでいます。

小惑星の外側では、2 つの測地線が各点で交差します。したがって、Aとこれらの点の間には、2 つの測地線 (楕円体の円周の約半分の長さ) があります。これは、球面上で 2 点間の大円に「短い」経路と「長い」経路がある状況に対応します。小惑星の内側では、4 つの測地線が各点で交差します。図 16 には、このような 4 つの測地線が示されています。図では、測地線は長さが増加する順に番号が付けられています。(この図は、図 13 と同じAの位置を使用し、同じ投影法で描かれています。) 2 つの短い測地線は安定しています(つまり、m ₁₂ > 0 )。そのため、2 点を結ぶ近くにこれより短い経路はありません。他の 2 つは不安定です。最短の線 (最初の線) のみがσ ₁₂ ≤ πを持ちます。すべての測地線は、図で緑色で示されているエンベロープに接しています。

小惑星は、Aを中心とする測地円の（外）縮閉線です。同様に、測地円は小惑星の 縮閉線です。

測地線多角形は、その辺が測地線である多角形です。これは、その辺が大円である球面多角形に似ています。このような多角形の面積は、まず測地線分と赤道の間の面積、つまり図 1 の四辺形AFHBの面積を計算することで求められます (Danielsen 1989)。この面積がわかれば、多角形の面積は、多角形のすべての辺からの寄与を合計することで計算できます。

ここで、 AFHBの面積S ₁₂の式はSjöberg (2006)に従っている。楕円体の任意の閉領域の面積は

${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

ここでdTは表面積の要素であり、Kはガウス曲率である。測地多角形に ガウス・ボネの定理を適用すると、

${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

どこ

${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$

は測地線余剰、θ _{j は}頂点jの外角です。Γ の式にR ₂ ²（R ₂は正積半径）を掛け、これをTの式から引くと、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$

ここで、楕円体のKの値が代入されている。この式を四辺形AFHBに適用し、Γ = α ₂ − α ₁であることに注意し、 φについて積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,}$

ここで積分は測地線上で行われます（したがってφ は暗黙的にλの関数です）。積分は、 fが小さい場合に有効な級数として表すことができます（Danielsen 1989）（Karney 2013、§6および補遺）。

測地多角形の面積は、その辺の面積S _{12 を}合計することで求められます。この結果は、多角形に極が含まれていない場合に成り立ちます。極が含まれている場合は、合計に2 π R ₂ ²を加える必要があります。辺が頂点によって指定される場合、測地線の余剰E ₁₂ = α ₂ − α ₁の便利な式は次のようになります。

${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$

測地線の問題を解くには、測地線を補助球にマッピングし、大圏航行における対応する問題を解く必要があります。図5のNEPの「基本的な」球面三角形を解く場合、四分円三角形のネイピアの規則を適用できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \cos \beta =\tan \omega \cot \sigma ,\\\cos \sigma &=\cos \beta \cos \omega =\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha &=\cos \omega \cos \alpha _{0}=\cot \sigma \tan \beta ,\\\sin \beta &=\cos \alpha _{0}\sin \sigma =\cot \alpha \tan \omega ,\\\sin \omega &=\sin \sigma \sin \alpha =\tan \beta \tan \alpha _{0}.\end{aligned}}}$

測地線のマッピングには、距離sと経度λの積分（式（3）と（4））の評価が 含まれ、これらはパラメータα0に依存する_。

直接問題の処理は簡単です。なぜなら、α _{0 は}与えられた量φ ₁とα ₁から直接決定できるからです。計算例については、Karney (2013) を参照してください。

逆問題の場合、λ ₁₂は与えられますが、 α ₀が未知であるため、これを等価球面角ω ₁₂と簡単に関連付けることはできません。したがって、問題の解決には、α _{0 を}反復的に見つける (ルート検索) 必要があります。詳細については、Karney (2013) を参照してください。

測地学の分野では、fが小さい場合、積分は通常級数として評価されます (Legendre 1806) (Oriani 1806) (Bessel 1825) (Helmert 1880) (Rainsford 1955) (Rapp 1993))。任意のfに対して、積分 (3) と (4) は数値積分法または楕円積分で表すことによって求めることができます(Legendre 1806) (Cayley 1870) (Karney 2024))。

ヴィンセンティ（1975）は、直接問題と逆問題の解法を提供している。これは、平坦化における3次までの級数展開に基づいており、約WGS84楕円体の場合は0.1 mmですが、逆の方法ではほとんど反対側の点に対して収束しません。

Karney (2013) は、 | f | ≤ 1 ⁄ 50に対して完全な倍精度精度を提供するのに十分な 6 次までの展開を続け、逆問題の解をすべてのケースで収束するように改善しました。Karney (2013、補遺) は、任意の平坦化を伴う楕円体に適用できる楕円積分を使用するように方法を拡張しました。

回転楕円体に対する測地線問題を解くことは数学的に簡単です。対称性のため、測地線には運動定数があり、これはクレローの関係式で与えられ、問題を求積法 に簡約できます。19 世紀初頭までに (ルジャンドル、オリアーニ、ベッセルらの研究により)、回転楕円体上の測地線の特性は完全に理解されていました。

一方、三軸楕円体（3つの不等軸を持つ）上の測地線には明らかな運動定数がないため、19世紀前半には難しい未解決問題となっていた。ヤコビ（1839）は注目すべき論文で運動定数を発見し、この問題を求積法に簡約することができた（クリンゲンベルク1982、§3.5）。^[4]

次のように定義される楕円体を考える。

${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

ここで（X、Y、Z）は楕円体を中心とした直交座標であり、一般性を失うことなくa≥b≥c > 0である。^[5] ヤコビ（1866, §§26–27）は、（三軸）楕円体座標（三軸楕円体緯度と三軸楕円体経度、β、ω）を次のように定義し た。

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\Y&=b\cos \beta \sin \omega ,\\Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

b → aの極限では、βは扁平楕円体のパラメトリック緯度となるため、記号βの使用は前のセクションと一致します。ただし、ωは上で定義した球面経度とは異なります。^[6]

一定のβ (青) とω (緑)のグリッド線が図 17 に示されています。これらは直交座標系を構成し、グリッド線は直角に交差します。X = 0およびZ = 0で定義される楕円体の主要断面は赤で示されています。3 番目の主要断面Y = 0は、線β = ±90°およびω = 0°または±180°で覆われています。これらの線は、主曲率半径が等しい 4 つの臍の緒点(この図では 2 つが表示されています)で交わります。こことこのセクションの他の図では、楕円体のパラメーターはa : b : c = 1.01:1:0.8であり、 φ = 40°、λ = 30°より上の点から正投影で表示されています。

楕円体座標のグリッド線は、次の 3 つの方法で解釈できます。

1. これらは楕円体上の「曲率線」であり、主曲率の方向と平行です (Monge 1796)。
2. これらは、楕円体と1 枚および 2 枚の双曲面の共焦点系との交差でもあります(Dupin 1813、第 5 部)。
3. 最後に、これらは 2 つの隣接する臍点を使用して定義される測地楕円と双曲線です (Hilbert & Cohn-Vossen 1952、p. 188)。たとえば、図 17 の定数βの線は、弦の端を 2 つの臍点に固定した楕円の一般的な弦構成で生成できます。

ヤコビは、楕円体座標で表現された測地線方程式が分離可能であることを示した。彼は友人であり隣人でもあったベッセルに、この発見を次のように語った（ヤコビ 1839、ベッセルへの手紙）。

一昨日、私は3 本の不等軸を持つ楕円体上の測地線の問題を求積法に簡約しました。これらは世界で最も簡単な公式であるアーベル積分であり、2 本の軸を等しく設定するとよく知られている楕円積分になります。

ケーニヒスベルク、1938年12月28日。

ヤコビ（Jacobi 1839）（Jacobi 1866, §28）によって与えられた解は

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$

ヤコビは「角度βの関数は角度ωの関数に等しい。この 2 つの関数はアーベル積分にすぎない」と述べている。この解には定数δとγが現れる。通常、積分の下限が測地線の開始点とされ、測地線の方向がγによって決定される場合、 δは 0 になる。しかし、臍の点で始まる測地線の場合、γ = 0となり、δ は臍の点での方向を決定する。定数γ は次のように表される。

${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\alpha ,}$

ここで、α は測地線が定数ωの線となす角度です。極限b → aでは、これはsinα cos β = const.、よく知られたクレローの関係に簡約されます。ヤコビの結果の導出は Darboux (1894, §§583–584) によって与えられており、彼は一般的な二次曲面に対して Liouville (1846) によって見つかった解を与えています。

三軸楕円体上には、楕円体の 3 つの主断面であるX = 0、Y = 0、Z = 0の 3 つの単純な閉じた測地線しかありません。^{[7]他の測地線を調べるには、中央の主断面}Y = 0と直角に 交差する測地線を検討すると便利です。このような測地線は、図 18 ～ 22 に示されています。これらの図では、図 17 と同じ楕円体パラメータと同じ視線方向を使用しています。また、これらの各図では、3 つの主楕円が赤で示されています。

開始点がβ ₁ ∈ (−90°, 90°)、ω ₁ = 0、α ₁ = 90°の場合、γ > 0となり、測地線は「周極」の意味で楕円体を囲みます。測地線は赤道の北と南で振動します。各振動で、測地線は楕円体の周りを 1 周よりわずかに短い距離だけ回り、典型的なケースでは、測地線は 2 つの緯線β = ± β ₁で囲まれた領域を埋めます。2 つの例を図 18 と 19 に示します。図 18 は、扁平回転楕円体と実質的に同じ動作を示しています ( a ≈ bであるため)。図 9 と比較してください。ただし、開始点がより高い緯度にある場合 (図 18)、 a ≠ bによる歪みが明らかになります。周極測地線のすべての接線は、楕円体とβ = β ₁で交差する共焦点単板双曲面に接します(Chasles 1846) (Hilbert & Cohn-Vossen 1952、pp. 223–224)。

開始点がβ ₁ = 90°、ω ₁ ∈ (0°, 180°)、α ₁ = 180°の場合、γ < 0となり、測地線は「トランスポーラ」の意味で楕円体を囲みます。測地線は楕円X = 0の東西に振動します。振動ごとに、楕円体の周りを 1 周よりわずかに多く回ります。典型的なケースでは、これにより、測地線は 2 つの経線ω = ω ₁とω = 180° − ω 1 で囲まれた領域を埋めることになります。a = bの場合、すべての子午線は測地線です。a ≠ bの影響により、このような測地線は東西に振動します。2 つの例を図 1 と図 2 に示します_。 20 と 21。極近くの測地線の狭まりは、限界b → cで消えます。この場合、楕円体は長楕円体になり、図 20 は図 10 (横に回転) に似たものになります。極を越える測地線のすべての接線は、楕円体とω = ω ₁で交差する共焦点二重シート双曲面に接します。

図 18 ～ 21 では、測地線は (ほぼ) 閉じています。前述のように、典型的なケースでは測地線は閉じておらず、緯度 (図 18 ～ 19 の場合) または経度 (図 20 ～ 21 の場合) の限界線で囲まれた領域を埋めます。

開始点がβ ₁ = 90°、ω ₁ = 0°（臍点）、α ₁ = 135°（測地線が楕円Y = 0から直角に離れる）である場合、γ = 0となり、測地線は反対側の臍点と繰り返し交差して開始点に戻ります。ただし、各巡回でY = 0と交差する角度は0°または180°なので、図 22 に示すように、測地線は漸近的に楕円Y = 0 (Hart 1849) (Arnold 1989、p. 265) 上にあります。単一の測地線では楕円体上の領域を埋めることはできません。臍測地線のすべての接線は、臍点で楕円体と交差する共焦点双曲線に接します。

臍帯測地線には、いくつかの興味深い特性があります。

• 楕円体上の任意の点には、2 つの臍帯測地線が存在します。
• 測地線の初期方向に関係なく、反対側の臍点間の測地線距離は同じです。
• 楕円X = 0およびZ = 0上の閉じた測地線は安定していますが (楕円に最初から近く、楕円とほぼ平行な測地線は楕円に近いままです)、4 つの臍の点すべてを通過する楕円Y = 0上の閉じた測地線は指数的に不安定です。 摂動を受けると、平面Y = 0から外れて反転してから平面に近くなります (この動作は、最初の摂動の性質に応じて繰り返される場合があります)。

測地線の始点Aが臍点でない場合、その包絡線はβ = − β ₁上にある 2 つの尖点とω = ω ₁ + π上にある他の 2 つの尖点を持つ小惑星です。Aの切断軌跡は、尖点間の 線β = − β ₁の部分です。

直接測地線問題と逆測地線問題は、かつてのように測地学において中心的な役割を果たさなくなりました。測地網の調整を球状三角法の 2 次元問題として解く代わりに、これらの問題は現在 3 次元法で解かれています (Vincenty & Bowring 1978)。しかし、地上測地線はいくつかの分野で依然として重要な役割を果たしています。

• 地理情報システムにおける距離と面積の測定用。
• 海洋境界の定義（UNCLOS 2006）
• 連邦航空局の区域航行に関する規則（RNAV 2007）
• FAIスポーツ規定（FAI 2018）における距離の測定方法。
• イスラム教徒がメッカへの道を見つけるのを助ける

最小作用の原理により、物理学における多くの問題は、測地線の問題に似た変分問題として定式化できます。実際、測地線の問題は、表面上で移動するように制約されているが、それ以外は力を受けない粒子の運動に相当します (Laplace 1799a) (Hilbert & Cohn-Vossen 1952、p. 222)。このため、回転楕円体や三軸楕円体などの単純な表面上の測地線は、新しい方法を探るための「テストケース」として頻繁に使用されます。例:

• 楕円積分（Legendre 1811）と楕円関数（Weierstrass 1861）の開発。
• 微分幾何学の発展（ガウス1828）（クリストッフェル1869）
• 独立変数の変更によって微分方程式系を解く方法（Jacobi 1839）
• コースティクスの研究（Jacobi 1891）
• 周期軌道の数と安定性に関する研究（ポアンカレ 1905）
• c → 0 の極限では、三軸楕円体上の測地線は動的ビリヤードの場合に簡約される。
• 任意の次元数への拡張（Knörrer 1980）
• 表面上の測地線の流れ（Berger 2010、第12章）。

• 地球断面パス
• 地球の姿
• 地理的距離
• 大圏航法
• 大楕円
• 測地線
• 測地学
• 地図投影
  • 三軸楕円体の地図投影
• 子午線弧
• 等角線
• ヴィンセンティの公式

• 楕円体上の測地線に関する書籍と記事のオンライン測地線書誌。
• 測地線のテスト セット。高精度演算を使用して計算された、WGS84 楕円体の 500000 個の測地線のセットです。
• Vincenty (1975) を実装した NGS ツール。
• geod(1)、測地線計算用のPROJユーティリティのマニュアルページ。
• Karney (2013) の GeographicLib 実装。
• Google マップに測地線を描画します。