加速（微分幾何学）

数学と物理学において、加速度とは、与えられた直線関係に対する曲線の速度の変化率である。この操作により、「曲がり」の速度と方向の尺度が得られる。^{[1] [2]}

与えられた接続を持つ微分可能多様体 を考えます。を接ベクトル、つまり速度、パラメータを持つ曲線とします。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )}$${\displaystyle \tau}$

の加速度ベクトルはによって定義されます。ここで はに関連付けられた共変微分を表します。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}}$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \ガンマ}$

これは に沿った共変微分であり、しばしば と表記される。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}={\frac {\nabla {\dot {\gamma }}}{d\tau }}.}$

任意の座標系 に関して、 はこの座標系に対する 接続（すなわち共変微分 ）の成分であり、次のように定義される。${\displaystyle (x^{\mu })}$${\displaystyle (\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu })}$${\displaystyle \nabla _{\mu }:=\nabla _{\partial /\partial x^{\mu }}}$

${\displaystyle \nabla _{\partial /\partial x^{\mu }}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\Gamma ^{\lambda }{}_{\ mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}},}$

加速度ベクトル場については次の式が得られます。 ${\displaystyle a^{\mu }:=(\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }})^{\mu }}$

${\displaystyle a^{\mu }=v^{\rho }\nabla _{\rho }v^{\mu }={\frac {dv^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }v^{\nu }v^{\lambda }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac { dx^{\lambda }}{d\tau }},}$

ここで、 はパス のローカル表現であり、です。 ${\displaystyle x^{\mu }(\tau ):=\gamma ^{\mu }(\tau )}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle v^{\rho }:=({\dot {\gamma }})^{\rho }}$

加速度の概念は共変微分概念です。言い換えれば、加速度を定義するには、 の追加構造を与える必要があります。 ${\displaystyle M}$

抽象指数表記法を用いると、単位接線ベクトル を持つ曲線の加速度は で与えられる。^[3]${\displaystyle \xi^{a}}$${\displaystyle \xi ^{b}\nabla _{b}\xi ^{a}}$

• 加速度
• 共変微分

• フリードマン、M. (1983)。『空間-時間理論の基礎』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-07239-6。
• ディレン、FJE。フェルストラーレン、LCA (2000)。微分幾何学のハンドブック。 Vol. 1. アムステルダム: 北オランダ。ISBN 0-444-82240-2。
• Pfister, Herbert; King, Markus (2015)。慣性と重力。空間と時間の基本的性質と構造。第 897 巻。物理学の講義ノート。ハイデルベルク: Springer。doi : 10.1007 / 978-3-319-15036-9。ISBN 978-3-319-15035-2。