投影的接続

微分幾何学において、射影接続とは、微分多様体上の幾何学的構造であり、射影再パラメータ化を除いて、測地線と呼ばれる特定の曲線群を指定するものである。言い換えれば、一般的な定式化では、同じパラメータ化されていない測地線を持つ、ねじれのないアフィン接続の同値類によって与えられる。

射影接続は、射影空間の幾何学に基づいてモデル化されています。現代的な用語で言えば、射影空間に基づいてモデル化されたカルタン接続と表現できます。通常のねじれのないケースでは、このカルタン幾何学的な記述は、射影的に同値なアフィン接続による古典的な記述と等価です。

リーマン接続や擬リーマン接続とは異なり、射影接続は長さ、角度、距離といった概念を規定しません。その基本的な幾何学的基準は直線性という概念であり、どの曲線を測地線とみなすかを決定する一方で、それらの曲線のアフィンパラメータ化は考慮しません。

カルタン接続を定義する最初のステップは、平坦な場合を考えることです。この場合、接続は同次空間上のマウラー・カルタン形式に対応します。

射影的設定では、基礎となる多様体は${\displaystyle M}$同次空間の射影空間はRP ^{nであり、これを}同次座標で表す。${\displaystyle [x_{0},\dots ,x_{n}]}$の対称群${\displaystyle M}$G = PSL( n +1, R )である。 ^{[ 1 ]} Hを点の等方性群とする。${\displaystyle [1,0,0,\ldots ,0]}$したがって、M = G / Hは${\displaystyle M}$均質な空間として。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gのリー代数をとし、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Hのもの。注意:${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}$同次基底に関する行列として、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$痕跡のない${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$行列:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda &v^{i}\\w_{j}&a_{j}^{i}\end{matrix}}\right),\quad (v^{i})\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i})\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}}$。

そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は、以下のすべての行列から構成されます。${\displaystyle (w_{j})=0}$上記の行列表現に関して、Gの Maurer-Cartan 形式は1 形式のシステムである。${\displaystyle (\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})}$構造方程式を満たす（アインシュタインの総和規約を用いて記述）：^{[ 2 ]}

${\displaystyle d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0}$

${\displaystyle d\alpha _{j}+\alpha _{j}\wedge \xi +\alpha _{j}^{k}\wedge \alpha _{k}=0}$

${\displaystyle d\alpha _{j}^{i}+\alpha ^{i}\wedge \alpha _{j}+\alpha _{k}^{i}\wedge \alpha _{j}^{k}=0}$

${\displaystyle d\alpha ^{i}+\xi \wedge \alpha ^{i}+\alpha ^{k}\wedge \alpha _{k}^{i}=0}$^{[ 3 ]}

射影構造とは、多様体上の線形幾何学であり、2 つの近接する点が一意の方法で直線 (つまり、パラメーター化されていない測地線) で結ばれているものです。さらに、各点の無限小近傍には、射影フレームのクラスが備わっているとします。カルタン (1924) によると、

Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de Chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de racorder en un un seul espace projectif les deux petits morceaux qui entourent deux point infiniment voisins。 ...

分析、選択、マニエール ダイユールの裁定、さまざまな点でのさまざまな点に対応するプロジェクト、座標系のシステムの再検討。 ... Le raccord entre les espaces projectifsattachés à deux point infiniment voisins a et a' se traduira Analytiquement par une Transformation Homographique. ... ^{[ 4 ]}

これは、カルタンのアフィン接続の概念に類似しており、近接する点が接続され、一方から他方へ移されるアフィン参照フレームを持つというものである（カルタン、1923年）。

「接続関係」のさまざまな問題を解決し、最終的にマニエールの裁定を取得し、常に信頼関係を維持し、安全な空間を確保し、二重ポイントを監視します。ラ・ヴァリエテ; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine Attaché au point m' は、 tel point de l'espace affine Attaché au point mに対応し、que tel vecteur du premier espace es parallèle ou équipollent à tel vecteur du two espace に対応します。^{[ 5 ]}

現代の言葉で言えば、 n次元多様体M上の射影構造は、射影空間をモデル化したカルタン幾何学であり、後者は PSL( n +1, R ) の均質空間とみなされる。言い換えれば、それは PSL( n +1, R ) バンドルであり、

• PSL( n +1, R )接続（カルタン接続）
• 構造群を射影空間内の点の安定化群に縮小する

これらのデータによって誘導されるはんだの形状は同型である。

• Ü. Lumiste (2001) [1994]、「射影的接続」、数学百科事典、EMS Press