等方性線

二次形式の幾何学において、等方性直線またはヌル直線とは、任意の 2 つの点間の変位ベクトルに適用された二次形式が 0 となる直線のことです。等方性直線は、等方性二次形式でのみ発生し、定常二次形式では発生しません。

エドモン・ラゲールは複素幾何学を用いて、点（α、β）を通る２つの等方性直線が虚数単位iに依存することを初めて示唆した。^[1]

最初のシステム:${\displaystyle (y-\beta )=(x-\alpha )i,}$

2番目のシステム:${\displaystyle (y-\beta)=-i(x-\alpha).}$

ラゲールはこれらの線を測地線として解釈しました。

等方性線の定義に使用できる重要な特性は、平面上の有限距離にある等方性線の任意の 2 点間の距離が 0 であることです。言い換えると、これらの線は微分方程式 d s ² = 0を満たします。任意の表面上で、この微分方程式を満たす曲線を調べることができます。これらの曲線は表面の測地線であり、等方性線とも呼ばれます。^{[1] : 90}

複素射影平面では、点は同次座標 で表され、線は同次座標で表されます。複素射影平面上の等方性線は次の式を満たします: ^[2]${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$

${\displaystyle a_{3}(x_{2}\pm ix_{1})=(a_{2}\pm ia_{1})x_{2}.}$

アフィン部分空間x ₃ = 1に関して、原点を通る等方直線は

${\displaystyle x_{2}=\pm ix_{1}.}$

射影幾何学では、等方性線は無限遠にある円の点を通る線です。

エミール・アルティンの実直交幾何学では、等方性線はペアで出現します。

等方性ベクトルを含む非特異平面は双曲平面と呼ばれる。双曲平面は、常に次の式を満たすベクトルのペアn、mで張られる。${\displaystyle {\mathbf {n}}^{2}={\mathbf {m}}^{2}=0,\quad {\mathbf {nm}}=1.}$

このような順序付きペアn、m を双曲ペアと呼ぶことにする。 V が直交幾何学の非特異平面であり、n ≠ 0 がVの等方性ベクトルである場合、 n、mが双曲ペアとなるようなm がVに1 つだけ存在する。その場合、ベクトルx nとy m はVの唯一の等方性ベクトルとなる。^[3]

等方性線は、宇宙論の記述において光を運ぶために使われてきた。例えば、数学百科事典では、光は光子で構成されているとされている。「静止質量ゼロの世界線（光子やその他の質量ゼロの素粒子の非量子モデルなど）は等方性線である。」^[4] 原点を通る等方性線の場合、特定の点はヌルベクトルであり、そのような等方性線すべての集合が原点の 光円錐を形成する。

エリー・カルタンは、3次元のスピノルに関する著書の中で、等方性線の概念を多重ベクトルに拡張した。^[5]

• Pete L. Clark、「Quadratic forms chapter I: Witts theory」(フロリダ州コーラルゲーブルズにあるマイアミ大学より)
• O. ティモシー・オメーラ(1963, 2000)二次形式入門、94 ページ