ハミルトンベクトル場

数学と物理学において、シンプレクティック多様体上のハミルトンベクトル場は、任意のエネルギー関数またはハミルトニアンに対して定義されるベクトル場である。物理学者で数学者のウィリアム・ローワン・ハミルトン卿にちなんで名付けられたハミルトンベクトル場は、古典力学におけるハミルトン方程式の幾何学的表現である。ハミルトンベクトル場の積分曲線は、ハミルトン形式での運動方程式の解を表す。ハミルトンベクトル場の流れから生じるシンプレクティック多様体の微分同相写像は、物理学では正準変換、数学では（ハミルトン）シンプレクティック同相写像として知られている。^[1]

ハミルトン ベクトル場は、より一般的には任意のポアソン多様体上で定義できます。多様体上の関数fとgに対応する 2 つのハミルトン ベクトル場のリー括弧は、それ自体がハミルトン ベクトル場であり、ハミルトニアンは fとgのポアソン括弧によって与えられます。

( M , ω )がシンプレクティック多様体であると仮定する。シンプレクティック形式 ωは非退化なので、ファイバー方向の線形 同型性

$${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,}$$

接線束 TMと余線束 T*Mの間の逆関数

$${\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.}$$

したがって、シンプレクティック多様体M上の1 形式はベクトル場と同一視することができ、すべての微分可能関数H : M → R は、 M上のすべてのベクトル場Yに対して定義することにより、ハミルトニアンHを持つハミルトニアンベクトル場と呼ばれる一意のベクトル場X _Hを決定する。

$${\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)。}$$

注: 一部の著者は、ハミルトン ベクトル場を反対の符号で定義しています。物理学および数学の文献におけるさまざまな慣習に注意する必要があります。

M が2 n次元シンプレクティック多様体であると仮定する。すると、局所的には、M上の標準座標 ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n )を選ぶことができ、そのシンプレクティック形式は次のように表現される: ^[2] ${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},}$

ここでdは外微分、∧は外積を表す。ハミルトニアンHを持つハミルトニアンベクトル場は次のような形になる: ^[1] ${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,}$

ここでΩは2 n × 2 nの正方行列 である。

$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$

そして

$${\displaystyle \mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.}$$

行列Ω はJと表記されることが多い。

M = R ^{2 n が}（グローバル）標準座標を持つ2 n次元シンプレクティックベクトル空間であると仮定します。

• もしそうなら${\displaystyle H=p_{i}}$${\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i};}$
• もしそうなら${\displaystyle H=q_{i}}$${\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i};}$
• もしそうなら${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum (p_{i})^{2}}$${\textstyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• もしそうなら${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$${\textstyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.}$

• f ↦ X _fの割り当ては線形なので、2つのハミルトン関数の和は対応するハミルトンベクトル場の和に変換されます。
• ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n )がM上の標準座標であると仮定する（上記参照）。すると、曲線γ ( t ) = ( q ( t ), p ( t )) がハミルトンベクトル場X _Hの積分曲線となるのは、ハミルトン方程式の解である場合に限ります。^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}^{i}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}&=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.\end{aligned}}}$$
• ハミルトニアンH は積分曲線に沿って一定です。なぜなら。つまり、H ( γ ( t ))は実際にはtに依存しません。この特性はハミルトニアン力学におけるエネルギー保存則に対応します。${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$
• より一般的には、2つの関数FとH がゼロのポアソン括弧を持つ場合（下記参照）、F はHの積分曲線に沿って一定であり、同様に、H はFの積分曲線に沿って一定です。この事実は、ノイマンの定理の背後にある抽象的な数学的原理です。^{[nb 1]}
• シンプレクティック形式 ωはハミルトン流によって保存される。同様に、リー微分 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0.}$

ハミルトンベクトル場の概念は、シンプレクティック多様体M上の微分可能関数、すなわちポアソン括弧上の歪対称双線型演算につながり、次の式で定義される。

$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}$$

ここで、はベクトル場Xに沿ったリー微分を表す。さらに、次の恒等式が成り立つことが確認できる。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$

ここで右辺はハミルトニアンfとgを持つハミルトニアンベクトル場のリー括弧を表す。結果として（ポアソン括弧での証明）、ポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす：^[1] ${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,}$

これは、ポアソン括弧を備えたM上の微分可能関数のベクトル空間がR上のリー代数の構造を持ち、割り当てf ↦ X _{f が}リー代数準同型であり、その核が局所定数関数（ Mが連結である場合は定数関数）で構成されることを意味します。

• nLab上のハミルトン ベクトル場