4段階勾配

発散は、各点におけるベクトル場のソースの量を表す符号付きスカラー場を生成するベクトル演算子です。この計量符号[+,−,−,−]では、4次元勾配に負の空間成分があることに注意してください。ミンコフスキー計量はDiagonal[+1,−1,−1,−1]であるため、4次元の内積を取ると負の空間成分は相殺されます。

4位の4発散${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$時空の次元を与える： $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

4電流密度の4発散$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$電荷保存則という保存法則を与える：^{[ 1 ]： 103-107}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

これは、電荷密度の時間変化率が電流密度の負の空間発散に等しくなければならないことを意味する。${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$。

言い換えれば、箱の中の電荷は任意に変化することはできず、電流によって箱に出入りしなければならない。これは連続性の式である。

4数フラックス（4ダスト）の4発散${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$粒子保存則で使用されている: ^{[ 4 ] : 90–110}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

これは粒子数密度に関する保存則であり、典型的にはバリオン数密度のようなものである。

電磁4ポテンシャルの4発散${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ローレンツゲージ条件で使用される：^{[ 1 ]： 105-107}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

これはEM4電位における保存則に相当する。

横方向トレースレス4D(2,0)テンソルの4-発散${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$重力波が弱場極限（すなわち、発生源から遠く離れた場所で自由に伝播する）で発生することを表す。

横断条件$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ これは、自由伝播する重力波の保存方程式に相当する。

応力エネルギーテンソルの4次元発散${\displaystyle T^{\mu \nu }}$時空並進に関連する保存されたネーター電流として、SRでは4つの保存則が得られます。^{[ 4 ] : 101–106}

エネルギー保存則（時間方向）と線運動量保存則（3つの異なる空間方向）。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

よく次のように表記されます。 $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$ ここで、単一の零点は実際には4ベクトル零点であると理解される。${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$。

応力エネルギーテンソルの保存則が成り立つとき（${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$）完全流体の場合、粒子数密度の保存と組み合わされます（${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$）どちらも4次元勾配を利用することで、相対論的オイラー方程式を導出できます。これは流体力学や天体物理学では、特殊相対性理論の効果を考慮したオイラー方程式の一般化です。流体の3次元空間速度が光速よりはるかに小さく、圧力がエネルギー密度よりはるかに小さく、後者が静止質量密度によって支配されている場合、これらの方程式は古典的なオイラー方程式に帰着します。

平坦な時空において、デカルト座標を用いると、これを応力エネルギーテンソルの対称性と組み合わせることで、角運動量（相対論的角運動量）も保存されることを示すことができる。 $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$ ここで、このゼロは実際には（2,0）テンソルのゼロです。

ヤコビ行列は、ベクトル値関数のすべての1階偏導関数の行列です。

4段階勾配${\displaystyle \partial ^{\mu }}$4位に作用する${\displaystyle X^{\nu }}$SRミンコフスキー空間計量を与える${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$: ^{[ 3 ] : 16}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

ミンコフスキー計量の場合、成分は${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ （${\displaystyle \mu }$（合計しない）非対角成分はすべてゼロである。

デカルトミンコフスキー計量の場合、これは次のようになる。${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$。

一般的に、${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$、 どこ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$これは4次元クロネッカーデルタです。

ローレンツ変換はテンソル形式で次のように表される^{[ 4 ]： 69}$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$ そしてそれ以来${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$定数だけなので、 $${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

したがって、4-勾配の定義により $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

この恒等式は基本的である。4次元勾配の成分は、4次元ベクトルの成分の逆数に従って変換される。したがって、4次元勾配は「原型的な」1次元形式である。

4-速度のスカラー積${\displaystyle U^{\mu }}$4次元勾配を用いると、固有時間に関する全微分が得られる。${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$: ^{[ 1 ] : 58–59}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

事実${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ローレンツスカラー不変量であることは、固有時間に関する全微分が${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$同様に、ローレンツスカラー不変量でもある。

例えば、4速${\displaystyle U^{\mu }}$は4位の導関数である${\displaystyle X^{\mu }}$適切な時間に関して： $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$ または $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

別の例として、4-加速${\displaystyle A^{\mu }}$は4速度の固有時間微分である${\displaystyle U^{\mu }}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

または $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

ファラデー電磁テンソル${\displaystyle F^{\mu \nu }}$は、物理システムの時空における電磁場を記述する数学的対象である。 ^{[ 1 ] : 101–128 [ 5 ] : 314 [ 3 ] : 17–18 [ 6 ] : 29–30 [ 7 ] : 4}

4次元勾配を適用して反対称テンソルを作成すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$ どこ：

• 電磁4電位${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$4速加速と混同しないように${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• 電気スカラーポテンシャルは${\displaystyle \phi }$
• 磁気3空間ベクトルポテンシャルは${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

4-勾配を再度適用し、4-電流密度を次のように定義する。${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$マクスウェル方程式のテンソル形式を導出することができる。 $${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$ここで、2行目はビアンキ恒等式（ヤコビ恒等式） の一種です。

波ベクトルは、波を記述するのに役立つベクトルです。他のベクトルと同様に、波ベクトルにも大きさと方向があり、どちらも重要です。大きさは波の波数または角波数（波長に反比例）であり、方向は通常、波の伝播方向です。

4波ベクトル${\displaystyle K^{\mu }}$負の位相の4次元勾配${\displaystyle \Phi }$ミンコフスキー空間における波の（または位相の負の4次元勾配）^{[ 6 ]： 387}$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

これは数学的には波の位相（より具体的には平面波の位相） の定義と同等である。$${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

4位${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$、${\displaystyle \omega }$は時間角周波数です。${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$は空間3次元波数ベクトルであり、${\displaystyle \Phi }$はローレンツスカラー不変位相である。

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$ 平面波が${\displaystyle \omega }$そして${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$は明示的な関数ではない${\displaystyle t}$または${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$。

SR平面波の明示的な形式${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$次のように書くことができます: ^{[ 7 ] : 9}

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$どこ${\displaystyle A_{n}}$は（複素数である場合もある）振幅です。

一般的な波${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$複数の平面波の 重ね合わせとなるだろう。$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

再び4段階のグラデーションを使用して、 $${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$ または $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$これは複素数値平面波の4次元勾配バージョンである。

特殊相対性理論、電磁気学、波動理論において、ダランベール演算子（ダランベール演算子、または波動演算子とも呼ばれる）は、ミンコフスキー空間のラプラス演算子である。この演算子は、フランスの数学者であり物理学者でもあるジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられた。

の二乗${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$これは4-ラプラシアンであり、ダランベール演算子と呼ばれます。^{[ 5 ] : 300 [ 3 ] : 17‒18 [ 6 ] : 41 [ 7 ] : 4}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

ダランベール関数は2つの4元ベクトルの内積であるため、ローレンツ不変スカラーである。

時折、3次元表記法になぞらえて、記号は${\displaystyle \Box }$そして${\displaystyle \Box ^{2}}$はそれぞれ4次勾配とダランベール式に使用されます。ただし、より一般的には、記号は${\displaystyle \Box }$ダランベール派のために予約されている。

ダランベールの定理で使用される4次勾配の例を以下に示します。

スピン0粒子（例：ヒッグス粒子）に対するクライン・ゴルドン相対論的量子波動方程式において： $${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

電磁場の波動方程式（ローレンツゲージを使用）${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$):

• 真空中：$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• スピンの影響を考慮しない場合、4つの電流源の場合：$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• 量子電磁力学のソースコード（スピン効果を含む）：$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

どこ：

• 電磁4電位${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$電磁ベクトルポテンシャル
• 4-電流密度${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$電磁電流密度
• ディラックのガンマ行列${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$スピンの効果を提供する

重力波の波動方程式では（同様のローレンツゲージを使用）${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$）^{[ 6 ]： 274–322}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ どこ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$は、弱場極限（すなわち、発生源から遠く離れて自由に伝播する）における重力放射を表す横方向のトレースレス2テンソルである。

さらなる条件${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$は：

• 純粋に空間的なもの:$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• 痕跡を残さない：$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• 横断:$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

グリーン関数の4次元バージョンでは： $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$ ここで、4Dデルタ関数は次のようになります。 $${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

ベクトル解析において、発散定理（ガウスの定理またはオストログラツキーの定理とも呼ばれる）は、ベクトル場が曲面を通過する流れ（つまりフラックス）と、曲面内部におけるベクトル場の挙動を関連付ける結果である。より正確には、発散定理は、閉曲面を通過するベクトル場の外向きフラックスは、曲面内部の領域における発散の体積積分に等しいと述べている。直感的には、すべてのソースの合計からすべてのシンクの合計を引いたものが、領域からの正味の流れを与えると述べている。ベクトル解析、そしてより一般的には微分幾何学において、ストークスの定理（一般化ストークスの定理とも呼ばれる）は、多様体上の微分形式の積分に関する記述であり、ベクトル解析のいくつかの定理を簡略化および一般化している。

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$ または $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$ どこ

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$は、で定義される4次元ベクトル場である。${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$は 4 発散である${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$は${\displaystyle V}$方向に沿って${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$ミンコフスキー時空の4次元単連結領域である
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$は、独自の3Dボリューム要素を持つ3D境界です。${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$外向き法線は
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$4D微分体積要素

ハミルトン・ヤコビ方程式（HJE）は古典力学の定式化であり、ニュートンの運動法則、ラグランジュ力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同等です。ハミルトン・ヤコビ方程式は、力学系における保存量を特定するのに特に有用であり、力学的な問題自体を完全に解くことができない場合でも、保存量を特定できる可能性があります。また、HJEは、粒子の運動を波として表現できる唯一の力学の定式化でもあります。この意味で、HJEは、光の伝播と粒子の運動の間に類似性を見出すという、理論物理学における長年の目標（少なくとも18世紀のヨハン・ベルヌーイにまで遡る）を達成しました。

一般化相対論的運動量${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$粒子の は次のように書くことができる^{[ 1 ] : 93–96}$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$ どこ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$そして${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

これは基本的に4-合計の勢いです${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$システムについて。最小結合規則を用いた場におけるテスト粒子。粒子の固有運動量がある。${\displaystyle \mathbf {P} }$加えて、電磁4ベクトルポテンシャルとの相互作用による運動量${\displaystyle \mathbf {A} }$粒子電荷を介して${\displaystyle q}$。

相対論的ハミルトン・ヤコビ方程式は、全運動量を作用の負の4次元勾配に等しく設定することによって得られる。${\displaystyle S}$。 $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

時間的要素は次のようになる。${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

空間成分は以下の通りである。${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

どこ${\displaystyle H}$はハミルトニアンである。

これは実際には、4次元波数ベクトルが、上記の位相の負の4次元勾配に等しいことに関係しています。 ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

HJEを得るには、まず4元運動量に対するローレンツのスカラー不変規則を用いる。 $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

しかし、最小結合ルールからすると： $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

それで： $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

時間的要素と空間的要素に分解する： $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

ここで、最後の式は相対論的ハミルトン・ヤコビ方程式である。

4次元勾配は量子力学と関連している。

4-運動量間の関係${\displaystyle \mathbf {P} }$そして4段階の勾配${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$シュレーディンガーの量子力学関係式を与える。^{[ 7 ]： 3-5}$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

時間的要素は次のようになる。${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

空間成分は以下の通りである。${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

これは実際には2つの別々のステップで構成されている。

第一に：^{[ 1 ]： 82-84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$これは、以下の完全な4ベクトルバージョンです。

（時間成分）プランク・アインシュタイン関係${\displaystyle E=\hbar \omega }$

（空間成分）ド・ブロイ物質波関係${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

2番目：^{[ 5 ]：300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$これは複素数値平面波の波動方程式の4次元勾配版にすぎない。

時間的要素は次のようになる。${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

空間成分は以下の通りである。${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

量子力学（物理学）において、正準交換関係とは、正準共役量（定義上、一方が他方のフーリエ変換となるような関係にある量）間の基本的な関係である。

• ^{[ 7 ]}によると^{： 4}$${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• 空間成分を取り上げて、$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• 以来${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$、$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• 以来${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$、$${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• そして、添え字のラベルを付け直すと、通常の量子交換規則が得られます。$${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

4次元勾配は、いくつかの相対論的波動方程式の構成要素で^{ある。[ 5 ]：300–309 [ 3 ]： 25、30–31、55–69}

スピン0粒子（例：ヒッグス粒子）に対するクライン・ゴルドン相対論的量子波動方程式において：^{[ 7 ]： 5}$${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

スピン1/2粒子（例：電子）に対するディラックの相対論的量子波動方程式において：^{[ 7 ]： 130}$${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

どこ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ディラックのガンマ行列と${\displaystyle \psi }$これは相対論的波動関数である。

${\displaystyle \psi }$は、クライン・ゴルドン方程式ではローレンツスカラーであり、ディラック方程式ではスピノルである。

ガンマ行列自体がSRの基本的な側面であるミンコフスキー計量を参照しているのは良いことだ。^{[ 7 ] : 130}$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

4確率電流密度の保存は連続の式から導かれる：^{[ 7 ]： 6}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

4-確率電流密度は、相対論的に共変な式で表されます。^{[ 7 ]： 6}$${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

4電荷電流密度は、電荷( q )に4確率電流密度を掛けたものです。^{[ 7 ]： 8}$${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$