ソースとシンク

物理学と数学において、源とシンクはベクトル場の特性を説明するために使用されるアナロジーです。これは、流体の源とシンク（浴槽の蛇口と排水口のような）という概念を、さまざまな科学分野に一般化したものです。これらの用語は、ベクトル場が発生または終了する点、領域、またはエンティティを説明します。このアナロジーは通常、連続方程式、場の発散、発散定理について議論するときに引き合いに出されます。このアナロジーには、渦巻き や鞍点が、そのどちらでもない点に 含まれることもあります。

電界の場合、流れの概念は電界線に置き換えられ、発生源とシンクは電荷になります。

物理学では、ベクトル場は ベクトルを返す関数であり、空間領域内の各点（座標 ）に対して定義されます。ソースとシンクの考え方は、次の形式の 連続方程式に従う場合に当てはまります。${\displaystyle \mathbf {b} (x,y,z)}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {b} =s}$、

ここで、は時間、は に関連付けられた何らかの量密度、はソースシンク項です。 の空間上の点は ソースと呼ばれ、 の点はシンクと呼ばれます。連続方程式の積分バージョンは、発散定理によって与えられます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s>0}$${\displaystyle s<0}$

これらの概念は流体力学におけるソースとシンクに由来しており、流れは質量保存に関連する連続方程式に従って保存され、次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {v} =Q}$

ここで、は流体の質量密度、は流速ベクトル、はソースシンクフロー（単位時間当たりの単位体積あたりの流体質量）である。この式は、与えられた体積内で発生するまたは消滅する流れには、それぞれソースまたはシンクが存在する必要があることを意味している。ソースは流体が空間領域に追加される場所を表し、シンクは流体が除去される点を表す。項はソースに対して正、シンクに対して負である。^[1]非圧縮性流れまたは時間に依存しないシステムの場合、は発散に直接関係し、 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =Q}$。

この種の流れでは、ソレノイドベクトル場（発散なし）にはソースもシンクもありません。与えられた点ではなく回転 のとき、その点は渦と呼ばれることがあります。^{[2] [3]}また、発散と回転の両方がゼロのとき、その点は鞍と呼ばれることがあります。^[3]${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \neq 0}$

電気力学では、電流密度は電荷保存則により連続方程式に従うため、流体力学と同様の挙動を示します。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma }$、

ここで、この時間は電荷密度、は電流密度ベクトル、は電流源-シンク項です。電流源と電流シンクは、それぞれ電流密度が発生する場所と消滅する場所です（たとえば、電流源とシンクは閉回路内の電池の2つの極を表すことができます）。 ^[4]${\displaystyle \rho_{e}}$${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \sigma <0}$

この概念は電磁場にも適用され、流体の流れは磁力線に置き換えられる。^[5]電場 の場合、ソースは正電荷（ ）などの電場線が発散する点であり、シンクは負電荷などの電場線が収束する点である。^[6]これは、電場が次式で示される ガウスの法則に従うためである。${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} >0}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} <0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{e}/\epsilon _{0}}$、

ここで は 真空の誘電率です。この意味では、磁場には発生源もシンクもありません。なぜなら、ガウスの法則で説明されているように、磁気単極子は存在しないからです。 ${\displaystyle \epsilon_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$^[7 ]

電場と磁場もエネルギーを運びます。これはポインティングの定理で説明され、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

ここで、は電磁エネルギー密度、はポインティングベクトルであり、エネルギー源とシンクの項として考えることができる。^[8]${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

電場や磁場と同様に、ガウスの重力法則によって記述されるニュートンの重力場 の場合についても議論することができる。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho }$、

ここで は重力定数です。重力は引力のみ（ ）なので、重力シンクのみが存在し、ソースは存在しません。シンクは質点によって表されます。^[9]${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho \geq 0}$

熱力学では、熱源とシンクは、熱流束源や熱シンクなど、エネルギーが供給または抽出される2種類の熱貯蔵庫に対応します。熱伝導では、これは熱方程式によって記述されます。^{[10]これらの用語は、}エントロピー流束の源とシンクの概念を導入することで、非平衡熱力学でも使用されます。^[11]

カオス理論と複雑系では、ソースとシンクの概念は それぞれ反発物とアトラクターを説明するために使われます。^{[12] [13]}

この用語は複素解析でも使われ、複素数は複素平面上のベクトルとして記述できる。ソースとシンクは有理型関数の零点と極に関連付けられ、調和関数の流入と流出を表す。複素関数は、1次の極を持つ場合、ソースまたはシンクとして定義される。^[14]

位相幾何学では、コンパクトな微分可能多様体上のベクトル場を議論するときに、ソースとシンクの用語が使用されます。この文脈では、ベクトル場のインデックスは、ソースまたはシンクの場合は+1、値が-1の場合は鞍点と呼ばれます。この概念は、ポアンカレ-ホップの定理とヘアリーボール定理を導入するのに役立ちます。^[15]

この用語が使用される他の分野には、生態学におけるソース・シンク・ダイナミクスや神経科学における電流源密度分析などがあります。