平面波

物理学において、平面波は波または場の特殊なケースであり、空間内の一定方向に垂直な任意の平面において任意の瞬間に値が一定である物理量である。^[1]

空間内の任意の位置と任意の時間に対して、このような場の値は と表すことができます。 ここでは単位長さのベクトル、 は場の値を という関数として与えるもので、これは 2 つの実パラメータ、つまり時間と、方向 に沿った点のスカラー値の変位のみに依存します。変位は に垂直な各平面上で一定です。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),}$$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle G(d,t)}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

場の値は、スカラー、ベクトル、またはその他の物理的または数学的量です。複素指数平面波のように、複素数になることもあります。 ${\displaystyle F}$

の値がベクトルのとき、ベクトルが常にベクトル と同一直線上にある場合、その波は縦波と呼ばれ、ベクトルが常にベクトル と直交 (垂直) している場合、 その波は横波と呼ばれます。${\displaystyle F}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

多くの場合、「平面波」という用語は、特に進行する平面波を指し、その時間的変化は、波面に対して垂直な方向に沿った 一定の波速 での場の単純な並進として記述できます。このような場は、次のように記述できます。 ここで、は、波の「プロファイル」、つまり各変位に対する時間 における場の値を表す単一の実パラメータ の関数です。その場合、は伝播方向と呼ばれます。各変位 に対して、原点から の距離で に垂直に移動する平面は、「波面」と呼ばれます。この平面は、伝播方向に沿って速度 で移動します。そのため、場の値は、そのすべての点で同じで、時間的に一定です。^[2]${\displaystyle c}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,}$$${\displaystyle G(u)}$${\displaystyle u=d-ct}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle d+ct}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle c}$

この用語は、より具体的には、「単色」または正弦波平面波、つまりプロファイルが正弦関数である進行平面波を意味するためにも使用されます。つまり、 パラメータ（スカラーまたはベクトル）は波の振幅と呼ばれ、スカラー係数は「空間周波数」であり、スカラーは「位相シフト」です。 ${\displaystyle G(u)}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi}$

真の平面波は物理的には存在できません。なぜなら、平面波は空間全体を満たす必要があるからです。しかし、平面波モデルは重要であり、物理学では広く使用されています。有限の範囲を持つ任意のソースから空間の大きな均質領域に放射される波は、ソースからの距離に比べて十分に小さいその領域の任意の部分で見ると、平面波で十分に近似できます。たとえば、望遠鏡に到達する遠くの星からの 光波がこれに該当します。

定在波は、その値が 2 つの関数の積として表される場です。1 つは位置のみに依存し、もう 1 つは時間のみに依存します。特に、平面定在波は次のように表すことができます。 ここで、はスカラー値またはベクトル値を持つ1 つのスカラー パラメータ (変位) の関数であり、は時間のスカラー関数です。 $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$${\displaystyle S}$

この表現は一意ではありません。なぜなら、とが逆数の係数でスケーリングされた場合、同じフィールド値が得られるからです。が対象の時間間隔で制限される場合 (物理的な状況では通常そうなります)、の最大値が1 になるようにスケーリングできます。 すると、は点で観測されるフィールドの最大値になります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \left|S(t)\right|}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \left|S(t)\right|}$${\displaystyle \left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

平面波は、方向ベクトルに垂直な方向を無視することによって、つまり関数を1 次元媒体内の波として 考えることによって研究できます。${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}$

線形であろうとなかろうと、任意のローカル演算子を平面波に適用すると、平面波が生成されます。同じ法線ベクトルを持つ平面波の任意の線形結合も平面波になります。 ${\displaystyle {\vec {n}}}$

2次元または3次元のスカラー平面波の場合、場の勾配は常に方向 と同一線上にあります。具体的には、 は最初の引数に対する の偏微分です。${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}, t)}$${\displaystyle \partial _{1}G}$${\displaystyle G}$

ベクトル値平面波の発散は、ベクトルの方向への投影のみに依存します。具体的には、 です。特に、 横方向平面波は、すべてのおよびに対して を満たします。 ${\displaystyle G(d,t)}$${\displaystyle {\vec {n}}}$$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$

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