完璧な流体

超流体は粘性がゼロの流体ですが、実際には超流体を完全流体として正確に記述することはできません。^{[ 5 ] [ 6 ]} 2流体モデルでは、超流体は巨視的に通常の流体と完全流体の混合物である2つの共存相を持つものと考えられています。^{[ 6 ]}

空間正の計量符号テンソル表記では、完全流体の応力エネルギーテンソルは次の形式で表すことができる。

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho _{m}+{\frac {p}{c^{2}}}\right)\,U^{\mu }U^{\nu }+p\,\eta ^{\mu \nu },}$

ここで、Uは流体の4元速度ベクトル場であり、${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,1,1)}$はミンコフスキー時空の計量テンソルです。

p=0 の場合、粉塵溶液を表します。${\displaystyle p=\rho _{m}c^{2}/3}$これは光子ガス（放射線）を記述するものです。

時間正の計量符号テンソル表記では、完全流体の応力エネルギーテンソルは次の形式で表すことができます。

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho _{\text{m}}+{\frac {p}{c^{2}}}\right)\,U^{\mu }U^{\nu }-p\,\eta ^{\mu \nu },}$

どこ${\displaystyle U}$は流体の4元速度であり、${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$はミンコフスキー時空の計量テンソルです。

これは静止系では特に単純な形をとる。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{e}&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

どこ$\displaystyle \rho _{\text{e}}=\rho _{\text{m}}c^{2}}$はエネルギー密度であり、${\displaystyle p}$流体の圧力です。

完全流体はラグランジュ形式による定式化が可能であり、これにより場の理論、特に量子化で用いられる手法を流体に適用することができる。

相対論的オイラー方程式は次のようになる

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0}$

非相対論的極限では、これらの式は通常のオイラー方程式に帰着する。^{[ 8 ]}