波を表すベクトル。多くの場合、波の伝播方向を表す。
物理学 において 、 波動ベクトル （または 波動ベクトル ）は、 波を 表すために使用される ベクトル であり、典型的な単位は1メートルあたりの周期です。波動ベクトルには 大きさと方向が あります。大きさは波の 波数（ 波長 に反比例）であり、方向は波面に対して垂直です。等方性媒体では、これは 波の伝播 方向でもあります 。
密接に関連するベクトルは 角波ベクトル （または 角波ベクトル ）で、典型的な単位はラジアン/メートルです。波ベクトルと角波ベクトルは、 1サイクルあたり2πラジアン
という 固定比例定数によって関連しています。
物理学 のいくつかの分野では、例えば 結晶学 とは対照的に、角波ベクトルを単に波数 ベクトル と呼ぶのが一般的です 。 [1] [2]また、使用されている記号 kを 使用することも一般的です 。
特殊相対性理論 の文脈では 、 （角）波数ベクトルと（角）周波数を組み合わせた
波動四元ベクトルを定義できます。
意味 正弦波 の 波長 λは、図に示すように、隣接する山または谷の間、または同じ通過方向を持つ隣接する ゼロ交差 の間など、同じ 位相 を持つ任意の 2 つの連続するポイント間で測定 できます。 波数ベクトル と 角波数ベクトル という用語は 異なる意味を持ちます。ここで、波数ベクトルは で表され 、波数は で表されます 。角波数ベクトルは k で表され、角波数は k = | k | で表されます。これらは によって関連しています 。
ν 〜
{\displaystyle {\チルダ {\boldsymbol {\nu }}}}
ν 〜
=
|
ν 〜
|
{\displaystyle {\チルダ {\nu }}=\left|{\チルダ {\boldsymbol {\nu }}}\right|}
け
= 2 π
ν 〜
{\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\チルダ {\boldsymbol {\nu }}}}
正弦波の 進行波は 次の式に従う。
ψ （
r
、 t ） = あ コス （
け
⋅
r
− ω t + φ ） 、
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}
どこ：
r は位置、 それは 時間です、 ψ は、波を記述する擾乱を記述する r と t の関数です (たとえば、 海の波 の場合、 ψ は 水の過剰な高さになり、 音波 の場合、 ψ は過剰な 空気圧 になります )。 Aは波の 振幅 （振動のピークの大きさ） であり、 φは 位相オフセット であり 、 ωは 波の（時間的） 角周波数 であり、単位時間あたりに何ラジアン移動するかを表し、 周期 T と次の式で関係している。
ω =
2 π
T
、
{\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}
k は波の角波ベクトルであり、単位距離あたりに何ラジアン移動するかを表し、 波長 と次の式で
|
け
|
=
2 π
λ
。
{\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}
波数ベクトルと周波数を用いた等価方程式は [3]である。
ψ
（
r
、 t
）
= あ コス
（
2 π
（
ν 〜
⋅
r
− ふ t
）
+ φ
）
、
{\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}
どこ：
ふ
{\displaystyle f}
周波数は
ν 〜
{\displaystyle {\チルダ {\boldsymbol {\nu }}}}
波動ベクトル
波動ベクトルの方向 波動ベクトルが指す方向は、「 波の伝播 方向」とは区別する必要があります。「波の伝播方向」は、波のエネルギーの流れの方向であり、小さな 波束 が移動する方向、つまり 群速度 の方向です。真空中の光波の場合、これは ポインティング ベクトル の方向でもあります。一方、波動ベクトルは 位相速度 の方向を指します。言い換えると、波動ベクトルは、 波面とも呼ばれる 一定位相の表面 の 法線方向 を指します 。
空気、気体、液体、 非晶質固体（ ガラス など ）、 立方晶などの 損失のない等 方性媒体 では 、波動ベクトルの方向は波の伝播方向と同じです。媒体が異方性の場合、波動ベクトルは一般に波の伝播方向以外の方向を指します。波動ベクトルは、常に一定位相の表面に対して垂直です。
例えば、光波が 非対称結晶を通過するとき や音波が 堆積岩 を通過するときなど、波が 異方性媒体 を通過するとき、波動ベクトルは波の伝播方向を正確に指さないことがある。 [4] [5]
固体物理学では 固体物理学 では、 結晶 中の 電子 または 正孔 の「波動ベクトル」（ kベクトル とも呼ばれる）は、その 量子力学的 波動関数 の波動ベクトルである 。これらの電子波は通常の 正弦 波ではないが、正弦波である一種の 包絡線関数 を持ち、波動ベクトルはその包絡線波を介して定義され、通常は「物理学的定義」が使用される。 詳細については ブロッホの定理を参照のこと。 [6]
特殊相対論では 特殊相対論における動く波面は、波面を通過するすべてのイベントによって形成される時空内の超曲面（3Dサブスペース）と見なすことができます。波列（何らかの変数 X で表されます）は、時空内のそのような超曲面の1パラメータ族と見なすことができます。この変数 Xは 、時空内の位置のスカラー関数です。このスカラーの導関数は、波を特徴付けるベクトル、つまり4波ベクトルです。 [7]
4 波ベクトルは、 ミンコフスキー座標 で次のように定義される 4 波ベクトル です。
け
μ
=
（
ω c
、
け →
）
=
（
ω c
、
ω
ヴ
p
ん ^
）
=
（
2 π
c T
、
2 π
ん ^
λ
）
{\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}
ここで、角周波数 は時間成分であり、波数ベクトル は空間成分です。
ω c
{\displaystyle {\tfrac {\omega }{c}}}
け →
{\displaystyle {\vec {k}}}
あるいは、波数 k は 、角周波数 ω を 位相速度 v p で割ったものとして、または逆周期 T と逆波長 λ として表すこともできます 。
明示的に記述すると、 反変形式 と 共変形 式は次のようになります。
け
μ
=
（
ω c
、
け
x
、
け
ええ
、
け
ず
）
け
μ
=
（
ω c
、 −
け
x
、 −
け
ええ
、 −
け
ず
）
{\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}
一般に、波 4 ベクトルのローレンツ スカラー振幅は次のようになります。
け
μ
け
μ
=
（
ω c
）
2
−
け
x
2
−
け
ええ
2
−
け
ず
2
=
（
ω
o
c
）
2
=
（
メートル
o
c
ℏ
）
2
{\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}
4波ベクトルは 質量のない （光子）粒子では ゼロで あり、静止質量は
メートル
o
= 0
{\displaystyle m_{o}=0}
ヌル4波ベクトルの例としては、 位相速度を持つコヒーレントな 単色光のビームが挙げられる。
ヴ
p
= c
{\displaystyle v_{p}=c}
け
μ
=
（
ω c
、
け →
）
=
（
ω c
、
ω c
ん ^
）
=
ω c
（
1 、
ん ^
）
{\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}
{ライトライク/ヌルの場合} 4波ベクトルの空間部分の周波数と大きさの間には次の関係があります。
け
μ
け
μ
=
（
ω c
）
2
−
け
x
2
−
け
ええ
2
−
け
ず
2
= 0
{\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}
{ライトライク/ヌルの場合} 4 波ベクトルは 4 運動量 と次のように関係します。
ポ
μ
=
（
え c
、
p →
）
= ℏ
け
μ
= ℏ
（
ω c
、
け →
）
{\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({ \frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}
4 波ベクトルは 4 周波数 と次のように関係します。
け
μ
=
（
ω c
、
け →
）
=
（
2 π
c
）
いいえ
μ
=
（
2 π
c
）
（
ν 、 ν
ん →
）
{\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}
4 波ベクトルは 4 速度 と次のように関係します。
け
μ
=
（
ω c
、
け →
）
=
（
ω
o
c
2
）
あなた
μ
=
（
ω
o
c
2
）
γ
（
c 、
あなた →
）
{\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}
4波ベクトルの ローレンツ変換 は 相対論的ドップラー効果 を導く一つの方法である。ローレンツ行列は次のように定義される。
Λ =
（
γ
− β γ
0
0
− β γ
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
）
{\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} }}
高速で移動する光源から光が放射され、地球（実験室）のフレームで検出された光の周波数を知りたい場合、次のようにローレンツ変換を適用します。光源はフレーム S s にあり、地球は観測フレーム S obs にあることに注意してください。ローレンツ変換を波数ベクトルに適用すると、
け
s
μ
=
Λ
ν
μ
け
o b s
ν
{\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}
コンポーネント
だけを見ることを選択すると、
μ = 0
{\displaystyle \mu =0}
け
s
0
=
Λ
0
0
け
o b s
0
+
Λ
1
0
け
o b s
1
+
Λ
2
0
け
o b s
2
+
Λ
3
0
け
o b s
3
ω
s
c
= γ
ω
o b s
c
− β γ
け
o b s
1
= γ
ω
o b s
c
− β γ
ω
o b s
c
コス θ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}
の 方向余弦 は
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
k
1
{\displaystyle k^{1}}
k
0
,
k
1
=
k
0
cos
θ
.
{\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}
それで
遠ざかる源（赤方偏移） 例として、これを音源が観測者から直接遠ざかる状況（ ）に適用すると、次のようになります。
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
ω
o
b
s
ω
s
=
1
γ
(
1
+
β
)
=
1
−
β
2
1
+
β
=
(
1
+
β
)
(
1
−
β
)
1
+
β
=
1
−
β
1
+
β
{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}
源は（青方偏移）に向かって移動している これを、音源が観測者に向かってまっすぐ移動している状況（ θ = 0 ）に適用すると、次のようになります。
ω
o
b
s
ω
s
=
1
γ
(
1
−
β
)
=
1
−
β
2
1
−
β
=
(
1
+
β
)
(
1
−
β
)
1
−
β
=
1
+
β
1
−
β
{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}
接線方向に移動する音源（横方向ドップラー効果） これを、音源が観測者に対して横方向に移動している状況（ θ = π /2 ）に適用すると、次のようになります。
ω
o
b
s
ω
s
=
1
γ
(
1
−
0
)
=
1
γ
{\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}
参照
参考文献
^ 物理学の例: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)^ 結晶学の例: Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1 。 ^ ヴァンシュタイン、ボリス・コンスタンティノヴィッチ (1994)。現代の結晶学。 p. 259.ISBN 978-3-540-56558-1 。 ^ ファウルズ、グラント（1968年）。 現代光学入門 。ホルト、ライナーハート、ウィンストン。177ページ。 ^ 「この効果は、異方性媒体内の弾性波のエネルギーが、一般に、平面波面の法線と同じ経路に沿って伝わらないことを示す Musgrave (1959) によって説明されています...」、 Pollard 著『 固体内の音波』 、1977 年。リンク ^ ドナルド・H・メンゼル (1960)。「§10.5 ブロッホ波」 物理学の基本公式、第2巻 （プレンティス・ホール1955年第2版の再版）。クーリエ・ドーバー。624ページ 。ISBN 978-0486605968 。 ^ Wolfgang Rindler (1991). 「§24 波動」. 特殊相対性理論入門 (第2版). Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0 。
さらに読む Brau, Charles A. (2004)。 『古典電気力学における現代の諸問題 』オックスフォード大学出版局 。ISBN 978-0-19-514665-3 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388b3644b7ce389d19a5e0a46b8e49d870972897)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{ 0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&= \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f60737b832c1dc0ed86fcdb2b60180d38dde9)
