波数

物理科学において、波数（または波数）は反復とも呼ばれ、^[1]波の空間周波数であり、単位距離あたりのサイクル数（通常の波数）または単位距離あたりのラジアン（角波数）で測定されます。^{[2] [3] [4]}これは、単位時間あたりの波のサイクル数（通常の周波数）または単位時間あたりのラジアン（角周波数）として定義される時間周波数に類似しています。

多次元システムでは、波数は波数ベクトルの大きさです。波数ベクトルの空間は逆格子空間と呼ばれます。波数と波数ベクトルは、光学や、 X線回折、中性子回折、電子回折、素粒子物理学などの波の散乱の物理学において重要な役割を果たします。量子力学の波の場合、波数に換算プランク定数を乗じたものが正準運動量です。

波数は空間周波数以外の量を指定するためにも使用できます。たとえば、光学分光法では、一定の光速を仮定した時間周波数の単位としてよく使用されます。

分光法やほとんどの化学分野で使われる波数は、単位距離（通常はセンチメートル（cm ^{−1 ））あたりの}波長の数として定義されます。

${\displaystyle {\チルダ {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},}$

ここでλは波長です。これは「分光波数」と呼ばれることもあります。^[1]これは空間周波数に等しくなります。

例えば、センチメートルの逆数で表された波数は、次の式を掛けることでギガヘルツ単位で表される周波数に変換できる。29.979 2458  cm/ns（光の速度、センチメートル/ナノ秒）^[5]逆に、29.9792458GHzの電磁波は自由空間で1cmの波長を持ちます。

理論物理学では、単位距離あたりのラジアン数として定義される波数は、「角波数」と呼ばれることもあり、より頻繁に使用される。^[6]

${\displaystyle k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}}$

波数が記号νで表される場合、周波数は間接的ではあるが、依然として表されている。分光法のセクションで説明したように、これは関係式によって行われ、 νsは_単位ヘルツで表される周波数である。これは、周波数が非常に大きくなる傾向があるため、便宜上行われる。^[7]${\textstyle {\frac {\nu _{\text{s}}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\チルダ {\nu }},}$

波数は長さの逆数の次元を持つため、SI単位はメートルの逆数（m ⁻¹）です。分光法では、波数をcgs 単位（センチメートルの逆数、cm ⁻¹ ）で表すのが一般的です。この文脈では、波数はハインリヒ・カイザーにちなんでカイザーと呼ばれていました（古い科学論文の中には、この単位を K と省略したもの、1 K = 1 cm −1 を使用したものもありました^）。^{[8]角波数は、}ラジアン/メートル（rad⋅m ⁻¹）の単位、または上記のように表すことができます。ラジアンは無次元だからです。   

真空中の電磁放射の場合、波数は周波数と光子エネルギーに正比例します。このため、波数は分光法におけるエネルギーの便利な単位として使用されます。

複素数値波数は、複素数値の比誘電率 、比透磁率、屈折率nを持つ媒体に対して次のように定義できる。^[9]${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \mu _{r}}$

${\displaystyle k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n}$

ここで、k _{0は上記のように自由空間の波数です。波数の虚数部は単位距離あたりの減衰を表し、指数関数的に減衰する}エバネッセント場の研究に役立ちます。

線状物質中を正のx方向に伝搬する正弦波平面波の伝搬係数は^{[10]で与えられる:51}

${\displaystyle P=e^{-jkx}}$

どこ

• ${\displaystyle k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;}$
• ${\displaystyle k'=}$ 位相定数（単位：ラジアン/メートル）
• ${\displaystyle k''=}$ 減衰定数（単位：ネパー/メートル）
• ${\displaystyle \omega =}$角周波数
• ${\displaystyle x=}$x方向の移動距離
• ${\displaystyle \sigma =}$ 導電率（シーメンス/メートル）
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=}$ 複素誘電率
• ${\displaystyle \mu =\mu '-j\mu ''=}$ 複素透過性
• ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

符号規則は、損失のある媒体での伝播との一貫性を保つために選択されています。減衰定数が正の場合、波が x 方向に伝播するにつれて波の振幅が減少します。

波長、位相速度、表皮深さは、波数の成分と単純な関係があります。

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}}$

ここでは、波長、周波数、波数などの波を記述するさまざまな量が一定であるという意味で、波が規則的であると仮定します。これらの量が一定でない場合の説明については、 波束を参照してください。

一般に、角波数k（つまり波数ベクトルの大きさ）は次のように表される。

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}}$

ここで、νは波の周波数、λは波長、ω = 2 πνは波の角周波数、v _{p は波の}位相速度です。波数の周波数への依存性（またはより一般的には周波数の波数への依存性）は、分散関係として知られています。

真空中の電磁波が光速で伝播する特殊なケースでは、 k は次のように表されます。

${\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}}$

ここで、Eは波のエネルギー、 ħは換算プランク定数、c は真空中の 光の速度です。

物質波、例えば電子波の特殊なケースでは、非相対論的近似（自由粒子の場合、つまり粒子に位置エネルギーがない場合）では次のようになります。

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$

ここで、pは粒子の運動量、 mは粒子の質量、Eは粒子の運動エネルギー、ħ は換算プランク定数です。

波数は群速度を定義するためにも使用されます。

分光学において、「波数」（センチメートルの逆数、cm ^{−1 ）は}、真空中の光の速度（通常はセンチメートル毎秒、cm⋅s ⁻¹ ）で割った時間周波数（ヘルツ）を指します。 ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.}$

周波数ではなく分光波数を使用する歴史的な理由は、干渉計で1cmあたりの縞を数えて原子スペクトルを研究するときに便利な単位だからです 。分光波数は真空中の光の波長の逆数です。

${\displaystyle \lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},}$

これは空気中でも本質的に同じままであり、そのため分光波数は、空気中または真空中で操作される機器の場合、回折格子から散乱される光の角度と干渉計内の縞間の距離に直接関係しています。このような波数は、1880年代にヨハネス・リュードベリの計算で初めて使用されました。1908年のリュードベリ・リッツ結合原理も波数で定式化されました。数年後、スペクトル線は量子論でエネルギーレベル間の差として理解されるようになり、エネルギーは波数、つまり周波数に比例します。ただし、分光データは周波数やエネルギーではなく、分光波数で表され続けました。

例えば、原子水素の発光スペクトルの分光波数は、リュードベリの式で表されます。

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),}$

ここで、Rはリュードベリ定数、n _iとn _{f は}それぞれ初期レベルと最終レベルの主量子数です（発光の場合、 n _{i は}n _fよりも大きくなります）。

分光波数はプランクの法則によって光子あたりのエネルギー Eに変換できる。

${\displaystyle E=hc{\tilde {\nu }}.}$

光の波長に変換することもできます。

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},}$

ここで、n は媒体の屈折率です。光が異なる媒体を通過すると波長は変化しますが、分光波数 (つまり周波数) は一定のままであることに注意してください。

空間周波数はしばしば「波数」で表記されるが、これは量の名称をCGS単位cm ⁻¹自体に誤って転記したものである。 [ ^{11 ]}

• 角波長
• 空間周波数
• 屈折率
• 帯状波数

• ウィキメディア・コモンズの波数に関連するメディア