超実数

数学において、超実数は、実数を拡張して、特定の種類の無限数と無限小数を含めたものである。[ 1 ]超実数^は、ある整数に対して、かつその場合に限り有限であると言われる。^{[1] [2]}すべての正の整数に対して、かつその場合に限り無限小であると言われる。^{[1] [2]} 「超実数」という用語は、1948 年にエドウィン・ヒューイットによって導入された。^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<1/n}$${\displaystyle n}$

超実数は、ライプニッツの連続性に関する発見的法則の厳密版である転移原理を満たす。転移原理は、 Rに関する真の一階述語は * Rでも有効であると述べている。^[4]たとえば、加法の交換法則x  +  y = y  +  xは、実数の場合と同様に超実数にも当てはまる。R は実閉体なので、 * Rもそうだ。すべての整数nに対して成立するため、すべての超整数に対しても成立する。超冪に対する転移原理は、1955 年のŁoś の定理の結果である。 ${\displaystyle \sin({\pi n})=0}$ ${\displaystyle \sin({\pi H})=0}$ ${\displaystyle H}$

無限小値を含む議論の妥当性に関する懸念は古代ギリシャの数学にまで遡り、アルキメデスはそのような証明を、枯渇法などの他の手法を用いた証明に置き換えた。^[5] 1960年代に、アブラハム・ロビンソンは、超実数が論理的に一貫しているのは実数が一貫している場合のみであることを証明した。これにより、ロビンソンが定義した論理規則に従って操作される限り、無限小値を含む証明はどれも妥当ではないかもしれないという懸念は払拭された。

超実数、特に転移原理を解析の問題に適用することを非標準解析と呼びます。直接的な応用の 1 つは、複数の量指定子の論理的複雑さを経由せずに、直接的に微分や積分などの解析の基本概念を定義することです。したがって、無限小 に対してf ( x ) の微分は となります。ここで、st(⋅) は標準部分関数を表し、各有限超実数を最も近い実数に「切り捨てる」ものです。同様に、積分は適切な無限和の標準部分として定義されます。 ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$${\displaystyle \Delta x}$

超実数システムのアイデアは、実数R を拡張して、無限小数と無限数を含むシステム * Rを形成することですが、代数の基本公理は変更されません。実数に当てはまる「任意の数 x に対して...」という形式のステートメントは、超実数にも当てはまります。たとえば、「任意の数xに対して、x  + 0 =  x」という公理は依然として適用されます。同じことが、複数の数に対する量化にも当てはまります。たとえば、「任意の数xおよびyに対して、xy  =  yx 」などです。実数から超実数にステートメントを継承するこの能力は、転送原理と呼ばれます。ただし、「任意の数の集合Sに対して...」という形式のステートメントは継承されない場合があります。実数と超実数の間で異なる唯一のプロパティは、集合、または通常は集合から構築される関数や関係などの他の高レベルの構造に対する量化に依存するプロパティです。それぞれの実集合、関数、関係には、同じ一階の性質を満たす自然な超実拡張があります。量化に関するこの制限に従う論理文の種類は、一階論理における文と呼ばれます。

しかし、転移原理は、Rと* Rが同一の動作をすることを意味するわけではない。例えば、* Rには、 ωという 元が存在し、

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}$

しかし、 Rにはそのような数は存在しません。（言い換えると、 * R はアルキメデスの数ではありません。）これは、 ωの非存在が一階述語として表現できないために可能です。

非実数量の非公式表記は、歴史的に微積分学においてdxのような無限小として、および例えば不定積分の積分極限で使用される記号 ∞ の 2 つの文脈で登場してきました。

転移原理の例として、任意の非ゼロ数xに対して2x  ≠  xであるという命題は実数に対して真であり、転移原理で要求される形式であるため、超実数に対しても真です。これは、超実数システムのすべての無限量に対して ∞ などの一般的な記号を使用することはできないことを示しています。無限量は他の無限量と大きさが異なり、無限小は他の無限小と大きさが異なります。

同様に、1/0 = ∞ という安易な使用は無効です。なぜなら、ゼロには逆数が存在しないという主張には転移原理が適用されるためです。このような計算の厳密な対応は、ε がゼロでない無限小数である場合、1/ε は無限大である、ということになります。

任意の有限超実数xについて、標準部分st( x ) は、 xに最も近い唯一の実数として定義されます。これは、必然的にxと無限小のみ異なります。標準部分関数は、無限超実数に対して次のように定義することもできます。 x が正の無限超実数の場合は、 st( x ) を拡張された実数 に設定し、同様に、 x が負の無限超実数の場合は、 st( x ) を に設定します(無限超実数は「真の」絶対無限大よりも小さく、どの実数よりもそれに近いという考え方です)。 ${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

超実数系の主な用途の 1 つは、ライプニッツが微分と積分を定義するために使用した 微分演算子dに正確な意味を与えることです。

任意の実数値関数に対して、微分は、すべての順序付きペア（ここでは実数で は非ゼロの無限小）を無限小に 写像するものとして定義される。${\displaystyle f,}$${\displaystyle df}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle dx}$

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

任意の無限小を表すために使用される表記法 " " は、上記の演算子 の定義と一致していることに注意してください。を関数 と解釈すると(一般的に行われているように)、任意の について、微分は無限小 に等しくなります。 ${\displaystyle dx}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x,}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle d(x)}$${\displaystyle dx}$

実数値関数は、商 が${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

はすべての非ゼロ無限小に対して同じです。そうであれば、この商はにおけるの導関数と呼ばれます。 ${\displaystyle dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

例えば、関数の導関数を求めるには、を非ゼロの無限小数とします。すると、 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle dx}$

導関数の定義で標準部分を使用することは、無限小量の二乗^{[要出典]を無視するという従来の慣習に代わる厳密な方法です。}双対数はこの考えに基づいた数体系です。上記の微分法の 3 行目以降は、ニュートンから 19 世紀にかけての典型的な方法は、単にdx ²項を無視することだったでしょう。超実数体系では、 dx は非ゼロであるためdx ²  ≠ 0 であり、転送原理は、任意の非ゼロ数の二乗は非ゼロであるという主張に適用できます。ただし、量dx ^{2 は}dx に比べて無限小です。つまり、超実数体系には無限小量の階層が含まれています。

超実数を使って微分すると、より代数的に操作しやすい微分法が可能になります。通常の微分法では、偏微分と高階微分は代数的手法で独立して操作することはできません。しかし、超実数を使うと、表記が若干異なりますが、そのためのシステムを確立することができます。^[6]

超実数系のもう一つの重要な用途は、ライプニッツが定積分を定義するために使用した積分記号 ∫ に正確な意味を与えることです。

任意の微小関数に対して、積分は任意の順序付き3つ組（ただし、 とは実数、 は と同じ符号の微小関数）を値 ${\displaystyle \ \varepsilon (x),\ }$${\displaystyle \int (\varepsilon )\ }$${\displaystyle (a,b,dx)}$${\displaystyle \ a\ }$${\displaystyle \ b\ }$${\displaystyle \ dx\ }$${\displaystyle \,b-a}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),}$

を満たす任意の超整数は${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.}$

実数値関数は、任意 の非零無限小に対して積分が${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b]\ }$${\displaystyle \ dx,\ }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

の選択に依存しない。もしそうなら、この積分は の定積分（または不定積分）と呼ばれる。${\displaystyle \ dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b].}$

これは、超実数を使用すると、ライプニッツの定積分の表記が実際に意味のある代数式として解釈できることを示しています（微分が意味のある商として解釈できるのと同じように）。^[7]

超実数 * R は、実数R を部分体として含む順序体を形成します。実数とは異なり、超実数は標準的な距離空間を形成しませんが、その順序により順序位相を持ちます。

超実数という語句で定冠詞theが使われているが、これはほとんどの説明で言及されている唯一の順序付き体ではないという点で、いくぶん誤解を招く恐れがある。しかし、2003 年のVladimir KanoveiとSaharon Shelahによる論文^[8]では、定義可能で可算飽和(つまりω 飽和だが可算ではない)な実数の基本拡張が存在することが示されている。したがって、この拡張は超実数というタイトルにふさわしい。さらに、すべての実数列の空間から超冪構成によって得られる体は、連続体仮説を仮定すれば、同型性を除いて一意である。

超実体であるという条件は、Rを厳密に含む実閉体であるという条件よりも強い。また、デールズとウッドインの意味で超実体であるという条件よりも強い。^[9]

超実数は、公理的にも、より構成的な方法でも展開できます。公理的アプローチの本質は、(1) 少なくとも 1 つの無限小数が存在すること、および (2) 転送原理の妥当性を主張することです。次のサブセクションでは、より構成的なアプローチの詳細な概要を示します。この方法では、超フィルタと呼ばれる集合論的オブジェクトが与えられれば超実数を構築できますが、超フィルタ自体は明示的に構築できません。

ニュートンと（より厳密には）ライプニッツが微分法を導入したとき、彼らは無限小値を使用していたが、これはオイラーやコーシーなどの後代の数学者によって依然として有用であると見なされていた。とはいえ、これらの概念は当初から、特にジョージ・バークリーによって疑わしいものとみなされていた。バークリーの批判は、無限小値（または流数）による微分の定義における仮説の転換に集中していた。この定義では、dxは計算の開始時にはゼロ以外であり、計算の終了時には消えると仮定されている（詳細は「消滅した量の亡霊」を参照）。1800年代にボルツァーノ、コーシー、ワイエルシュトラスらによる極限の（ε, δ）定義の開発を通じて微積分学が確固たる基盤を築くと、無限小値はほとんど放棄されたが、非アルキメデスの分野の研究は継続された（Ehrlich 2006）。

しかし、1960年代にアブラハム・ロビンソンは、無限大と無限小の数を厳密に定義し、非標準解析の分野を発展させるために使用できることを示しました。^{[10]ロビンソンは}モデル理論を使用して非構成的に理論を展開しました。ただし、代数と位相幾何学のみを使用して進め、定義の結果として転送原理を証明することは可能です。言い換えると、超実数自体は、非標準解析での使用を除けば、モデル理論や一階述語論理とは必ずしも関係がありませんが、論理学からのモデル理論的手法の適用によって発見されました。超実体は、実際には、純粋に代数的な手法で、超冪構成を使用して、ヒューイット（1948）によって最初に導入されました。

我々は実数列を介して超実数体を構築しようとしている。 ^[11]実際に、実数列を成分ごとに加算したり乗算したりすることができる。例えば、

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

乗算についても同様です。これにより、そのようなシーケンスの集合は可換環になり、これは実際には実数代数 Aです。実数rをシーケンス ( r , r , r , …) と同一視することで、 RをAに自然に埋め込むことができ、この同一視により、対応する実数代数演算が保存されます。直感的な動機は、たとえば、ゼロに近づくシーケンスを使用して無限小数を表すことです。このようなシーケンスの逆は、無限数を表します。以下で説明するように、困難が生じるのは、必然的に多少恣意的であるものの、自己矛盾がなく明確に定義される方法で、このようなシーケンスを比較するための規則を定義する必要があるためです。たとえば、最初のn個の要素が異なるが、その後は等しい 2 つのシーケンスがある場合、このようなシーケンスは明らかに同じ超実数を表すものと見なす必要があります。同様に、ほとんどのシーケンスはランダムに永久に振動するため、そのようなシーケンスを取得して、たとえば、 （ は特定の無限小数） として解釈する方法を見つける必要があります。 ${\displaystyle 7+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

したがって、シーケンスの比較は繊細な問題です。たとえば、シーケンス間の関係をコンポーネントごとに定義してみることができます。

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

しかし、ここで問題が発生します。最初のシーケンスの一部のエントリが 2 番目のシーケンスの対​​応するエントリよりも大きく、他のエントリが小さい可能性があるためです。したがって、このように定義された関係は部分順序にすぎません。これを回避するには、どの位置が重要であるかを指定する必要があります。インデックスは無限にあるため、有限のインデックス セットが重要になることは望ましくありません。重要なインデックス セットの一貫した選択は、自然数上の任意の自由ウルトラフィルター Uによって与えられます。これらは、有限セットを含まないウルトラフィルターとして特徴付けることができます。 (良い知らせは、ゾルンの補題により、そのようなUが多数存在することが保証されることです。悪い知らせは、それらを明示的に構築できないことです。) Uは、「重要な」インデックスのセットを厳選するものと考えます。つまり、自然数の集合 { n  : a _n ≤ b _n } がUにある場合にのみ、 ( a ₀、a ₁、a ₂、...) ≤ ( b ₀、b ₁、b ₂ 、...) と記述します。

これは全順序であり、a ≤ bかつb ≤ aの場合に2 つのシーケンスaとb を区別しないことに同意すると、全順序になります。この同一視により、超実数の順序付き体*Rが構築されます。代数的な観点から、Uにより、可換環A (つまり、 Uの何らかの要素で消えるシーケンスの集合) 内の対応する最大イデアルI を定義し、次に*RをA / Iと定義できます。可換環を最大イデアルで割った商として、 *Rは体です。これは、自由超フィルタUに関して直接A / Uとも表記されます。この 2 つは同等です。 Iが最大であることは、シーケンスaが与えられたときに、 aの非ヌル要素を反転し、ヌル要素を変更しないシーケンスbを構築できることから生じます。aが消える集合がUにない場合、積ab は数 1 と同一視され、 1 を含むイデアルは必ずAになります。結果として得られる体では、これらのaとb は逆になります。

体A / UはRの超冪である。この体にはR が含まれるため、その濃度は少なくとも連続体の濃度以上である。Aの濃度は

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

また、 より大きくはないので、 Rと同じ濃度を持ちます。 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

我々が尋ねるかもしれない一つの質問は、もし我々が別の自由超フィルタV を選択した場合、商体A / U は順序体としてA / Vと同型であるかどうかである。 この質問は連続体仮説と同等であることが判明した。連続体仮説を伴うZFCでは、この体が順序同型を除いて一意であることを証明でき、連続体仮説の否定を伴う ZFC では、両方とも実数の可算にインデックス付けされた超冪である非順序同型体のペアが存在することを証明できる。^[12]

この製造方法の詳細については、ultraproduct を参照してください。

以下は、超実数を理解するための直感的な方法です。ここで採用されているアプローチは、ゴールドブラットの著書のアプローチに非常に近いものです。^[13]ゼロに収束する数列は、無限小と呼ばれることがあることを思い出してください。これらは、ある意味でほぼ無限小です。真の無限小には、ゼロに収束する数列を含む特定の数列のクラスが含まれます。

これらのクラスがどこから来るのかを見てみましょう。まず、実数のシーケンスを考えてみましょう。それらはリングを形成します。つまり、それらを掛け算、加算、減算することはできますが、必ずしもゼロ以外の要素で割る必要はありません。実数は定数シーケンスと見なされ、シーケンスがゼロになるのは、シーケンスが常にゼロである場合、つまり、 すべてのnに対してn  = 0 で_ある場合です。

この数列の環では、a  = 0 でもb = 0 でもない場合に、 ab = 0 になることがあります 。したがって、2 つの数列でab = 0になる場合 、少なくともそのうちの 1 つは 0 と宣言する必要があります。驚くべきことに、それを行う一貫した方法があります。その結果、ゼロと宣言された数列によって異なる数列の同値類は、超実数体と呼ばれる体を形成します。これには、通常の実数に加えて無限小数、および無限大数 (無限小数の逆数で、無限に発散する数列によって表される数も含む) が含まれます。また、無限大ではないすべての超実数は、通常の実数に無限に近くなります。つまり、通常の実数と無限小の合計になります。 ${\displaystyle a,b}$

この構成は、カントールによって与えられた有理数から実数を構成する方法と類似しています。彼は有理数のコーシー列の環から始めて、ゼロに収束するすべての列はゼロであると宣言しました。その結果が実数です。超実数の構成を続けるには、列のゼロ集合、つまり 、つまりとなるインデックスの集合を考えます。 の場合、との和集合はN (すべての自然数の集合)であることは明らかです。したがって、 ${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle z(b)}$

1. 2 つの補集合上で消えるシーケンスの 1 つはゼロと宣言する必要があります。
2. がゼロと宣言されている場合は、何であっても もゼロと宣言する必要があります。${\displaystyle a}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle b}$
3. との両方がゼロと宣言されている場合は、もゼロと宣言する必要があります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$

ここでの考え方は、 Nの部分集合Xの束Uを取り出し、 Uに属する場合のみ、であると宣言すること です。上記の条件から、次のことがわかります。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle z(a)}$

1. 2 つの補集合のうち 1 つはUに属します。
2. Uに属する部分集合を持つ集合は、すべてUにも属します。
3. Uに属する任意の 2 つの集合の交差はUに属します。
4. 最後に、空集合をUに属させたくありません。なぜなら、すべての集合は空集合をサブセットとして持つため、そうするとすべてがUに属することになるからです。

(2–4) を満たす任意の集合族はフィルターと呼ばれます(例: 有限集合の補集合はフレシェ フィルターと呼ばれ、通常の極限理論で使用されます)。 (1) も成り立つ場合、U はウルトラフィルターと呼ばれます(これを壊さずにこれ以上集合を追加できないため)。ウルトラフィルターの明示的に知られている唯一の例は、特定の要素 (この場合は、たとえば数 10) を含む集合族です。このようなウルトラフィルターは自明と呼ばれ、これを構築に使用すると、通常の実数に戻ります。有限集合を含むウルトラフィルターはすべて自明です。任意のフィルターをウルトラフィルターに拡張できることが知られていますが、証明には選択公理が使用されます。自明でないウルトラフィルター (ウルトラフィルターの補題)の存在は、選択公理よりも弱いため、追加の公理として追加できます。

ここで、非自明なウルトラフィルター (フレシェ フィルターの拡張) を使用して構築を行うと、結果として超実数が得られます。

が実変数の実関数である 場合、合成によって超実変数の超実関数に自然に拡張されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

ここで、は「当社のウルトラフィルターに対するシーケンスの同値クラス」を意味し、2 つのシーケンスが同じクラスに属するのは、それらの差のゼロ セットが当社のウルトラフィルターに属する場合のみです。 ${\displaystyle \{\dots \}}$${\displaystyle \dots }$

すべての算術表現と公式は超実数に対して意味を成し、通常の実数に対して真であれば真となります。任意の有限（つまり、ある通常の実数 に対してとなる）超実数は、 が通常の（標準と呼ばれる）実数で が無限小である形式になります。これは、ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を証明する際に使用される二分法によって証明できますが、超フィルタの特性（1）が重要であることがわかります。 ${\displaystyle |x|<a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y+d}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d}$

*Rの有限元F は局所環、実際は付値環を形成し、唯一の最大イデアルSは無限小であり、商F / S は実数と同型です。したがって、FからRへの準同型写像 st( x ) が得られ、その核は無限小で構成され、Fのすべての元x を、 x との差がS内にある、つまり無限小である唯一の実数に送信します。言い換えると、すべての有限非標準実数は、 x が有限非標準実数である場合、 x – st( x )が無限小である唯一の実数 st( x ) が存在するという意味で、唯一の実数に「非常に 近い」ということです。この数 st( x ) はxの標準部分と呼ばれ、概念的にはx を最も近い実数に変換することと同じです。この演算は順序保存準同型であり、したがって代数的にも順序理論的にも適切に動作します。これは順序保存ですが、等位ではありません。つまり、を意味しますが、 を意味するわけではありません。 ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)}$

• xとyが両方とも有限であれば、$${\displaystyle \operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}$$ $${\displaystyle \operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}$$
• xが有限であり、無限小ではない場合。$${\displaystyle \operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)}$$
• xが実数であるのは、$${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x}$$

写像 st は有限超実数上の順序位相に関して連続であり、実際は局所的に一定です。

Xがティコノフ空間（T _3.5空間とも呼ばれる）で、 C( X ) がX上の連続実数値関数の代数であるとします。M がC( X )の最大イデアルであるとします。すると、因子代数A = C( X )/ M は実数を含む全順序体Fになります。 F がR を厳密に含む場合、M は超実イデアル（ Hewitt (1948)による用語）と呼ばれ、 F は超実体と呼ばれます。 Fの濃度がRより大きいという仮定は行われていないことに注意してください。実際には、同じ濃度を持つことができます。

重要な特殊なケースとして、 X上の位相が離散位相である場合が挙げられます。この場合、X は基数κ と同一視され、 C( X ) は κ からRへの関数の実数代数R ^κと同一視されます。この場合に得られる超実体はRの超冪と呼ばれ、モデル理論における自由超フィルターを介して構成される超冪と同一です。

• 構成的非標準分析
• 超整数 – 自身の整数部に等しい超実数
• 非標準分析の影響
• 非標準微積分学 – 無限小数の現代的応用
• 実閉体 – sqrt(–1) による拡大が代数的に閉じている非代数的に閉じた体
• 実数直線 – 実数によって形成される直線Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 超実数 - 実数の一般化 - 超実数は、超実数やその他の非実数クラスを含む、はるかに大きな数のクラスです。

• ボール、WW ラウズ(1960)、数学史の小解説 (第 4 版 [再版。初版: ロンドン: マクミラン社、1908 年] 版)、ニューヨーク: ドーバー出版、pp. 50–62、ISBN 0-486-20630-0
• ハッチャー、ウィリアム S. (1982)「微積分は代数である」アメリカ数学月刊誌89:362–370。
• Hewitt, Edwin (1948) 実数値連続関数の環. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• ジェリソン、マイヤー、ギルマン、レナード（1976）、連続関数の環、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90198-5
• Keisler, H. Jerome (1994) 超実数線. 実数、実数の一般化、連続体の理論、207—237、Synthese Lib.、242、Kluwer Acad. Publ.、ドルドレヒト。
• クラインバーグ、ユージン・M.; ヘンレ、ジェームズ・M. (2003)、Infinitesimal Calculus、ニューヨーク：Dover Publications、ISBN 978-0-486-42886-4

• Crowell、Brief Calculus。無限小値を使用するテキスト。
• Hermoso著「非標準解析と超実数」。やさしい入門書。
• Keisler,初等微積分学: 無限小数を用いたアプローチ。超実数の公理的扱いが含まれており、クリエイティブ コモンズ ライセンスの下で無料で利用できます。