変数の変更

極座標に切り替えると、より簡単に解けるシステムもあります。例えば、次の式を考えてみましょう。

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

これは、何らかの物理問題におけるポテンシャルエネルギー関数である可能性があります。すぐに解決策が見つからない場合は、置換を試してみると良いでしょう。

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$によって与えられた${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

注意：${\displaystyle \theta }$外側を走る${\displaystyle 2\pi }$例えば、長さの間隔、${\displaystyle [0,2\pi ]}$地図${\displaystyle \Phi }$はもはや全単射ではない。したがって、${\displaystyle \Phi }$例えば、${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$どのように${\displaystyle r=0}$除外されます。${\displaystyle \Phi }$原点では全単射ではない（${\displaystyle \theta }$は任意の値を取ることができ、その点は (0, 0) にマッピングされます。次に、元の変数のすべての出現箇所を、によって規定された新しい式に置き換えます。${\displaystyle \Phi }$そしてそのIDを使用して${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$そうすれば

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

今なら解決策は容易に見つかる。${\displaystyle \sin(\theta )=0}$、 それで${\displaystyle \theta =0}$または${\displaystyle \theta =\pi }$逆演算を適用する${\displaystyle \Phi }$これは以下と同等であることを示しています${\displaystyle y=0}$その間${\displaystyle x\not =0}$実際、次のことがわかります。${\displaystyle y=0}$関数は原点を除いて消滅する。

注意すべきは、もし私たちが許可していたら${\displaystyle r=0}$原点も解となるが、それは元の問題の解ではない。ここで、全単射性${\displaystyle \Phi }$が重要です。関数は常に正です（${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$)したがって、絶対値になります。

連鎖律は、複雑な微分を簡略化するために使用されます。たとえば、導関数を計算する問題を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

させて${\displaystyle y=\sin u}$と${\displaystyle u=x^{2}.}$それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

難しい積分は、変数変換によって評価できる場合が多くあります。これは置換規則によって可能になり、上記の連鎖規則の使用に類似しています。難しい積分は、対応するヤコビ行列と行列式によって与えられる変数変換を使用して積分を単純化することによっても解くことができます。^{[ 1 ]}ヤコビ行列式とそれに対応する変数変換を使用することは、極座標系、円筒座標系、球座標系などの座標系の基礎となります。

微分と積分における変数変換は初等微積分で教えられるが、その手順が完全に実行されることは稀である。

変数変換の幅広い用途は、微分方程式を考える際に明らかになります。独立変数は連鎖律を用いて変換される場合もあれば、従属変数が変換されて微分が行われる場合もあります。点変換や接触変換における従属変数と独立変数の混在など、特殊な変換は非常に複雑になる可能性がありますが、大きな自由度をもたらします。

多くの場合、変更の一般的な形式が問題に代入され、問題を最も単純化するために途中でパラメータが選択されます。

おそらく最も単純な変更は、変数のスケーリングとシフト、つまり定数分だけ「引き伸ばされ」「移動」された新しい変数に置き換えることです。これは、問題から物理パラメータを取得するために、実際のアプリケーションで非常によく行われます。n 階微分の場合、^変更の結果は単純に次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

どこ

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

これは連鎖律と微分法の線形性によって容易に示すことができる。この変換は、例えば境界値問題のように、問題から物理パラメータを抽出する実用的な応用において非常によく用いられる。

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad$ ;\quad u(0)=u(L)=0}

は距離 δ で隔てられた平らな固体壁間の平行流体の流れを表します。μ は粘度であり、${\displaystyle dp/dx}$圧力勾配はどちらも定数です。変数をスケーリングすると、問題は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad$ ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}

どこ

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

スケーリングは多くの点で有用です。パラメータの数を減らすことで解析を簡素化し、問題をより分かりやすくします。適切なスケーリングによって変数を正規化、つまり0から1のような妥当な無次元範囲にすることができます。さらに、数値解法が求められる問題では、パラメータの数が少ないほど計算量も少なくなります。

方程式系を考えてみましょう

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

特定の関数に対して${\displaystyle H(x,v)}$質量は（自明な）置換によって消去できる。${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$明らかにこれは全単射写像である${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$置換の下で${\displaystyle v=\Phi (p)}$システムは

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

力場が与えられた場合${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$ニュートンの運動方程式は

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

ラグランジュは、これらの運動方程式が任意の変数置換によってどのように変化するかを調べた。${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$、${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

彼は方程式が

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

関数のニュートン方程式と同等である${\displaystyle L=T-V}$ここで、Tは運動エネルギー、Vは位置エネルギーである。

実際、置換を適切に選択すれば（例えば、システムの対称性や制約を利用するなど）、これらの方程式はデカルト座標におけるニュートンの方程式よりもはるかに簡単に解くことができる。