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数学では、三分割法則は、すべての実数は正、負、またはゼロのいずれかであると述べている。[ 1 ]
より一般的に言えば、集合X上の二項関係R は、 Xのすべてのxとyに対して、xRy、yRx、x = yのうちちょうど 1 つだけが成り立つ場合、三項関係である。Rを< と表記すると、形式論理では次のように表される。
この定義によれば、三分割法則は、< が実数の集合上の三分割関係であることを述べています。言い換えれば、xとyが実数である場合、次の 1 つだけが真でなければなりません: x < y、x = y、y < x。
数の集合Xに関する三分割法則は、通常、 X上の暗黙的に与えられた順序関係が三分割関係であることを表します。例として、「任意の実数xとyに対して、 x < y、y < x、またはx = yのいずれか 1 つだけが成り立つ」という法則があります。（一部の著者は、加算のために実数の線形順序群構造に依拠して、 y をゼロに固定しています。）
古典論理では、この三分割公理は実数間の通常の比較に成り立ち、したがって整数間および有理数間の比較にも成り立つ。しかし、直観主義論理では、この法則は一般には成り立たない。
ツェルメロ・フレンケル集合論とベルネイズ集合論では、三分割法則は整列可能な集合の基数に対して成り立つが、必ずしもすべての基数に対して成り立つとは限らない。選択公理が成り立つ場合、任意の基数の間で三分割法則が成り立つ（その場合、それらはすべて整列可能であるため）。 [ 4 ]
![{\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d5452ff0b5decba77dbc02d05ee38c55f2d86)