PG(3,2)

有限幾何学において、PG(3, 2)は最小の3次元射影空間である。これはファノ平面PG(2, 2)の拡張と考えることができる。

15個の点、35本の線、15個の平面があります。各点は7本の線と7つの平面に含まれています。各線は3つの平面に含まれ、3つの点を含んでいます。各平面は7つの点と7本の線を含んでいます。^{[ 1 ]}

これらは、対角線上に点、線、平面を数えるランク3の構成行列で要約できます。非対角線上には、関連性が表されます。構造は自己双対であり、点と平面を入れ替えることで、構成行列を180度回転させることで表現されます。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}15&7&7\\3&35&3\\7&7&15\end{matrix}}\right]}$

以下の特性があります: ^{[ 2 ]}

• それぞれの平面はファノ平面と同型である。
• 異なる平面のペアはすべて直線で交わる。
• 直線と、その直線を含まない平面は、ちょうど一点で交わる。

PG(3, 2)には 20160 個の自己同型写像​​があります。自己同型写像​​の数は、同一平面上にない 4 つの点を選択する方法の数を求めることで得られます。これは (2 ⁴ -1)( 2 ⁴ -2)(2 ⁴ -2 ² )(2 ⁴ -2 ³ )/(2-1) = 15⋅14⋅12⋅8 となります。

15 枚の平面は、ブロック設計の差分セット(0,1,2,4,5,8,10)によって生成できます。35 本の線は、それぞれ 3 つの点を含む平面点のペアワイズ交点によって生成できます。^{[ 3 ]}

PG(3, 2)は、カークマンの女子生徒問題のいくつかの解の背景として現れます。この問題の 7 つの非同型解のうち 2 つは、ファノ 3 空間の構造として埋め込むことができます。特に、PG(3, 2)のスプレッドは、点を互いに素な線に分割したもので、カークマンの女子生徒問題の 1 日における女子生徒 (点) を互いに素な行 (スプレッドの線) に配置することに対応します。5 本の線からなる 56 種類の異なるスプレッドがあります。PG (3, 2)のパッキングは、35 本の線を 5 本の線からなる 7 つの互いに素なスプレッドに分割したもので、7 日すべてに対する解に対応します。PG (3, 2)のパッキングは 240 種類あり、 PGL(4, 2) (空間の共線群)の作用により 120 個の共役類に分類されます。相関関係により、これら 2 つの共役類が入れ替わります。^{[ 7 ]}

PG( n , 2)は(GF(2)) ^{n +1 、つまり長さ}n +1のビット列と協調できることが知られています。したがって、 PG(3, 2)は4ビット列と協調できます。

さらに、点( a ₁、a ₂、a ₃、a ₄ )と( b ₁、b ₂、b ₃、b ₄ )を結ぶ線には_、自然にプリュッカー座標( p ₁₂、p ₁₃、p ₁₄、 p 23 、p ₂₄、p ₃₄ )を割り当てることができ_、ここでp _ij = a i _b j − _a j _b iであり、線座標はp ₁₂ p ₃₄ + p ₁₃ p ₂₄ + p ₁₄ p ₂₃ = 0を満たします。したがって、射影 3 空間の各線は 6 つの座標を持ち、射影 5 空間の点として表すことができます。これらの点は、表面p ₁₂ p ₃₄ + p ₁₃ p ₂₄ + p ₁₄ p ₂₃ = 0上にあります。

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