元のスカラー場を使用して勾配場を通る線積分を評価する
勾配定理は、 線積分に関する微積分学の基本定理 としても知られ 、 勾配場 を通る 線積分は、 曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できると述べています。この定理は、実数直線だけでなく、平面または空間 (一般に n 次元) 内の任意の曲線に微積分学の第 2 基本定理を一般化 し た
もの です 。
φ : U ⊆ R n → R が微分可能関数 であり 、 γが 点 p から点 qまで U 内の 微分可能 曲線である 場合 、
∫
γ
∇
φ
(
r
)
⋅
d
r
=
φ
(
q
)
−
φ
(
p
)
{\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}
ここで ∇ φ は φ の勾配ベクトル場を表します 。
勾配定理は、勾配場を通る線積分が 経路に依存しないことを意味します。物理学では、この定理は 保存 力 を定義する方法の 1 つです。 φ を ポテンシャルと すると、 ∇ φ は 保存力場 になります 。保存力によって行われる 仕事は 、上記の式が示すように、物体がたどる経路ではなく、終点のみに依存します。
勾配定理には興味深い逆もあります。経路に依存しないベクトル場は、スカラー場 の勾配として表現できます 。勾配定理自体と同様に、この逆も純粋数学と応用数学の両方で多くの驚くべき結果と応用をもたらします。
証拠 φ が 何らかの 開集合 U ⊆ R n からR への 微分可能関数 であり 、 r が何らかの閉区間 [ a , b ]から U への 微分可能関数である 場合 ( r は 区間の端点 a と b で微分可能であることに注意してください。これを行うには、 r は [ a , b ]よりも大きく、 [ a , b ]を含む区間上で定義されます)、 多変量連鎖律 により 、 合成関数 φ ∘ r は [ a , b ] 上で微分可能です 。
d
d
t
(
φ
∘
r
)
(
t
)
=
∇
φ
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
[ a , b ] 内のすべての t について 。ここで ⋅は 通常の内積 を表します 。
ここで、 φ の 領域 U に、端点が p と q である微分可能曲線 γ が 含まれているとします。(これは p から q の 方向に 向いています ) 。r が t について [ a , b ] で γ を パラメータ化する と(つまり、 r が γ を t の関数として 表すと )、
∫
γ
∇
φ
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
∇
φ
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
d
t
φ
(
r
(
t
)
)
d
t
=
φ
(
r
(
b
)
)
−
φ
(
r
(
a
)
)
=
φ
(
q
)
−
φ
(
p
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}
ここで、最初の等式では 線積分の定義 が使用され、2番目の等式では上記の式が使用され、 3番目の等式では 微積分の第二基本定理 が使用されています。 [1]
これまで勾配定理（ 線積分の基本定理 とも呼ばれる）は微分可能な（そのため滑らかに見える）曲線に対して証明されてきたが、この曲線は複数の微分可能な曲線を結合して作られているため、この曲線の証明は微分可能な曲線の成分ごとに行われるため、この定理は区分的に滑らかな曲線に対しても証明されている。 [2]
例
例1 γ ⊂ R 2 が(5, 0)から (−4, 3) まで 反時計回りに向いた円弧である とする 。 線積分の定義 を用いると、
∫
γ
y
d
x
+
x
d
y
=
∫
0
π
−
tan
−
1
(
3
4
)
(
(
5
sin
t
)
(
−
5
sin
t
)
+
(
5
cos
t
)
(
5
cos
t
)
)
d
t
=
∫
0
π
−
tan
−
1
(
3
4
)
25
(
−
sin
2
t
+
cos
2
t
)
d
t
=
∫
0
π
−
tan
−
1
(
3
4
)
25
cos
(
2
t
)
d
t
=
25
2
sin
(
2
t
)
|
0
π
−
tan
−
1
(
3
4
)
=
25
2
sin
(
2
π
−
2
tan
−
1
(
3
4
)
)
=
−
25
2
sin
(
2
tan
−
1
(
3
4
)
)
=
−
25
(
3
/
4
)
(
3
/
4
)
2
+
1
=
−
12.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}
この結果は、関数が勾配 を持つ ことに気づくことで、より簡単に得ることができます 。勾配定理により、
f
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle f(x,y)=xy}
∇
f
(
x
,
y
)
=
(
y
,
x
)
{\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}
∫
γ
y
d
x
+
x
d
y
=
∫
γ
∇
(
x
y
)
⋅
(
d
x
,
d
y
)
=
x
y
|
(
5
,
0
)
(
−
4
,
3
)
=
−
4
⋅
3
−
5
⋅
0
=
−
12.
{\displaystyle \int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}
例2 より抽象的な例として、 γ ⊂ R n が 端点 p 、 q を 持ち、 pから q へ 向かう向きで ある とする。R n 内の u について、 | u | は u の ユークリッドノルム を表すものとする 。α ≥ 1 が実数であれば、
∫
γ
|
x
|
α
−
1
x
⋅
d
x
=
1
α
+
1
∫
γ
(
α
+
1
)
|
x
|
(
α
+
1
)
−
2
x
⋅
d
x
=
1
α
+
1
∫
γ
∇
|
x
|
α
+
1
⋅
d
x
=
|
q
|
α
+
1
−
|
p
|
α
+
1
α
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}
ここで、関数 f ( x ) = | x | α +1 は α ≥ 1 であれば R n 上で微分可能であるため、最終的な等式は勾配定理に従います 。
α < 1 の場合でも 、ほとんどの場合この等式は成立しますが、 γ が 原点を通過するか原点を囲む場合は、積分関数ベクトル場 | x | α − 1 x が定義されないため注意が必要です。ただし、 α = −1 の場合は多少異なります。この場合は、積分関数は | x | −2 x = ∇(log | x |) となり、最終的な等式は log | q | − log | p | となります。
n = 1 の場合、この例は単変数微積分学で
よく知られている べき乗則 の単なるわずかな変形であること に注意してください。
例3 3次元空間に n個の 点電荷 が配置されており、 i 番目の点電荷が 電荷 Q i を持ち、 R 3 内の位置 p i にあるとします。電荷 q の粒子が R 3 内の 点 a から点 b まで移動するときに行われる仕事を 計算します 。 クーロンの法則を使用すると、位置 r の粒子にかかる 力
が 次の式で簡単に求められます。
F
(
r
)
=
k
q
∑
i
=
1
n
Q
i
(
r
−
p
i
)
|
r
−
p
i
|
3
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}
ここで、 | u | は R 3 における ベクトル u のユークリッドノルム を表し 、 k = 1/(4 πε 0 ) であり、 ε 0 は 真空の誘電率 です 。
γ ⊂ R 3 − { p 1 , ..., p n }を aから b へ の任意の微分可能曲線と する 。このとき粒子になされる仕事は
W
=
∫
γ
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
γ
(
k
q
∑
i
=
1
n
Q
i
(
r
−
p
i
)
|
r
−
p
i
|
3
)
⋅
d
r
=
k
q
∑
i
=
1
n
(
Q
i
∫
γ
r
−
p
i
|
r
−
p
i
|
3
⋅
d
r
)
{\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}
さて、各 i について直接計算すると、
r
−
p
i
|
r
−
p
i
|
3
=
−
∇
1
|
r
−
p
i
|
.
{\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}
したがって、上記から続けて勾配定理を用いると、
W
=
−
k
q
∑
i
=
1
n
(
Q
i
∫
γ
∇
1
|
r
−
p
i
|
⋅
d
r
)
=
k
q
∑
i
=
1
n
Q
i
(
1
|
a
−
p
i
|
−
1
|
b
−
p
i
|
)
{\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}
これで終わりです。もちろん、 静電ポテンシャル または 静電ポテンシャル エネルギー (おなじみの式 W = −Δ U = − q Δ V ) という強力な言語を使用して、この計算を簡単に完了することもできます。ただし、ポテンシャルまたはポテンシャル エネルギーはまだ 定義されて いません。これは、これらが明確に定義された微分可能な関数であり、これらの式が成り立つことを証明するには、勾配定理の 逆 が必要であるためです (以下を参照)。したがって、この問題は、クーロンの法則、仕事の定義、および勾配定理のみを使用して解決しました。
勾配定理の逆 勾配定理は、ベクトル場 F が 何らかのスカラー値関数の勾配である場合（つまり、 F が 保存的 である場合）、 F は経路に依存しないベクトル場である（つまり、何らかの区分的に微分可能な曲線上の F の積分は 端点のみに依存する）ことを述べています。この定理には強力な逆定理があります。
定理 — Fが 経路独立なベクトル場である 場合、 Fは あるスカラー値関数の勾配である。 [3]
ベクトル場が経路独立であるのは、その定義域内のすべての閉ループにわたるベクトル場の積分がゼロである場合のみである、ということは簡単に示せます。したがって、逆は次のようにも言えます。F の定義域内のすべての閉ループにわたる F の積分がゼロである場合 、 F は 何らかの スカラー 値関数の勾配です。
逆の証明 U が R n の 開いた パス連結 部分集合 であり 、 F : U → R n が 連続 かつパスに依存しないベクトル場 であると します。 U の何らかの要素 a を 固定し、 f : U → R を次のように定義します。ここ で γ [ a , x ]は、 a を起点として x で終わる U 内の任意の（微分可能な）曲線です。 F は パスに依存しないため、 f は 適切に定義されていること が わかります 。
f
(
x
)
:=
∫
γ
[
a
,
x
]
F
(
u
)
⋅
d
u
{\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }
v を R n 内の任意の非ゼロベクトルとします 。 方向微分 の定義により 、 最終極限内で積分を計算するには、 γ [ x , x + t v ] をパラメータ化する必要があります。 F は経路独立、 U は開、 t は ゼロに近づいているため 、この経路は直線であると仮定し、 0 < s < t に対して u ( s ) = x + s v とパラメータ化できます。ここで、 u' ( s ) = v であるため、極限は 次のようになります。ここで、最初の等式は、 t = 0で積分が 0 に等しいという事実を伴う 微分の定義 から得られ、2 番目の等式は、 微積分学の第一基本定理から得られます。したがって、 ∂ v f の式が得られます( 方向微分を 表す方法の 1 つ )。ここで、 v は任意です。 （上記の完全な定義 を参照）、 v に関する方向微分は、 最初の 2 つの等式が方向微分の異なる表現を示しているだけです。スカラー関数 f の勾配の定義によれば 、 この よう に して 、勾配が経路独立ベクトル場 F である（つまり、 F は保存ベクトル場である）スカラー値関数 f が 求められました。 [3]
∂
f
(
x
)
∂
v
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
v
)
−
f
(
x
)
t
=
lim
t
→
0
∫
γ
[
a
,
x
+
t
v
]
F
(
u
)
⋅
d
u
−
∫
γ
[
a
,
x
]
F
(
u
)
⋅
d
u
t
=
lim
t
→
0
1
t
∫
γ
[
x
,
x
+
t
v
]
F
(
u
)
⋅
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}
lim
t
→
0
1
t
∫
0
t
F
(
u
(
s
)
)
⋅
u
′
(
s
)
d
s
=
d
d
t
∫
0
t
F
(
x
+
s
v
)
⋅
v
d
s
|
t
=
0
=
F
(
x
)
⋅
v
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }
f
(
x
)
:=
∫
γ
[
a
,
x
]
F
(
u
)
⋅
d
u
{\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }
∂
f
(
x
)
∂
v
=
∂
v
f
(
x
)
=
D
v
f
(
x
)
=
F
(
x
)
⋅
v
{\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }
∇
f
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )}
逆原理の例 この逆原理の威力を説明するために、重要な物理的 影響を持つ例を挙げます 。 古典的電磁気学 では、 電気力は 経路に依存しない力です。つまり、 電界 内で元の位置に戻った粒子に行われた 仕事はゼロです (変化する 磁界 が存在しないと仮定 )。
したがって、上記の定理は、電気 力場 F e : S → R 3 が保存的であることを意味します（ここで S は 電荷 分布を含む R 3 の 開いた パス 接続された 部分集合です ）。上記の証明の考え方に従って、 S にある参照点 a を 設定し、関数 U e : S → R を 次のように
定義できます。
U
e
(
r
)
:=
−
∫
γ
[
a
,
r
]
F
e
(
u
)
⋅
d
u
{\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }
上記の証明を用いると、 U e は 明確に定義され、微分可能であり、 F e = −∇ U e であることがわかります（この式から、勾配定理を使用して、保存力によって行われた仕事の計算のためのよく知られた式、 W = −Δ U を 簡単に導くことができます）。この関数 U e は 、 S 内の電荷システムの 静電ポテンシャルエネルギー と呼ばれることがよくあります （ポテンシャルゼロ a を基準として）。多くの場合、ドメイン S は 無制限 であると想定され 、参照点 a は 「無限大」とみなされますが、これは制限技術を用いて厳密に することができます 。この関数 U e は、 多くの物理システムの分析に使用される不可欠なツールです。
一般化 ベクトル解析の重要な定理の多くは、 多様体 上の 微分形式の積分に関する記述に巧みに一般化される。 微分形式 と 外微分 の言葉で言えば 、勾配定理は次のように述べている。
∫
∂
γ
ϕ
=
∫
γ
d
ϕ
{\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }
任意の0 形式 ϕ に対して 、 ある微分可能曲線 γ ⊂ R n 上で定義されます (ここで、 ϕ のγ の境界上の 積分は、 ϕ のγ の端点における 評価であると理解されます )。
この記述と一般化されたストークスの定理 との驚くべき類似性に注目してください 。一般化されたストークスの定理は、ある 向き付け可能な 多様体 Ω の 境界 上での 任意のコンパクトに支えられた 微分形式 ωの積分は、その 外導関数 d ω のΩ 全体上で の積分に等しい 、つまり、
∫
∂
Ω
ω
=
∫
Ω
d
ω
{\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }
この強力なステートメントは、1 次元多様体上で定義された 1 形式から任意の次元の多様体上で定義された微分形式への勾配定理の一般化です。
勾配定理の逆の記述は、多様体上の微分形式に関しても強力な一般化を持っています。特に、 ω が 収縮可能な領域 上で定義された形式であり 、任意の閉多様体上の ωの積分がゼロであるとします。すると、 ω = d ψ となる 形式 ψ が 存在します。したがって、収縮可能な領域上では、すべての 閉形 式は 正確です。この結果は 、ポアンカレの補題 によって要約されます 。
参照
参考文献
^ Williamson, Richard および Trotter, Hale. (2004). 多変数数学、第 4 版、 p. 374. Pearson Education, Inc. ^ スチュワート、ジェームズ（2021）。「16.3 線積分の基本定理」。 微積分 （第9版）。Cengage Learning。pp. 1182–1185。ISBN 978-1-337-62418-3 。 ^ ab 「ウィリアムソン、リチャード、トロッター、ヘイル。（2004）。 多変数数学、第4版 、p。410。ピアソン教育社。」
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505054359476a4465d70c6f9b60fa763f7c12b2a)
![{\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm { d} \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c805a8f1433ad8eed3904fe6b0ca4266728ea3e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89a96d6facfd26cb08b40eb11c5ddd5d7eb5c54)
![{\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf { u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b23954ce1b0ea58ce87a6b7f1da7538c6ca224b)
