レムニスケート楕円関数

数学において、レムニスケート楕円関数（レムニスケートえんげんかん、英: lemniscate elliptic function）は、ベルヌーイのレムニスケートの弧の長さに関連する楕円関数である。1718年にジュリオ・ファニャーノによって初めて研究され、その後レオンハルト・オイラーやカール・フリードリヒ・ガウスらによって研究された。^[1]

レムニスケート正弦関数とレムニスケート余弦関数は、通常、記号slとclで表記されます（代わりにsinlemとcoslem、またはsin lemnとcos lemnの記号が使用されることもあります）^{[2] 。三角関数の}正弦関数と余弦関数に類似しています。三角関数の正弦関数は、単位直径の 円 の弧の長さと弦の長さを関連付けますが^[3]、レムニスケート正弦関数は、レムニスケートの弦の長さと弧の長さを関連付けます。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

レムニスケート関数の周期は、レムニスケート定数と呼ばれる数値2.622057...に関連しています。この数値は、レムニスケートの周囲と直径の比です。この数値は、円の周囲と直径の比( 2 次) 3.141592...の4 次類似です。 ${\displaystyle \varpi =}$${\displaystyle \pi =}$

複素関数として、slとclは基本周期^[4]を持つ正方 周期格子（ガウス整数の倍数）を持ち、その格子上の2つのヤコビ楕円関数の特別なケースである。 ${\displaystyle \{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},}$${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)}$

同様に、双曲レムニスケート正弦 slhと双曲レムニスケート余弦 clhは、基本周期を持つ正方周期格子を持つ。${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.}$

レムニスケート関数と双曲レムニスケート関数は、ワイエルシュトラスの楕円関数 に関連しています。 ${\displaystyle \wp (z;a,0)}$

レムニスケート関数slとclは初期値問題の解として定義できる：^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,}$

あるいは楕円積分の逆写像として、複素単位円から角のある正方形へのシュワルツ・クリストッフェル写像^[6]${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

その正方形を超えると、関数は一連の反射によって複素平面全体に解析的に接続できます。

比較すると、円正弦と円余弦は初期値問題の解として定義できます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,}$

または、上半平面から、実部が で虚部が正で ある半無限ストリップへの写像の逆として:${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}$

レムニスケート関数は最小実周期2 ϖ、最小虚周期2 ϖ i、基本複素周期を持ち、定数ϖに対してレムニスケート定数と呼ばれる^[7]${\displaystyle (1+i)\varpi }$${\displaystyle (1-i)\varpi }$

${\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots }$

レムニスケート関数は、次の関係式に類似した基本関係式を満たす。${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},}$${\displaystyle \cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.}$

レムニスケート定数ϖは円周率πと非常によく似ており、π を含む多くの恒等式にはϖ を含む類似式があり、三角関数を含む恒等式にはレムニスケート関数を含む類似式があるのと同じです。たとえば、πのビエトの公式は次のように書けます。

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

ϖの類似の式は次の通りである: ^[8]

$${\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

πのマチンの公式は、三角関数の角度の和の恒等式、例えばオイラーの公式などを使って、 πに関するいくつかの類似の公式を導出することができる。 ϖについても、ガウスによって発見された次の公式を含め、類似の公式を導出することができる: ^[9]${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}$

ガウスは、レムニスケート定数と円周定数が算術幾何平均 Mによって互いに関係していることを発見した。^[10]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}}$$

レムニスケート関数clとslはそれぞれ偶関数と奇関数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

の平行移動ではclとslが交換され、の平行移動ではさらに回転して往復する：^[12]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

これらを の単位ガウス整数倍（つまり、または）で変換すると、各関数が否定され、反転 になります。 ${\displaystyle \varpi }$${\displaystyle \pm \varpi }$${\displaystyle \pm i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

その結果、両関数は の偶数ガウス整数倍の移動に対して不変である。^[13]つまり、整数a、b、 kに対して の変位である。 ${\displaystyle \varpi }$${\displaystyle (a+bi)\varpi ,}$${\displaystyle a+b=2k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

これにより、これらは基本周期とからなる対角正方周期格子を持つ楕円関数（複素平面上の二重周期有理型関数）になります。^[14]正方周期格子を持つ楕円関数は、正方形の対称性に従い、任意の楕円関数よりも対称性があります。 ${\displaystyle (1+i)\varpi }$${\displaystyle (1-i)\varpi }$

レムニスケート関数の引数の反射と 1/4 回転には、簡単な式があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

sl関数は、整数aとbに対してϖのガウス整数倍、つまり形式の複素数で単純な零点を持ちます。また、留数を持つϖのガウス半整数倍、つまり形式の複素数で単純な極を持ちます。cl関数は、 sl関数から反転され、オフセットされます。引数に対して零点を持ち、留数 を持つ引数に対して極を持ちます。${\displaystyle a\varpi +b\varpi i}$${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i}$ ${\displaystyle (-1)^{a-b+1}i}$${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}$${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i}$${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,}$${\displaystyle (-1)^{a-b}i.}$

また

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi }$

一部の人にとっては ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.}$

最後の式は複素乗算の特殊なケースです。は任意のガウス整数ですが、についても同様の式が与えられます。この関数は による複素乗算を行います。^[15]${\displaystyle \operatorname {sl} ((n+mi)z)}$${\displaystyle n+mi}$${\displaystyle \operatorname {sl} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

slの零点と極の分布を反映する無限級数もある：^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.}$

レムニスケート関数はピタゴラスのような恒等式を満たします。

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1}$

その結果、パラメトリック方程式は4次曲線をパラメトリック化する。${\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.}$

この同一性は次のように書き直すこともできる: ^[18]

${\displaystyle {\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}}$

正接和演算子を次のように定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.}$

関数と は別のピタゴラス定理のような恒等式を満たします。 ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {cl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1.}$

派生商品は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

レムニスケート正弦とレムニスケート余弦の 2 次導関数は、負の 3 乗の重複です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z}$

レムニスケート関数は逆正接関数を使用して積分できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}}$

三角関数と同様に、レムニスケート関数は引数の和と差の恒等式を満たす。ファニャーノがレムニスケートの二等分に使用した元の恒等式は次の通りである。^[19]

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}}$

微分恒等式とピタゴラスの恒等式は、 slとclに関してファガノが使用した恒等式を再構成するために使用できます。接線和演算子と接線差演算子を定義すると、引数和と差の恒等式は次のように表すことができます。^[20]${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)}$${\displaystyle a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}}$

これらは三角関数の類似物に似ています:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}}$

特に、実数成分の複素数値関数を計算するには、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}}$

ガウスは

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}}$

ここで、両辺は明確に定義されます。 ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

また

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}}$

ここで、両辺が明確に定義されている。これは三角関数の類似物に似ている。 ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.}$

二分法の公式:

${\displaystyle \operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

複製式: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}}$

三倍公式: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}}$

の分子と分母の係数の「逆対称性」に注目してください。この現象は、とが奇数のときの乗算式で観察できます。^[15]${\displaystyle \operatorname {sl} 3x}$${\displaystyle \operatorname {sl} \beta x}$${\displaystyle \beta =m+ni}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle m+n}$

格子とする${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .}$

さらに、、、、（ただし）、が奇数、が奇数、およびとします。すると ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \beta =m+in}$${\displaystyle \gamma =m'+in'}$${\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle m'+n'}$${\displaystyle \gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)}$${\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}$

${\displaystyle M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}}$

いくつかの互いに素な多項式 といくつかの^[22]については、 ${\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$${\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)}$

そして

${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })}$

ここで、 は任意の-捩れ生成子です（つまり、および は-加群を生成します）。 -捩れ生成子の例としては、や などがあります。この多項式は- 次レムナトミック多項式と呼ばれます。これはモニックであり、 上で既約です。レムナトミック多項式は、円分多項式の「レムニスケート類似体」です。^[23]${\displaystyle \delta _{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta _{\beta }\in (1/\beta )L}$${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L}$${\displaystyle (1/\beta )L/L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 2\varpi /\beta }$${\displaystyle (1+i)\varpi /\beta }$${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).}$

次の補題多項式はにおけるの最小多項式です。便宜上、 およびとします。したがって、たとえば における の(および の)最小多項式は、 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)}$${\displaystyle \operatorname {sl} \delta _{\beta }}$${\displaystyle K[x]}$${\displaystyle \omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )}$${\displaystyle \omega _{5}}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}}$${\displaystyle K[x]}$

${\displaystyle \Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,}$

そして^[24]

${\displaystyle \omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}}$^[25]

（同等の表現は下の表に示されている）。別の例は^{[23]である。}

${\displaystyle \Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i}$

これは（および）の最小多項式である。${\displaystyle \omega _{-1+2i}}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{-1+2i}}$${\displaystyle K[x].}$

が素数で、が正かつ奇数である場合、 ^[26]、^[27]${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)}$

これは円分法の類似物と比較することができる

${\displaystyle \operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

三角関数と同様に、レムニスケート関数の値は、基本的な算術と平方根のみを使用して、レムニスケートを等しい長さのn個の部分に分割して計算できます。ただし、 nは、 kが負でない整数であり、各p _i（存在する場合）が異なるフェルマー素数である形式である必要があります。^[28]${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ベルヌーイのレムニスケート曲線は、中心から最も遠い点までの距離が単位（つまり、幅の半分）であり、レムニスケート楕円関数の理論において不可欠です。少なくとも 3 つの方法で 特徴付けることができます。

角度の特徴付け:単位距離離れた2点とが与えられ、 をについての鏡映とする。すると は、が直角となるような点の軌跡の閉包である。^[29]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle |APB-APB'|}$

焦点特性: は、2 つの焦点からの距離の積が定数となるような平面上の点の軌跡です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}}$${\displaystyle F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

明示的な座標特性: 極座標方程式または直交座標方程式を満たす4次曲線である${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta }$${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

の周囲はである。^[30]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle 2\varpi }$

原点から の距離にある 上の点は、円と双曲線の交点です。正の象限の交点は、直交座標を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

このパラメータ化をの4分の1に適用すると、原点から点までの弧の長さは次のようになる: ^[31]${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

同様に、からまでの弧の長さは次のようになります。 ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

または、逆方向では、レムニスケート正弦関数と余弦関数は、それぞれ原点と点からの弧の長さの関数として原点からの距離を与えます。 ${\displaystyle (1,0)}$

同様に、円の正弦関数と余弦関数は、上記と同じ議論をパラメータ化して 極座標方程式または直交座標方程式で単位直径円の弦の長さと弧の長さを関連付けます。${\displaystyle r=\cos \theta }$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

あるいは、単位円が 点から の弧の長さによってパラメータ化されるのと同様に、${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$^は[32]によって点からの弧の長さでパラメータ化される。${\displaystyle s}$${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).}$

この表記法はこの記事の目的のためだけに使用され、参考文献では一般的なヤコビ楕円関数の表記法が代わりに使用されます。 ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}}$

レムニスケート積分とレムニスケート関数は、1718年にファグナーノによって発見された引数重複恒等式を満たす：^[33]

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}$

後の数学者たちはこの結果を一般化した。円内の作図可能な多角形と同様に、レムニスケートは定規とコンパスだけを使ってn個の等しい弧の長さの部分に分割できるが、その条件はn がの形である場合である。ここでk は非負の整数で、各p _i (もしあれば) は別個のフェルマー素数である。^{[34]この定理の「もし」の部分は 1827 年から 1828 年に}ニールス・アーベルによって証明され、「もし」の部分は1981 年にマイケル・ローゼンによって証明された。 ^[35]同様に、レムニスケートは定規とコンパスだけを使ってn個の等しい弧の長さの部分に分割できるが、その条件はが 2 の累乗である場合である(ここではオイラーのトーティエント関数)。レムニスケートは既に描かれているとは想定されない。それは定規とコンパスによる作図の規則に反するからである。代わりに、レムニスケートを定義する 2 つの点、つまり、中心と放射状の点 (レムニスケート上の 2 つの点のうち、中心からの距離が最大となる点) または 2 つの焦点のみが与えられていると想定されます。 ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \varphi }$

とする。すると、のn分割点は、点 ${\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

ここで、 は床関数です。 の具体的な値については以下を参照してください。 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\displaystyle \operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}}$

逆レムニスケート正弦曲線は、長方形のエラスティカのx座標に対する弧の長さsも表します。^[36]この曲線のy座標と弧の長さは次のとおりです。

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

長方形のエラスティカは、1691 年にヤコブ・ベルヌーイが提起した問題を解決します。この問題は、下端が垂直方向に固定され、遠端から重りで引っ張られて水平に曲がった理想的な柔軟な棒の形状を記述するというものです。ベルヌーイが提案した解決策により、オイラー・ベルヌーイの梁の理論が確立され、18 世紀にオイラーによってさらに発展させられました。

を第1象限の楕円上の点とし、を単位円上の投影とします。原点と点の間の距離は（の角度、つまり円弧の長さ）の関数です。パラメータは次のように与えられます 。${\displaystyle C}$${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=1}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle BAC}$${\displaystyle B=(1,0)}$${\displaystyle BD}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.}$

がx軸上のの射影であり、がx軸上の の射影である場合、レムニスケート楕円関数は次のように表される。${\displaystyle E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.}$

原点におけるレムニスケート正弦のべき級数展開は[ 37 ^]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

ここで係数は次のように決定されます。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,}$

${\displaystyle a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}}$

ここで、は の3項合成すべてを表します。たとえば、 を評価する場合、 の合成のうち、和にゼロ以外の寄与を与えるものは6つしかないことがわかります。またなので、 ${\displaystyle i+j+k=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{13}}$${\displaystyle 13-2=11}$${\displaystyle 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9}$${\displaystyle 11=5+5+1=5+1+5=1+5+5}$

${\displaystyle a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.}$

この展開は次のようにも書ける^[38]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

どこ

${\displaystyle p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.}$

原点における のべき級数展開は${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

ここで、が偶数であり、^[39]${\displaystyle \alpha _{n}=0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}}$

が奇数の場合。 ${\displaystyle n}$

この展開は次のようにも書ける^[40]

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

どこ

${\displaystyle s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,}$

${\displaystyle t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.}$

レムニスケート余弦については、^[41]

${\displaystyle \operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

どこ

${\displaystyle r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,}$

${\displaystyle q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.}$

ラマヌジャンの有名なcos/coshの等式によれば、

${\displaystyle R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},}$

その後^[39]

${\displaystyle R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

レムニスケート関数と の間には密接な関係がある。実際、^{[39] [42]}${\displaystyle R(s)}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

そして

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

賛成：^[43]${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}}$

いくつかの計算方法では、まず変数を変更し、次に計算を行います。${\displaystyle \operatorname {sl} x}$${\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}}$${\displaystyle \operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).}$

双曲級数法: ^{[46] [47]}

${\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C} }$

フーリエ級数法: ^[48]

${\displaystyle \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

レムニスケート関数は次のようにしてより高速に計算できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}}$

はヤコビのシータ関数である。^[49]

レムニスケート正弦の対数のフーリエ級数:

${\displaystyle \ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

ラマヌジャンによって以下の級数等式が発見された：^[50]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

${\displaystyle \arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

単位円上の関数およびに類似した関数には、次のようなフーリエ級数展開と双曲級数展開がある: ^{[39] [42] [51]}${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

以下の恒等式はシータ関数の積表現から得られる: ^[52]

${\displaystyle \mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

関数を含む同様の式を与えることができる。^[53]${\displaystyle \operatorname {sn} }$

レムニスケート正弦は複素平面全体における有理型関数であるため、関数全体の比として表すことができます。ガウスは、 slが零点と極の分布を反映して次の積展開を持つことを示しました。^[54]

${\displaystyle \operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}}$

どこ

${\displaystyle M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).}$

ここで、およびはそれぞれ、象限にあるslの零点と極を表します。証明はにあります。^{[54] [55]重要なのは、}一様収束の結果として、無限積は、その項を乗算できるすべての可能な次数に対して同じ値に収束することです。^[56]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0}$

ガウスは（後にこれが真実であることが判明した）と推測し、「これは非常に注目すべきことであり、この性質の証明は解析学の最も重大な進歩を約束する」とコメントした。 ^[57]ガウスは、との積を無限級数として展開した（下記参照）。また、関数と を含むいくつかの恒等式を発見した。 ${\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]}$

そして

${\displaystyle N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.}$

分割極限に関するある定理^[58]のおかげで、無限積を掛け合わせて の同類のべき乗を集めることができる。そうすることで、複素平面上のどこでも収束する次のべき級数展開が得られる: ^{[59] [60] [61] [62] [63]}${\displaystyle z}$

${\displaystyle M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

これは、有限の収束半径しか持たない（完全ではないため） の冪級数とは対照的です。${\displaystyle \operatorname {sl} }$

我々は定義し 、${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).}$

レムニスケート余弦は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}}$

ここで^[64]

${\displaystyle S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

さらに、アイデンティティ

${\displaystyle M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),}$

${\displaystyle S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},}$

${\displaystyle T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}}$

ピタゴラスのような恒等式

${\displaystyle M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},}$

${\displaystyle M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}}$

すべてを保持します。 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

準加法公式

${\displaystyle M(z+w)M(z-w)=M(z)^{2}N(w)^{2}-N(z)^{2}M(w)^{2},}$

${\displaystyle N(z+w)N(z-w)=N(z)^{2}N(w)^{2}+M(z)^{2}M(w)^{2}}$

（ここで）は再帰によるおよびのさらなる乗算公式を意味する。^[65]${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

ガウスの方程式は次の微分方程式系を満たします。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle M(z)M''(z)=M'(z)^{2}-N(z)^{2},}$

${\displaystyle N(z)N''(z)=N'(z)^{2}+M(z)^{2}}$

ここで、との両方は微分方程式を満たす^[66]${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle X(z)X''''(z)=4X'(z)X'''(z)-3X''(z)^{2}+2X(z)^{2},\quad z\in \mathbb {C} .}$

これらの関数は、楕円関数を含む積分によっても表すことができます。

${\displaystyle M(z)=z\exp \left(-\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\left({\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}v}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right),}$

${\displaystyle N(z)=\exp \left(\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\operatorname {sl} ^{2}v\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right)}$

ここで、輪郭は極を横切りません。最も内側の積分は経路独立ですが、最も外側の積分は経路依存です。ただし、経路依存性は複素指数関数の非単射性によって打ち消されます。

レムニスケート関数を全関数の比として表す別の方法として、シータ関数（レムニスケート楕円関数 § 計算方法を参照）を使用する方法がある。との関係は ${\displaystyle M,N}$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{3}}$

${\displaystyle M(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{1}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right),}$

${\displaystyle N(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{3}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right)}$

どこ。 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

レムニスケート関数は、不変量g ₂ = 1およびg ₃ = 0を持つワイエルシュトラスの楕円関数 （「レムニスケートの場合」）と密接に関連しています。この格子は、基本周期とを持ちます。ワイエルシュトラス関数の関連定数は次のとおりです。${\displaystyle \wp (z;1,0)}$${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,}$${\displaystyle \omega _{2}=i\omega _{1}}$${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.}$

g ₂ = a、g ₃ = 0のワイエルシュトラスの楕円関数の関連ケースは、スケーリング変換によって処理できる。ただし、これには複素数が含まれる可能性がある。実数の範囲内にとどめたい場合は、a > 0とa < 0の2つのケースを考慮する必要がある。周期平行四辺形は、正方形または菱形のいずれかである。ワイエルシュトラスの楕円関数は、「擬似レムニスカティックケース」と呼ばれる。^[67]${\displaystyle \wp (z;-1,0)}$

レムニスケート正弦の2乗は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}}$

ここで、の2番目と3番目の引数は格子不変量g ₂とg ₃を表す。レムニスケート正弦はワイエルシュトラスの楕円関数とその導関数における有理関数である: ^[68]${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.}$

レムニスケート関数は、ヤコビの楕円関数で表すこともできる。正の実楕円係数を持つヤコビの楕円関数と は、実軸と虚軸に揃った「直立」長方形格子を持つ。あるいは、係数i を持つ関数と（係数 を持つ関数と）は、1/8 回転した正方周期格子を持つ。^{[69] [70]}${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \operatorname {cd} }$${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \operatorname {cd} }$${\displaystyle \operatorname {sd} }$${\displaystyle \operatorname {cn} }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

ここで、2番目の引数は楕円係数を表します。 ${\displaystyle k}$

関数と関数は、ヤコビの楕円関数で表現することもできます。 ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).}$

レムニスケート正弦は、モジュラーラムダ関数の値の計算に使用できます。

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}={\tan }{\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}}$

レムニスケート正弦の逆関数はレムニスケート逆正弦であり、次のように定義される^[71]。

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

これは超幾何関数でも表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}{\bigr )}}$

これは二項級数を使うと簡単にわかります。

レムニスケート余弦の逆関数はレムニスケート逆余弦です。この関数は次の式で定義されます。

${\displaystyle \operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x}$

区間xに対して、​${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x}$${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x}$

レムニスケートの弧の長さを半分にするには、次の式が有効です: ^[要出典]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}}$

さらに、いわゆる双曲レムニスケート面積関数が存在する: ^[要出典]

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\arctan x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\operatorname {arccot} x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}\right)}$

レムニスケート逆正弦とレムニスケート逆余弦は、ルジャンドル形式でも表すことができます。

これらの関数は、第一種不完全楕円積分を使って直接表示することができます。 ^[要出典]

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)}$

レムニスケートの弧の長さは、楕円の弧の長さ（第2種の楕円積分で計算）のみを使って表現することもできます。^[要出典]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}}$

レムニスケートアークコサインは次の式で表される: ^[要出典]

${\displaystyle \operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

レムニスケートアークサインは、多くの関数を積分するために使用できます。重要な積分のリストを以下に示します (積分定数は省略されています)。

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x}$

便宜上、をの「正方形」類似体とします（下記参照）。 の十進展開（すなわち^[72]）は、ラマヌジャンの2番目のノートの第11章の34e項に登場します。^[73]${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2}}\varpi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 3.7081\ldots }$

双曲レムニスケート正弦（slh）と余弦（clh）は、次のように楕円積分の逆関数として定義できます。

${\displaystyle z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}}$

ここで、は、角が の正方形内にあります。その正方形を超えると、関数は複素平面全体の有理型関数に解析的に接続できます。 ${\displaystyle (*)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}}$

完全積分の値は次のようになります。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots }$

したがって、定義された 2 つの関数は互いに次の関係を持ちます。

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}}$

双曲レムニスケート正弦と双曲レムニスケート余弦の積は 1 に等しくなります。

${\displaystyle \operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1}$

関数と は、基本周期 を持つ正方周期格子を持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {slh} }$${\displaystyle \operatorname {clh} }$${\displaystyle \{\sigma ,\sigma i\}}$

双曲レムニスケート関数は、レムニスケート正弦関数とレムニスケート余弦関数で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}}$

しかし、楕円係数が 1/2 の平方根である ヤコビの楕円関数にも関係があります。

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

双曲レムニスケート正弦は、レムニスケート正弦と次のような虚数関係を持ちます。

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}}$

これは双曲線正弦と三角正弦の関係に似ています。

${\displaystyle \sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}}$

この画像は、標準化された 4 次超楕円フェルマーのスクエアクル曲線を示しています。

4 次フェルマー曲線 (スクワルクルと呼ばれることもある) では、双曲レムニスケート正弦と余弦は単位円(2 次フェルマー曲線) の接線と余弦関数に類似している。原点と曲線上の点が直線Lで結ばれている場合、この直線と x 軸の間の囲まれた領域の 2 倍の双曲レムニスケート正弦は、直線Lと直線の交点の y 座標である。^[74]円 で囲まれた領域が であるのと同様に、スクワルクル で囲まれた領域はである。さらに、 ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}}$

ここで、 は算術幾何平均です。 ${\displaystyle M}$

双曲レムニスケート正弦は引数の加算恒等式を満たします。

${\displaystyle \operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}}$

が実数の場合、 と の導関数と元の不定積分は次のように表すことができます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {slh} }$${\displaystyle \operatorname {clh} }$

さらに、双曲レムニスケート正接関数と双曲レムニスケート共接関数もあります。

関数 tlh と ctlh は、前述の微分方程式で記述されている恒等式を満たします。

${\displaystyle {\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

関数の指定 sl はレムニスカティック正弦を表し、指定 cl はレムニスカティック余弦を表します。さらに、ヤコビの楕円関数との関係は有効です。

${\displaystyle {\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

が実数の場合、 と の微分と 1/4 周期積分は次のように表すことができます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {tlh} }$${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

この超楕円の水平座標と垂直座標は囲まれた面積の 2 倍 w = 2A に依存するため、次の条件を満たす必要があります。

${\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}}$

${\displaystyle x(w=0)=1}$

${\displaystyle y(w=0)=0}$

この連立方程式の解は次のとおりです。

${\displaystyle x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

${\displaystyle y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

したがって、商には次の式が適用されます。

${\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)}$

関数 x(w) と y(w) は、コタンジェント、ハイパボリック レムニスカトゥス、ハイパボリック タンジェントと呼ばれます。

${\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)}$

${\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)}$

このスケッチは、Areasinus 双曲的 lemniscatus 関数の導出が、4 乗関数の次の関数の平方根の逆数に等しいという事実も示しています。

右に示すスケッチには黒い対角線があります。この黒い対角線と赤い垂直軸の交点から点 (1|0) まで垂直に走る線分の長さを s と呼びます。また、座標原点からこの対角線とスーパー楕円のシアンの曲線との交点までの黒い対角線のセクションの長さは、slh 値に応じて次の値になります。

${\displaystyle D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}$

この関係はピタゴラスの定理によって説明されます。

類似の単位円は、記述された面積割り当てを持つ三角関数の円の逆正接になります。

これには次の導出が適用されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}$

面積の導出を決定するために、超楕円と単位円の同じ対角線上の極小三角形の面積の比較を以下のように設定します。極小三角形の面積の合計が面積の大きさを表すためです。図の超楕円の場合、関係する面積の半分が緑色で示されています。座標の原点における同じ極小角度を持つ三角形の長さに対する面積の二乗比のため、次の式が適用されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}}$

示されている図では、双曲面の接線面積は、対角線と曲線の交点の高さを緑色の面積の 2 倍に割り当てます。緑色の面積自体は、スーパー楕円関数の 0 から関連する高さの値までの差分積分から隣接する三角形の面積を引いた値として作成されます。

${\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}}$

次の変換が適用されます。

${\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}}$

したがって、連鎖律によれば、この導出は成り立ちます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}}$

このリストは、 双曲レムニスケート正弦の値を正確に示しています。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots }$

一方、以下の値、例えば は 三角関数の に類似しています。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},}$${\displaystyle {\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1}$${\displaystyle {\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

この表は、双曲レムニスケート正接関数と双曲レムニスケート余接関数の最も重要な値を示しています。

双曲レムニスケート正接（）と双曲レムニスケート余接（ ）が与えられます。逆関数のセクションで説明 した双曲レムニスケート面積関数を思い出してください。${\displaystyle \operatorname {tlh} }$${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y}$

すると、次のアイデンティティが確立されます。

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

したがって、これらの引数の 4 乗は1 に等しくなります。 ${\displaystyle \operatorname {tlh} }$${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}^{4}=1}$

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}=1}$

つまり、ピタゴラスの定理の 4 乗バージョンです。双曲正弦定理の二分定理は次のようになります。

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}}$

この式は、次の 2 つの式の組み合わせとして表すことができます。

${\displaystyle \mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}}$

さらに、次の式はすべての実数値に対して有効です。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

これらの恒等式は、最後に述べた式から導かれます。

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

したがって、それらの4乗は再び1に等しくなり、

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}=1}$

レムニスカティック正弦とレムニスカティック余弦の次の式は密接に関連しています。

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}}$

ガウスのベル曲線関数における不定積分の決定と同様に、一般円筒の座標変換を使用して、x に関して積分された関数における 0 から正の無限大までの積分を計算できます。以下では、両方の積分の証明を並列表示の方法で示します。 ${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{4})}$

これはガウスベル曲線関数の 円筒座標変換です。

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}}$

これは、レムニスケートの場合の類似の座標変換です。

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}}$

この楕円類似方程式チェーンの最後の行には、無限小解析学（解析）のチェーンルールに従って、内部置換として平方関数で積分された元のガウスベル曲線が再びあります。

どちらの場合も、ヤコビ行列の行列式が積分領域内の元の関数に掛けられます。

統合領域で結果として得られる新しい機能は、新しいパラメータに従って統合されます。

代数的整数論では、ガウス有理数のすべての有限アーベル拡大は、ある正の整数 に対しての部分体である。^{[23] [76]}これは、円周に基づく有理数に対するクロネッカー-ウェーバーの定理に類似している。特に、すべての有限アーベル拡大は、ある正の整数 に対しての部分体である。どちらも、ヒルベルトの第12の問題となったクロネッカーのユーゲントの夢の特別な場合である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\omega _{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle n}$

体（正の奇数の場合）は、 楕円曲線上の-ねじれ点の- 座標と- 座標によって生成されるの拡張です。^[76]${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (1+i)n}$ ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+x}$

ベルヌーイ数は 次のように定義される 。${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0}$

そして登場する

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1}$

ここで、リーマンゼータ関数です。 ${\displaystyle \zeta }$

アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられたフルヴィッツ数は 、ベルヌーイ数の「レムニスケート類似体」である。フルヴィッツ数は次のように定義される。^{[77] [78]}${\displaystyle \mathrm {H} _{n},}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0}$

ここで、は格子不変量とを持つワイエルシュトラスのゼータ関数である。これらは、 ${\displaystyle \zeta (\cdot ;1/4,0)}$${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1}$

ここで、はガウス整数であり、は重みのアイゼンシュタイン級数であり、 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle G_{4n}}$${\displaystyle 4n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}}$

ハーウィッツ数は次のように決定することもできる。 ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}=1/10}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2}$

がの倍数でない場合は^[79]となる。この結果、^[77]${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots }$

また^[80]

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=\prod _{(p-1)|4n}p}$

ここで 、 ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle p\not \equiv 3\,({\text{mod}}\,4),}$

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p}$

ここで（フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理による）。 ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

実際、フォン・シュタウト・クラウゼンの定理はベルヌーイ数の 小数部分を決定します。

${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1}$

( OEISのシーケンスA000146 ) は任意の素数であり、同様の定理がフルビッツ数に対しても成り立ちます。 が奇数、が偶数、 が素数で、 、( 2 つの平方和に関するフェルマーの定理を参照)、であるとします。すると、任意の に対して、が一意に決定されます。同様に、は非負の整数である変数における合同法の解の数です。 ^[81]フルビッツの定理は、フルビッツ数の小数部を決定します。^[77]${\displaystyle p}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2a=\nu (p)}$${\displaystyle \nu (p)=p-{\mathcal {N}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}$${\displaystyle X^{3}-X\equiv Y^{2}\,(\operatorname {mod} p)}$${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {\nu (p)^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1.}$

整数の列は^[77]で始まる。${\displaystyle \mathrm {G} _{n}}$${\displaystyle 0,-1,5,253,\ldots .}$

とする。 が素数であれば となる。 が素数でなければ となる。^[82]${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle 4n+1}$${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\displaystyle 4n+1}$${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$

代わりに、一部の著者はハーウィッツ数を と定義しています。 ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}}$

フルヴィッツ数はレムニスケート関数に関連するいくつかのローラン級数展開に現れる: ^[83]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}}$

同様に、ベルヌーイ数に関して言えば、

${\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .}$

を となる素数とします。4次剰余(mod ) は、整数の 4 乗に一致する任意の数です。 が4 次剰余 (mod ) である場合は を と定義し、が 4 次剰余 (mod ) でない場合はを と定義します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$

とが互いに素であるとき、 ^[85]を満たす数が存在する（これらの数については^{[84]を参照）。}${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p'\in \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.}$

この定理は、

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}}$

ルジャンドル記号はどこにありますか。 ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

1870年代にアメリカ沿岸測量局のチャールズ・サンダース・パースが考案したパース五角形図法は、立体投影された点（複素数として扱われる）の逆レムニスケート正弦に基づく世界地図投影法である。 ^[86]

実部または虚部が一定の直線を双曲レムニスケート正弦関数を介して複素平面に投影し、そこから球面に立体投影すると（リーマン球面を参照）、結果として得られる曲線は球面円錐曲線であり、平面楕円と双曲線の球面版である。^[87]このように、レムニスケート関数（およびより一般的にはヤコビの楕円関数）は球面円錐曲線のパラメータ化を提供する。

球面から立方体の6つの正方形面への等角投影図も、レムニスケート関数を使って定義することができます。^{[88]多くの}偏微分方程式は等角写像によって効果的に解くことができるため、球面から立方体へのこの写像は大気のモデリングに便利です。^[89]

• 楕円関数
  • アーベル楕円関数
  • ディクソン楕円関数
  • ヤコビ楕円関数
  • ワイエルシュトラスの楕円関数
• 楕円ガウス和
• レムニスケート定数
• ピアース五角形図法
• シュワルツ・クリストッフェル写像

• パーカー、マット(2021)。「スクワールの面積はいくらですか?」スタンドアップ数学。YouTube。2021年12月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。

• Ramalingam, Muthu Veerappan (2023). 「ベルヌーイのレムニスケートとスクワークル | | {\displaystyle ||} 注目すべき幾何学的おもしろ事実!!?". Act of Learning . YouTube. 2024-11-10 にオリジナルからアーカイブ。ビデオで示された関係は${\displaystyle \operatorname {cl} ({\sqrt {2}}t)={\frac {\cos _{4}^{2}(t)-\sin _{4}^{2}(t)}{\cos _{4}^{2}(t)+\sin _{4}^{2}(t)}}}$