楕円ガウス和

数学において、楕円ガウス和は、複素乗算を伴う楕円曲線に依存するガウス和の類似物である。ガウス和の2次剰余記号は、3次または4次剰余記号などのより高次の剰余記号に置き換えられ、ガウス和の指数関数は楕円関数に置き換えられる。これらは、少なくとも楕円曲線がi による複素乗算を伴うレムニスケートの場合にアイゼンシュタイン(1850) によって導入されたが、論文 (Pinch 1988) が出るまで忘れられたか無視されていたようである。

(Lemmermeyer 2000、9.3)は、iによる複素乗算を伴う楕円曲線の場合の楕円ガウス和の次の例を示しています。

${\displaystyle -\sum _{t}\chi (t)\varphi \left({\frac {t}{\pi }}\right)^{\frac {p-1}{m}}}$

どこ

• 和はPを法とする剰余であり、その代表はガウス整数である。
• nは正の整数である
• mは4を割り切る正の整数n
• p = 4 n + 1は 1 mod 4 と合同な有理素数である
• φ ( z ) = sl((1 – i ) ωz )ここでslは楕円関数である正弦レムニスケート関数です。
• χはKの素数Pに対するKのm乗剰余記号である。
• Kは体k [ ζ ]である。
• kは体である${\displaystyle \mathbb {Q} [i]}$
• ζは1の原始的な4n乗根である
• πは、ノルムpを持つガウス整数における素数である。${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$
• Pは慣性次数1でπより上にあるKの整数環の素数である

• 浅井哲也 (2007)、「楕円ガウス和とs = 1 における Hecke L値 」、代数的整数論と関連トピックスに関するシンポジウム講演論文集、数理解析研究所講究録別冊、B4、数理解析研究所、京都、pp. 79–121、arXiv : 0707.3711、Bibcode :2007arXiv0707.3711A、MR  2402004
• カスー＝ノゲス博士。 Taylor, MJ (1991)、「Un élément de Stickelbergerquadratique」、Journal of Number Theory、37 (3): 307–342、doi : 10.1016/S0022-314X(05)80046-0、ISSN  0022-314X、MR  1096447
• アイゼンシュタイン、ゴットホルト (1850)、「Über einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Tailung der ganzen Lemniskate abhängt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie」(PDF)、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik、1850 (39): 224–287、doi :10.1515/crll.1850.39.224、ISSN  0075-4102、S2CID  123157985、Math に転載。ヴェルケ II、556–619
• レマーマイヤー、フランツ（2000）、相互法則、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66957-9、MR  1761696
• Pinch, R. (1988)、「楕円関数のガロア加群構造」、Stephens, Nelson M.、Thorne., MP (編)、『Computers in mathematical research』(Cardiff, 1986)、Inst. Math. Appl. Conf. Ser. New Ser.、vol. 14、Oxford University Press、pp. 69–91、ISBN 978-0-19-853620-8、MR  0960495