ヤコビ楕円関数

数学において、ヤコビの楕円関数は基本的な楕円関数の集合である。これらは振り子の運動の記述や電子楕円フィルタの設計に用いられる。三角関数は円を基準として定義されるが、ヤコビの楕円関数は他の円錐曲線、特に楕円を参照する一般化である。三角関数との関係は表記に含まれており、例えば の対応する表記によって表される。ヤコビの楕円関数は複素解析の概念を定義および/または理解する必要がないため、ワイエルシュトラスの楕円関数よりも実用的な問題でよく用いられる。これらはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1829) によって導入された。カール・フリードリヒ・ガウスは1797 年に既に特殊なヤコビの楕円関数、特にレムニスケート楕円関数を研究していたが^[1] 、その研究が発表されたのはずっと後のことであった。 ${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \sin}$

で表されるヤコビの楕円関数は 12 個あり、ここでおよび は、文字、、 、のいずれかです。(表記の完全性のため、形式の関数は1 に設定されます。)は引数、 はパラメータであり、どちらも複素数である可能性があります。実際、ヤコビの楕円関数はと の両方で有理型です。^[2] -平面での零点と極の分布はよく知られています。しかし、 -平面での零点と極の分布に関する疑問は、まだ調査されていません。^[2]${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

引数 の複素平面では、12 個の関数は単純な極と零点の繰り返し格子を形成する。^[3]関数に応じて、1 つの繰り返し平行四辺形、つまり単位セルは、実軸上に長さまたはの辺を持ち、虚軸上にまたは の辺を持つ。ここで、および は1/4 周期と呼ばれ、 は第 1 種の楕円積分である。単位セルの性質は、「補助長方形」（一般に平行四辺形）を調べることで判断できる。補助長方形は、1 つの角を原点、 を 対角の反対側の角として形成される長方形である。図のように、補助長方形の 4 つの角は、原点から反時計回りに、、、 と名付けられる。関数は、角に零点を持ち、角に極を持つ。12 個の関数は、長方形の角にこれらの極と零点を配置する 12 通りの方法に対応する。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 2K'}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle K(\cdot )}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (K,K')}$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$

引数とパラメータが実数で、 の場合、と は実数となり、補助平行四辺形は実際には長方形となり、ヤコビの楕円関数はすべて実数直線上で実数値となります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$

ヤコビ楕円関数は において二重周期的であるため、トーラスを介して因数分解されます。つまり、コサインとサインが円上で実質的に定義されるのと同様に、その定義域はトーラスと見なすことができます。1 つの円だけではなく、実数と虚数の 2 つの円の積が得られます。複素平面は複素トーラスで置き換えることができます。最初の円の円周は で、2 番目の円周は です。ここで、と は4 分の 1 周期です。各関数には、トーラス上の反対の位置に 2 つの零点と 2 つの極があります。点、、の間には、零点が 1 つと極が 1 つあります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K+iK'}$${\displaystyle iK'}$

ヤコビ楕円関数は、次の特性を満たす二重周期有理型関数です。

• コーナーには単純なゼロがあり、コーナーには単純なポールが あります。${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$
• 複素数は関数 の周期の半分に等しい。つまり、関数 はの方向に周期的であり、周期は である。関数 は他の 2 つの方向とでも周期的であり、周期は およびが4 分の 1 周期である。${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} }$${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \mathrm {pp} '}$${\displaystyle \mathrm {pq} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

楕円関数はさまざまな表記法で表すことができるため、不必要にわかりにくくなる可能性があります。楕円関数は 2 変数の関数です。最初の変数は振幅 で表されますが 、より一般的には以下に示す で表されます。2 番目の変数は、パラメータ、楕円係数（ここで ）、またはモジュラー角（ここで ）で表されます。およびの補集合は、およびとして定義されます。以下では、さまざまな式を簡略化するために、これらの 4 つの用語を特に説明せずに使用します。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle m=\sin^{2}\alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'=1-m}$${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

12 個のヤコビ楕円関数は一般に と表記され、およびは文字、、、のいずれかです。 形式の関数は、表記の完全性を保つために 1 に設定されます。 「主要な」関数は一般に とされ、他のすべての関数はこれら 3 つの関数から導かれ、式はこれら 3 つの関数のみで記述されることが多いですが、さまざまな対称性や一般化は、完全なセットを使用して表現するのが最も便利な場合がよくあります。 (この表記はGudermannとGlaisherによるもので、ヤコビのオリジナルの表記ではありません。) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

この記事全体を通して、. ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

これらの関数は、乗算規則によって表記上互いに関連しています: (引数は省略)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

そこから他のよく使われる関係が導き出されます:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

楕円関数とネヴィル・シータ関数の同一視から、乗法則は直ちに導かれる^[5]。

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

また、次の点にも注意してください。

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

楕円関数を第一種不完全楕円積分 の逆関数に関連付ける定義がある。これらの関数は、パラメータとを入力として受け取ります。を満たす ${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

はヤコビ振幅と呼ばれる：

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

この枠組みでは、楕円正弦sn  u（ラテン語：sinus amplitudinis）は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

楕円余弦cn  u（ラテン語：cosinus amplitudinis）は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

およびデルタ振幅dn  u (ラテン語: delta amplitunis ) ^{[注 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

上記において、値は自由パラメータであり、通常は となる実数とされます（ただし、一般には複素数になることもあります）。そのため、楕円関数は 2 つの変数とパラメータ によって与えられるものと考えることができます。残りの 9 つの楕円関数は、上記の 3 つ（ 、、 ）から簡単に構築でき、以下のセクションで説明します。 のとき、それは4 分の 1 周期に等しいことに注意してください。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \operatorname {cn} }$${\displaystyle \operatorname {dn} }$${\displaystyle \varphi =\pi /2}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

最も一般的な設定では、は、無限個の対数分岐点（分岐は の整数倍だけ異なる）を持つ多価関数（ において）であり、点と である。^[6]この多価関数は、これらの分岐点を結ぶ線分に沿って複素平面を切断することによって単価にすることができ（切断は非等価な方法で実行でき、非等価な単価関数を与える）、したがって は分岐切断を除くあらゆる場所で解析的になる。対照的に、や他の楕円関数には分岐点がなく、 のすべての分岐に対して矛盾のない値を与え、複素平面全体で有理型である。すべての楕円関数は（定義により）複素平面全体で有理型であるため、（単価関数として考えると）は楕円関数ではない。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {am} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

しかし、 の特定の切断は、からへの線分によって -平面上で を用いて行うことができます。その後は、ある方向からの連続性によって で分岐切断を定義するだけです。すると は、最小周期でで単一値かつ単一周期になり、上記の対数分岐点で特異点を持ちます。 および の場合、は実数直線上でで連続します。 のとき、 -平面上のの分岐切断はについて実数直線と で交差します。したがって の場合、は実数直線上でで連続せず、不連続点を で飛び越えます。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 4iK(1-m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$${\displaystyle m\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$

しかし、このように定義すると、 - 平面（ -平面ではない）で非常に複雑な分岐切断が生じます。これらはまだ完全には説明されていません。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$

させて

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

パラメータ を持つ第二種不完全楕円積分とする。 ${\displaystyle m}$

ヤコビイプシロン関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

およびに対して、各変数における解析接続により成立する。それ以外の場合、ヤコビイプシロン関数は複素平面全体（およびの両方）で有理型である。あるいは、 -平面および-平面の両方で、^[7]${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$はこのように明確に定義されます。なぜならのすべての留数がゼロなので、積分は経路独立だからです。したがって、ヤコビのイプシロンは、第 1 種の不完全楕円積分と第 2 種の不完全楕円積分を関連付けます。 ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

ヤコビのイプシロン関数は楕円関数ではありませんが、ヤコビの楕円関数をパラメータに関して微分すると現れます。

ヤコビzn関数は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

これは単周期関数であり、 では有理型であるが、 では有理型ではない（との分岐切断のため）。 における最小周期はである。これはヤコビゼータ関数と次の式で関連している。${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K(m)}$${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

歴史的に、ヤコビの楕円関数は最初振幅を使用して定義されました。楕円関数に関するより現代的なテキストでは、ヤコビの楕円関数は、たとえばシータ関数の比 (以下を参照) など他の方法で定義され、振幅は無視されます。

現代的な用語では、楕円積分との関係はではなく(または)で表されます。 ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi }$${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi }$${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$は単位円上で定義され、半径r  = 1、角は正のx軸から測った単位円の弧の長さです。同様に、ヤコビ楕円関数は単位楕円上で定義され、^{[引用が必要]} a  = 1 です。${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

それから：

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

各角度のパラメータ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

（第一種不完全楕円積分）が計算される。単位円（）上では、弧の長さは となる。しかし、と楕円の弧の長さの関係はより複雑である。^[8]${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

を楕円上の点とし、を単位円がと原点の間の線と交差する点とします。すると、単位円からのよく知られた関係式が成り立ちます。 ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

楕円については次のように読みます:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

したがって、直線と単位円の交点のx軸およびy軸への投影は、単におよびとなります。これらの投影は、「三角法としての定義」として解釈できます。簡単に言うと、 ${\displaystyle P'}$${\displaystyle OP}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

およびパラメータを持つ 点のおよび値については、関係を挿入すると次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

に:あれ: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

単位楕円上の点のx座標とy座標に関する後者の関係は、単位円上の点の座標に関する関係の一般化として考えることができます。 ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

次の表は、変数（x、y、r）と（φ、 dn ）におけるすべてのヤコビ楕円関数pq（u、m）の式をまとめたものである。${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

同様に、ヤコビの楕円関数はシータ関数を用いて定義することができる。^[9]となるように、 ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$

そして、、、。そして、、、、​​​ ${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$${\displaystyle \tau =iK'/K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$

Jacobi zn 関数は、シータ関数でも表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$

ここで、は最初の変数に関する偏微分を表します。 ${\displaystyle '}$

実際、ウィテカーとワトソンによるヤコビ楕円関数の定義は、上で示したものとは少し異なっており（しかし、それと同等である）、モジュラー反転に依存している 。 ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$

のすべての値は、一度だけ^[10 ] ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$

${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$

ここで は複素平面の上半平面であり、はの境界であり、 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \partial F_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$

このようにして、それぞれはただ1つの とのみ関連付けられます。次に、WhittakerとWatsonはヤコビの楕円関数を次のように定義します。 ${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$

ここで です。この本では、という追加の制限が設けられていますが、これは実際には必要な制限ではありません (Cox の参考文献を参照)。また、またはの場合、ヤコビの楕円関数は、以下に説明するように、非楕円関数に退化します。 ${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=1}$

ヤコビの楕円関数はネヴィルのシータ関数を使って非常に簡単に定義できる：^[11]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

ヤコビの楕円関数の複雑な積の簡略化は、これらの恒等式を使用すると簡単に行えることがよくあります。

ヤコビ虚数変換は虚数変数iuの様々な関数、またはそれと同等に、mパラメータの様々な値間の関係を関連付けます。主要な関数の観点から：^{[12] ：506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

乗法則を用いると、他のすべての関数は上記の3つを使って表現できる。変換は一般に と表記される。次の表は、指定された pq( u,m ) に対する を示している。^[11] (引数は省略されている) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

双曲三角関数は虚数引数を持つ円三角関数に比例するので、ヤコビ関数はm=1に対して双曲関数を生成することになる。 ^{[5] : 249}図では、ヤコビ曲線はx  = 1とx = −1の2本の垂直線に退化している 。

ヤコビ実変換^{[5] : 308 は、}楕円関数のmの交互の値に対する表現式を生成する。変換は一般に と表記される。次の表は、指定された pq( u,m ) に対する を示す。^[11] (引数は省略されている) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

ヤコビの実数変換と虚数変換は、様々な方法で組み合わせて、さらに3つの単純な変換を生み出すことができます。^{[5] ：214}実数変換と虚数変換は、6つの変換のグループ（D ₃または非調和群）内の2つの変換です。

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

は実数変換におけるmパラメータの変換であり、

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

が虚数変換におけるmの変換である場合、他の変換はこれら 2 つの基本変換を連続的に適用することで構築でき、さらに 3 つの可能性のみが生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

これら 5 つの変換と恒等変換 ( μ _U ( m ) =  m ) を組み合わせると、6 元群が得られます。ヤコビの楕円関数に関しては、一般的な変換は 3 つの関数だけで表現できます。

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

ここで、i = U、I、IR、R、RI、または RIR は変換を識別し、γ _{i は}これら 3 つの関数に共通する乗算係数であり、プライムは変換された関数を示します。他の 9 つの変換された関数は、上記の 3 つから構築できます。変換を表すために cs、ns、ds 関数が選択された理由は、他の関数がこれら 3 つの関数の比 (逆関数を除く) になり、乗算係数が打ち消されるためです。

次の表は、6つの変換のそれぞれについて、3つのps関数の乗算係数、変換されたm、および変換された関数名を示しています。[ 5 ^{] ：214}（通常どおり、k ²  =  m、1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′であり、引数（）は省略されています） ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

例えば、RIR変換の表は次のようになります。^[11]変換は一般的に次のように記述されます（引数は省略します） ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

ヤコビ変換の価値は、任意の実数値パラメータmを持つヤコビ楕円関数の任意の集合が、uが実数値の場合、関数値が実数となる別の集合に変換できることである。 ^{[5] ：p. 215}${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

以下では、2 番目の変数は省略され、 と等しくなります。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$

両方のアイデンティティがすべての人に有効であり、両側が明確に定義されています。 ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

と

${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$

我々は持っています

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$

すべてのアイデンティティはすべての人に対して有効であり、両側が明確に定義されます。 ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

複素数を導入すると、楕円には双曲線が関連付けられます。

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

ヤコビの虚数変換^[11]を上記の式の楕円関数xと yに適用することにより得られる。

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

したがって、 と置くことができます。したがって、楕円は、m を 1-m に置き換えた双対楕円になります。これは、「はじめに」で述べた複素トーラスにつながります。^[13]一般に、m は複素数ですが、m が実数で m<0 の場合、曲線は x 方向に長軸を持つ楕円です。m = 0 では曲線は円であり、0 < m < 1 の場合、曲線は y 方向に長軸を持つ楕円です。m = 1 では、 曲線はx  = ±1 で 2 本の垂直線に退化します。m > 1 の場合、 曲線は双曲線です。m が複素数で実数でない場合は、 xまたはyまたはその両方が複素数であり、曲線を実数のx - y図で記述することはできません。 ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

関数名の 2 文字の順序を逆にすると、上記の 3 つの関数の逆数になります。

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

同様に、3 つの主要な関数の比率は、分子の最初の文字と分母の最初の文字に対応します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

もっと簡潔に言うと、

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

ここで、p と q は s、c、d のいずれかの文字です。

引数uの複素平面では、ヤコビの楕円関数は極 (および零点) の繰り返しパターンを形成します。極の留数はすべて絶対値が同じで、符号のみが異なります。各関数 pq( u , m ) には、極と零点の位置が交換される「逆関数」(乗法的な意味で) qp( u , m ) があります。繰り返しの周期は一般に実方向と虚方向で異なるため、これを「二重周期」という用語で表します。

ヤコビ振幅とヤコビイプシロン関数の場合:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

ここで はパラメータ を持つ第 2 種完全楕円積分です。 ${\displaystyle E(m)}$${\displaystyle m}$

ヤコビの楕円関数の二重周期性は次のように表現できます。

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

ここで、αとβ は任意の整数のペアです。K (⋅)は第 1 種の完全楕円積分で、 1/4 周期とも呼ばれます。負の 1 乗 ( γ ) は次の表に示されています。

係数 (−1) ^γが −1 に等しい場合、方程式は準周期性を表します。係数が 1 に等しい場合、完全な周期性を表します。たとえば、α が偶数の場合、α のみを含むエントリについては、完全な周期が上記の式で表され、関数の完全な周期は 4 K ( m ) と 2 iK (1 −  m ) であることがわかります。同様に、 βのみを含むエントリを持つ関数の完全な周期は 2K(m) と 4 iK (1 −  m ) ですが、α + β を含む関数の完全な周期は 4 K ( m ) と 4 iK (1 −  m ) です。

右の図は、関数ごとに 1 つの繰り返し単位をプロットし、極とゼロの位置とともに位相を示していますが、いくつかの規則性があります。各関数の逆関数は対角線の反対側にあり、単位セルのサイズは同じで、極とゼロが交換されています。(0,0)、( K、0)、(0、K ′)、( K、K ′) で形成される補助長方形内の極とゼロの配置は、上記の序論で説明した極とゼロの配置の説明に従っています。また、極を示す白い楕円のサイズは、その極の留数の絶対値の大まかな尺度です。図の原点に最も近い (つまり補助長方形内にある) 極の留数を次の表に示します。

該当する場合、2 Kだけ上にずれた極、または 2 K ′だけ右にずれた極は、符号が反転した同じ値を持ち、対角線上の極とゼロは同じ値を持ちます。左端と下端の極とゼロは単位セルの一部とみなされますが、上端と右端の極とゼロはそうではないことに注意してください。

極に関する情報は、ヤコビの楕円関数を特徴付けるために実際に使用することができます。 ^[14]

関数は、（）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

関数は、（）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

関数は、（）に単純な極を持ち、 で留数が値を取る唯一の楕円関数です。 ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

を設定すると、レムニスケート楕円関数とが得られます。 ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

またはのとき、ヤコビの楕円関数は非楕円関数に簡約されます。 ${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=1}$

ヤコビ振幅については、はグーデルマン関数です。 ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$${\displaystyle \operatorname {gd} }$

一般に、p、q のどちらも d でない場合は、 となります。 ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

ハーフKフォーミュラ

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

第三のK式

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

x ^{3 を}取得するには、係数の逆正接の 2 倍の正接を取ります。

また、この式はKの 3 分の 1 の sn 値につながります。

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

これらの方程式はヤコビ関数の他の値につながります。

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

第5のK式

次の方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

sn 値を取得するには、解 x を次の式に代入します。

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

関数の平方の関係は、2つの基本的な関係から導き出すことができます（引数（u、m）は省略されています）。 ここで、m + m'  = 1です。nq形式の任意の関数を掛けると、より一般的な方程式が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

q  =  dの場合、これらは三角関数的には単位円 ( ) と単位楕円 ( ) の方程式に対応し、x  =  cd、y  =  sd、r  =  ndとなります。乗法規則を使用すると、他の関係を導くことができます。例: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

関数は2つの平方関係を満たす（mへの依存性は抑制される） $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

このことから、(cn, sn, dn)は、上記の2つの式で定義された2つの二次曲線の交差である楕円曲線をパラメータ化することがわかります。ここで、ヤコビ関数の加法公式によって、この曲線上の点の群法則を定義できます^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

ヤコビのイプシロン関数とzn関数は準加法定理を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

二倍角の公式は、 x  =  yと設定することで簡単に導出できる。^[3]半角の公式^{[11] [3]}はすべて次の形式である。

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

どこ： $${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

3 つの基本的なヤコビ楕円関数の導関数(最初の変数を固定した場合) は次のとおりです。 ${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

これらは、以下の表に示すように、他のすべての関数の導関数を導出するために使用できます（引数 (u,m) は省略されています）。

また

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

上記の加法定理と、0 <  m < 1 の与えられたmに対して 、主要な関数は次の非線形常微分方程式の解になります。

• ${\displaystyle \operatorname {am} (x)}$微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}$（枝の切り口ではないため）${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$微分方程式を解き、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

振り子の微分方程式を正確に解く関数は、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

初期角度と初期角速度がゼロ の場合、${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

ここで、、および。 ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

最初の引数を固定すると、2 番目の変数に関する導関数は次のようになります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

名詞を、、とする。すると、関数はランバート級数として展開される。${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$${\displaystyle m=k^{2}}$${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

いつ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

二変量冪級数展開はシェットによって発表されている。^[15]

シータ関数比はヤコビ楕円関数を計算する効率的な方法を提供する。算術幾何平均とランデン変換に基づく代替方法もある：^[6]

初期化

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

ここで、定義する ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

ここで、定義する ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

と固定値の場合。 ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

の場合、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

として表されます。これは収束が速いことで知られています。実数直線上のヤコビ振幅からすべてのヤコビ楕円関数を計算するのは簡単です。 ^{[注 2]}${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle \operatorname {am} }$

楕円関数の加法定理（複素数全般に当てはまる）とヤコビ変換を組み合わせることで、上記の計算方法を使用して、複素平面全体のすべてのヤコビ楕円関数を計算できます。

ヤコビ振幅の計算を回避し、算術幾何平均を介してヤコビ楕円関数を高速に計算する別の方法は、ハーバート・E・ザルツァーによるものである：^[16]

させて

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

セット

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

として。 ${\displaystyle N\to \infty }$

しかし、文献に記載されているヤコビ楕円正弦関数の高速収束計算のための別の方法を以下に示す。^[17]

させて：

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

次に設定:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}$

それから：

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$。

ヤコビの楕円関数は双曲関数で展開できる。が1に近く、の高次のべき乗 が無視できるとき、次式が得られる。^{[18] [19]}${\displaystyle m}$${\displaystyle m'^{2}}$${\displaystyle m'}$

• sn( u ):$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• cn( u ):$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• dn( u ):$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

ヤコビ振幅については、 $${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

実数 およびノー​​ム 、楕円係数 を仮定する。、ここでは第一種完全楕円積分、のとき、次の連分数展開が成り立つ^[20]${\displaystyle a,p}$${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

楕円係数を含む連分数は、 ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$${\displaystyle k}$

については、：^[21] 374ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

については、：^[21] 375ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

については、：^[22] 220ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

については、：^[21] 374ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

については、：^[21] 375ページ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

ヤコビ楕円関数の逆関数は、逆三角関数と同様に定義できます。、の場合。 これらは楕円積分として表すことができ、^{[23] [24] [25]}およびべき級数表現が見出されています。^{[26] [3]}${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

パースの五角形図法は、ヤコビ楕円関数に基づく 地図投影法です。

• 楕円曲線
• シュワルツ・クリストッフェル写像
• カールソン対称形
• ヤコビのシータ関数
• ラマヌジャンのシータ関数
• ディクソン楕円関数
• アーベル楕円関数
• ワイエルシュトラスの楕円関数
• レムニスケート楕円関数

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 16 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (訂正を加えた第 10 回目の初版 (1972 年 12 月) の第 9 回目の再版、第 1 版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 569。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​
• NI Akhiezer、Elements of the Theory of Elliptic Functions (1970) モスクワ、英訳AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS、ロードアイランドISBN 0-8218-4532-2 
• AC ディクソン「楕円関数の基本的性質とその例」（マクミラン、1894 年）
• アルフレッド・ジョージ・グリーンヒル『楕円関数の応用』（ロンドン、ニューヨーク、マクミラン、1892年）
• エドマンド・T・ウィテカー『ジョージ・ネヴィル・ワトソン：現代分析講座』第4版。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局、1990年。469～470頁。
• H. ハンコック『楕円関数の理論に関する講義』（ニューヨーク、J. Wiley & Sons、1910 年）
• Jacobi、CGJ (1829)、Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (ラテン語)、ケーニヒスベルク、ISBN 978-1-108-05200-9ケンブリッジ大学出版局2012年再版
• ラインハルト、ウィリアム P.、ウォーカー、ピーター L. (2010)、「ヤコビアン楕円関数」、オルバー、フランク WJ、ロジエ、ダニエル M.、ボワヴェール、ロナルド F.、クラーク、チャールズ W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• (フランス語) P. Appellおよび E. Lacour 『理論と楕円形の機能と応用の原理』 (パリ、ゴーティエ ヴィラール、1897 年)
• (フランス語) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (vol. 1) (パリ、ゴーティエ ヴィラール、1886 ～ 1891 年)
• (フランス語) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (vol. 2) (パリ、ゴーティエ ヴィラール、1886 ～ 1891 年)
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• (フランス語) J. Tannery と J. Molk 楕円形の関数要素。本書 I、はじめに。計算上の違い。パーティー (パリ : Gauthier-Villars et fils、1893)
• (フランス語) J. Tannery と J. Molk 楕円形の関数要素。第 2 巻、微分計算。 IIe パーティー (パリ: Gauthier-Villars et fils、1893)
• (フランス語) J. Tannery と J. Molk 楕円形の関数要素。第 3 巻、積分計算。パーティー、テオレム・ジェネロー。反転 (パリ: Gauthier-Villars et fils、1893)
• (フランス語) J. Tannery と J. Molk 楕円形の関数要素。第 4 巻、積分計算。 IIe 当事者、アプリケーション (パリ: Gauthier-Villars et fils、1893)
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• 福島敏夫:完全楕円積分とヤコビアン楕円関数の高速計算。 2012 年、国立天文台
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• JD Fenton と RS Gardiner-Garden:楕円積分とシータ関数および楕円関数を評価するための高速収束法。J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24、1982、S. 57
• アドルフ・クネーザー: Neue Untersuung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen。 J. レーヌ U.アンギュー。数学。 157、1927。209 ～ 218 ページ

• 「ヤコビ楕円関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「Jacobi 楕円関数」。MathWorld。