ディクソン楕円関数

数学において、ディクソンの楕円関数sm と cm は、六角形タイリングの各正六角形から複素平面全体にマップする2 つの楕円関数(複素平面上の二重周期 有理型関数) です。これらの関数は恒等式を満たすため、実関数として3 次フェルマー曲線をパラメータ化します。 これは、三角関数の正弦と余弦が単位円をパラメータ化するのと同じです。${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

これらは、三角関数の正弦と余弦、ヤコビの楕円関数のsnとcnに倣って、1890年にアルフレッド・ディクソンによってsmとcmと名付けられました。ヨーラン・ディルナーは、 1873年にこれをすでに記述していました。^[1]

関数smとcmは初期値問題の解として定義できる: ^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cm} z=-\operatorname {sm} ^{2}z,\ {\frac {d}{dz}}\operatorname {sm} z= \オペレーター名 {cm} ^{2}z,\ \オペレーター名 {cm} (0)=1,\ \オペレーター名 {sm} (0)=0}$

あるいは、複素単位円から正三角形へのシュワルツ・クリストッフェル写像の逆として、アーベル積分は次のようになる。^[3]

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sm} z}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}=\int _{\オペレータ名 {cm} z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}}$

これは超幾何関数を使って表現することもできる：^[4]

${\displaystyle \operatorname {sm} ^{-1}(z)=z\;{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac { 2}{3}};{\tfrac {4}{3}};z^{3}{\bigr )}}$

smとcmは両方とも実軸に沿った周期を持ち、ベータ関数とガンマ関数は次のようになる：^[5]${\displaystyle \pi _{3}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2\pi }}\Gamma ^{3}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}\approx 5.29991625}$${\displaystyle \mathrm {B} }$${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{aligned}}}$

これらは恒等式 を満たします。パラメトリック関数は、三次フェルマー曲線を でパラメトリック化し、原点から までの線分、原点から までの線分、フェルマー曲線の間の符号付き面積を表します。これは、三角関数の引数と単位円の扇形の面積の関係に似ています。^[6]理由を理解するには、グリーンの定理を適用します。 ${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1}$${\displaystyle t\mapsto (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t),}$ ${\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}t}$${\displaystyle (1,\,0)}$${\displaystyle (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t)}$

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x\mathop {dy} -y\mathop {dx} )={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\operatorname {cm} ^{3}t+\operatorname {sm} ^{3}t)\mathop {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt={\tfrac {1}{2}}t.}$

と の間の領域は、それぞれが の領域である 3 つの部分に分割できることに注目してください。 ${\displaystyle x+y=0}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1}(1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{aligned}}}$

関数は、任意の整数およびに対して複素数値点で零点を持ちます。ここで、は 1 の3 乗根です(つまり、はアイゼンシュタイン整数です)。関数は、複素数値点 で零点を持ちます。両方の関数とも、複素数値点 に極を持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {sm} z}$${\displaystyle z={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =\exp {\tfrac {2}{3}}i\pi =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$${\displaystyle a+b\omega }$${\displaystyle \operatorname {cm} z}$${\displaystyle z={\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$${\displaystyle z=-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$

実数直線上では、 は に類似しています。 ${\displaystyle \operatorname {sm} x=0\leftrightarrow x\in \pi _{3}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \sin x=0\leftrightarrow x\in \pi \mathbb {Z} }$

cmとsmは複素共役で可換であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sm} z}}.\end{aligned}}}$

三角関数の偶奇性（余弦は偶関数、正弦は奇関数）と同様に、ディクソン関数cm は複素平面の回転に対して不変であり、 smの定義域の回転は共定義域の回転を 引き起こす。${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} \omega z&=\operatorname {cm} z=\operatorname {cm} \omega ^{2}z,\\\operatorname {sm} \omega z&=\omega \operatorname {sm} z=\omega ^{2}\operatorname {sm} \omega ^{2}z.\end{aligned}}}$

各ディクソン楕円関数は、アイゼンシュタイン整数による変換に対して不変であり、${\displaystyle a+b\omega }$${\displaystyle \pi _{3},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {cm} z,\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {sm} z.\end{aligned}}}$

cmとsmのそれぞれの否定は、もう一方の変換 と同等である。${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (-z)&={\frac {1}{\operatorname {cm} z}}=\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )},\\\operatorname {sm} (-z)&=-{\frac {\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}}={\frac {1}{\operatorname {sm} {\bigl (}z-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}}=\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

翻訳者：give ${\displaystyle n\in \mathbb {\{} 0,1,2\},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}\omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{2n}{\frac {-\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{n}{\frac {1}{\operatorname {cm} z}}.\end{aligned}}}$

ディクソンの楕円関数は、引数の和と差の恒等式を満たす：^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {cm} (u-v)&={\frac {\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {sm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {cm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u-v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}}$

これらの式は実数成分の複素数値関数を計算するために使用できる: ^{[引用が必要]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x-\omega \,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cm} x(\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y\,\operatorname {cm} y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {sm} y(\operatorname {cm} ^{3}x-\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[8mu]\operatorname {sm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} y-\omega ^{2}\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sm} x(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} y(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}y+\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\end{aligned}}}$

引数重複と三重重複の恒等式は和恒等式から導出できる: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} 2u&={\frac {\operatorname {cm} ^{3}u-\operatorname {sm} ^{3}u}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {cm} ^{3}u-1}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {sm} 2u&={\frac {\operatorname {sm} u(1+\operatorname {cm} ^{3}u)}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {sm} u-\operatorname {sm} ^{4}u}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {cm} 3u&={\frac {\operatorname {cm} ^{9}u-6\operatorname {cm} ^{6}u+3\operatorname {cm} ^{3}u+1}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}},\\[5mu]\operatorname {sm} 3u&={\frac {3\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u(\operatorname {sm} ^{3}u\,\operatorname {cm} ^{3}u-1)}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}}.\end{aligned}}}$

この関数は、 ${\displaystyle \operatorname {cm} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}&=-\operatorname {cm} {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}\,\operatorname {cm} {\tfrac {4}{9}}\pi _{3},\\[5mu]\operatorname {cm} {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}&=\operatorname {cl} {\tfrac {1}{3}}\varpi ,\end{aligned}}}$$

ここで、はレムニスケート余弦、 はレムニスケート定数です。^[要出典]${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle \varpi }$

cm関数とsm関数はテイラー級数で近似できる。${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9}+\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^{7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}}$

その係数は再帰性を満たす^[10]${\displaystyle c_{0}=s_{0}=1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{n-k}\end{aligned}}}$

これらの再発の結果は以下の通りである: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=1-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}-{\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac {13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{aligned}}}$

アイゼンシュタイン整数の格子aスケーリングを持つ等調和 ワイエルシュトラス楕円関数 は次のように定義される: ^[12]${\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )},}$ ${\displaystyle \Lambda =\pi _{3}\mathbb {Z} \oplus \pi _{3}\omega \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0\}}\!\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

この関数は微分方程式を解きます: ${\displaystyle \wp (z)}$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-{\tfrac {1}{27}}}$

これを積分の逆として書くこともできます。

${\displaystyle z=\int _{\infty }^{\wp (z)}{\frac {dw}{\sqrt {4w^{3}-{\tfrac {1}{27}}}}}}$

に関して、ディクソンの楕円関数は次のように書ける: ^[13]${\displaystyle \wp (z)}$

${\displaystyle \operatorname {cm} z={\frac {3\wp '(z)+1}{3\wp '(z)-1}},\ \operatorname {sm} z={\frac {-6\wp (z)}{3\wp '(z)-1}}}$

同様に、ワイエルシュトラスの楕円関数はディクソンの楕円関数で表すことができます。 ${\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \wp '(z)={\frac {\operatorname {cm} z+1}{3(\operatorname {cm} z-1)}},\ \wp (z)={\frac {-\operatorname {sm} z}{3(\operatorname {cm} z-1)}}}$

ディクソンの楕円関数はヤコビの楕円関数を使って表現することもできる。これはケイリーによって初めて発見された。[ ^14]、、、、、とすると、 ${\displaystyle k=e^{5i\pi /6}}$${\displaystyle \theta =3^{\frac {1}{4}}e^{5i\pi /12}}$${\displaystyle s=\operatorname {sn} (u,k)}$${\displaystyle c=\operatorname {cn} (u,k)}$${\displaystyle d=\operatorname {dn} (u,k)}$

${\displaystyle \xi (u)={\frac {-1+\theta scd}{1+\theta scd}}}$、${\displaystyle \eta (u)={\frac {2^{1/3}\left(1+\theta ^{2}s^{2}\right)}{1+\theta scd}}.}$

最後に、ディクソンの楕円関数は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {sm} (z)=\xi \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right),}$ ${\displaystyle \operatorname {cm} (z)=\eta \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right).}$

一般化三角関数のいくつかの定義には、通常の三角関数の正弦と余弦、関数smとcmが例として含まれています。^[15]${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

たとえば、積分の逆数 と定義します。${\displaystyle \pi _{n}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$${\displaystyle \sin _{n}z,\,\cos _{n}z}$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin _{n}z}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}=\int _{\cos _{n}z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}}$

曲線の下の正の象限の面積は ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{n})^{1/n}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi _{n}}{2n}}.}$

4 次関数の場合は複素平面上の正方格子となり、レムニスケート楕円関数と関連します。 ${\displaystyle n=4}$

ディクソンの楕円関数は正三角形から円板への等角写像であるため、正三角形を含む多面体の等角写像投影を構築するのに役立ちます。たとえば、球を三角形、六角形、四面体、八面体、または二十面体に投影します。^[16]

• アイゼンシュタイン整数
• 楕円関数
  • アーベル楕円関数
  • ヤコビ楕円関数
  • レムニスケート楕円関数
  • ワイエルシュトラスの楕円関数
• 四面体におけるリー共形世界
• シュワルツ・クリストッフェル写像

• Desmosプロット:
  • 実数値 Dixon 楕円関数 https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxh2。
  • 3次フェルマー曲線のパラメータ化、https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
• 整数列のオンライン百科事典のページ:
  • 「ディクソン楕円関数 sm(x,0) のマクローリン展開における x^(3n+1)/(3n+1)! の係数。」 https://oeis.org/A104133
  • 「ディクソン楕円関数 cm(x,0) のマクローリン展開における x^(3n)/(3n)! の係数。」 https://oeis.org/A104134
  • 「Pi(3): ディクソニアン楕円関数 sm(z) と cm(z) の基本実周期。」 https://oeis.org/A197374
• 数学Stack Exchange のディスカッション:
  • 「、ディクソニアン楕円関数、およびボルワイン三次シータ関数について」、https://math.stackexchange.com/q/2090523/${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
  • 「タイル張りとしての二重周期関数（平行四辺形以外）」、https://math.stackexchange.com/q/35671/