エイゼンシュタインシリーズ

アイゼンシュタイン級数は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで名付けられ、^[1]、直接記述できる無限級数展開を持つ特定のモジュラー形式です。もともとモジュラー群に対して定義されたアイゼンシュタイン級数は、保型形式の理論で一般化できます。

τ を正の虚数部を持つ複素数とする。重み2 k （ k ≥ 2は整数）の正則アイゼンシュタイン級数G _{2 k} ( τ )を次の級数で定義する: ^[2]

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

この級数は上半平面でτの正則関数に絶対収束し、以下に示すフーリエ展開はτ = i ∞で正則関数に拡張されることを示しています。アイゼンシュタイン級数がモジュラー形式であることは注目すべき事実です。実際、重要な特性はそのSL(2, )共変性です。明示的にa、b、c、d ∈かつad − bc = 1の場合、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

（証拠）

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}$

ad − bc = 1 ならば

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}$

となることによって

${\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}$

^は2 → ²の全単射である。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}$

全体的に、ad − bc = 1の場合、

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

そして、G _{2 k は}重み2 kのモジュラー形式です。 k ≥ 2と仮定することが重要です。そうでない場合、合計の順序を変更することは正当ではなく、SL(2, )不変性は保持されません。実際、重み 2 の非自明なモジュラー形式は存在しません。ただし、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$k = 1の場合でも、正則アイゼンシュタイン級数の類似物を定義できますが、これは準モジュラー形式にすぎません。

級数が絶対収束するためにはk ≥ 2が必要である ことに注意してください。一方、 k は偶数である必要があり、そうでない場合は(- m 、 - n )項と( m、n )項が打ち消されるため、合計はゼロになります。k = 2の場合、級数は収束しますが、モジュラー形式ではありません。

楕円曲線のモジュラー不変量 g ₂とg ₃は、最初の2つのアイゼンシュタイン級数によって与えられる: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}$

モジュラー不変量に関する記事では、これら 2 つの関数をシータ関数で表した表現が提供されています。

^{モジュラー群[4]}の任意の正則モジュラー形式は、G ₄およびG ₆の多項式として表すことができます。特に、高次のG _{2 k は、}再帰関係を介してG ₄およびG ₆で表すことができます。d _k = (2 k + 3) k ! G _{2 k + 4}とすると、たとえば、d ₀ = 3 G ₄およびd ₁ = 5 G ₆となります。このとき、d _{k は}次の関係を満たします 。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{nk}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2} }$

すべてのn ≥ 0に対して。ここで、は二項係数です。 ${\displaystyle n \choose k}$

d _{k は}ワイエルシュトラスの楕円関数の級数展開で現れる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{ \frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{整列}}}$

q = e ^{2π iτ}と定義する。（古い本ではq をq = e ^{π iτ}と定義 しているが、数論ではq = e ^{2 π iτ}が標準となっている。）すると、アイゼンシュタイン級数^[5]のフーリエ級数は

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

ここで係数c _{2 k}は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}$

ここで、B _nはベルヌーイ数、ζ ( z )はリーマンのゼータ関数、σ _p ( n )は約数和関数、つまりnの約数のp乗の和です。特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}$

q上の和はランバート級数として再び和をとることができる。つまり、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

任意の複素数 | q | < 1かつaに対して。アイゼンシュタイン級数の q展開を扱う場合、この代替表記法が頻繁に導入されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}$

出典: ^[6]

q = e ^{2 π iτ}とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

そして、ヤコビ・シータ関数を定義する。これは通常、eπiτ^という名前 ^を使用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

ここでθ _mとϑ _{ij は}別の表記である。そして対称的な関係が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}$

基本的な代数は、

${\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}$

モジュラー判別式に関連する式、

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

一方、3番目の対称関係は、E ₈ = Eの結果である。²
₄そしてa ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0です。

アイゼンシュタイン級数は、完全モジュラー群SL(2, )のモジュラー形式の最も明示的な例である。重み2 kのモジュラー形式の空間は、2 k = 4, 6, 8, 10, 14に対して次元 1 を持つため、それらの重みを持つアイゼンシュタイン級数の異なる積は、スカラー倍数を除いて等しくなければならない。実際、次の恒等式が得られる: ^[7]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

上で示したアイゼンシュタイン級数のq展開を使用すると、約数の累乗の和を含む恒等式として言い換えることができます。

${\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

したがって

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

他のものについても同様である。8次元偶ユニモジュラー格子Γのシータ関数は、完全モジュラー群の重み4のモジュラー形式であり、次の恒等式を与える。

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

E8型のルート格子_における長 さ2nの2乗のベクトルの数rΓ ( _n )について。

ディリクレ指標によってねじれた正則アイゼンシュタイン級数を含む同様の手法により、正の整数n ' をnの約数で表した 2 乗、 4 乗、または 8 乗の和として表現する数を求める公式が生成されます。

上記の再帰関係を使用すると、すべての高次のE _{2 k は}E ₄とE ₆の多項式として表現できます。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}$

アイゼンシュタイン級数の積の間の多くの関係は、ハンケル行列式、例えばガーバンの恒等式 を使って簡潔に記述することができる。

${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}$

はモジュラー判別式である。^[8]

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、微分 を含む最初のいくつかのエイゼンシュタイン級数の間にいくつかの興味深い恒等式を与えた。^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

これらの恒等式は、級数間の恒等式と同様に、約数和関数を含む算術畳み込み恒等式をもたらす。ラマヌジャンに従って、これらの恒等式を最も単純な形にするには、 σ _p ( n )の定義域をゼロを含むように 拡張する必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}$

例えば、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}$

このタイプの他の恒等式は、 L、M、N関数間の前述の関係とは直接関係しないが、ラマヌジャンとジュゼッペ・メルフィによって証明されている^{[10] [11]。}例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}$

保型形式は一般リー群のモジュラー形式の考え方を一般化します。また、アイゼンシュタイン級数も同様の方法で一般化します。

O _{K を}全実代数体Kの整数環と定義すると、ヒルベルト-ブルーメンタール・モジュラー群をPSL(2, O _K )と定義できます。すると、ヒルベルト-ブルーメンタール・モジュラー群のあらゆる尖点にアイゼンシュタイン級数を関連付けることができます。

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• アポストル、トム M. ( 1990)。『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』（第 2 版）。ニューヨーク、NY : Springer。ISBN 0-387-97127-0。
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