モジュール型ラムダ関数

数学において、モジュラーラムダ関数λ(τ) ^{[注1 ]}は、複素上半平面上の高度に対称な正則関数である。これは合同群Γ (2)の分数線形作用の下で不変であり、対応する商の関数体を生成する。すなわち、モジュラー曲線X (2)の主モジュラーである。任意の点τにおいて、その値は、射影直線を楕円曲線で二重被覆した分岐点の交差比として表すことができる。 $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$ ここで、写像は[ − 1]対合による商として定義される。

q展開では、 $q=e^{\pi i\tau }$ はノームであり、次のように与えられます。

\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots

（OEISの配列A115977）

X (2)上の対称群S ₃の正準作用の下でラムダ関数を対称化し、適切に正規化することにより、上半平面上の関数が得られ、それは完全なモジュラー群の下で不変である。 $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ 、そしてそれは実際にはクラインのモジュラーj不変量である。

モジュール式の特性

機能 $\lambda (\tau )$ ^[¹^]によって生成される群の下で不変である

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\

モジュラー群の生成子は^{[ 2 ]によって作用する。}

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\

{\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\

したがって、モジュラー群の作用は $\lambda (\tau )$ これは非調和群のものであり、交差比の6つの値を与えます: ^{[ 3 ]}

\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .

他の機能との関係

これは楕円モジュラスの二乗であり、 ^{[ 4 ]}すなわち、 $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$ デデキントのイータ関数に関して言えば $\eta (\tau )$ およびシータ関数、^{[ 4 ]}

\lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}

そして、

{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}

^[ 5 ^]

\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}

\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}

\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}

ワイエルシュトラスの楕円関数の半周期に関して、 $[\omega _{1},\omega _{2}]$ 基本的な期間のペアである $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ 。

e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)

^[ 4 ^]

\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.

3つの半周期の値はそれぞれ異なるため、これは次のことを示しています。 $\lambda$ 0または1の値は取らない。^{[ 4 ]}

j不変量との関係は^{[ 6 ]}^[⁷^]である。

j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .

これはルジャンドル形式の楕円曲線のj不変量である。 $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

与えられた $m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ 、させて

\tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}

どこ $K$ は、パラメータを持つ第1種完全楕円積分である。 $m=k^{2}$ 。それから

\lambda (\tau )=m.

モジュラー方程式

次数のモジュラー方程式 $p$ （どこ $p$ は素数です) は代数方程式です $\lambda (p\tau )$ そして $\lambda (\tau )$ 。もし $\lambda (p\tau )=u^{8}$ そして $\lambda (\tau )=v^{8}$ 次数モジュラー方程式 $p=2,3,5,7$ それぞれ、^{[ 8 ]}

(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,

u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,

u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,

(1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.

数量 $v$ （したがって） $u$ は上半平面上の正則関数と考えることができる $\operatorname {Im} \tau >0$ :

{\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

以来 $\lambda (i)=1/2$ モジュラー方程式を使用すると、代数的な値が得られます。 $\lambda (pi)$ どのプライムでも $p$ [^注2^]^代数的値は $\lambda (ni)$ ^{[ 9 ]}^[^注3^]によっても与えられている。

\lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})

\lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})

どこ $\operatorname {sl}$ レムニスケートのサインと $\varpi$ はレムニスケート定数です。

ラムダスター

ラムダスターの定義と計算

機能 $\lambda ^{*}(x)$ ^{[ 10 ]} (ここで $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ) は楕円モジュラスの値を示します $k$ 、第一種完全楕円積分 $K(k)$ そしてその補完的な対応物 $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ それらは次の式で関連付けられます。

{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}

値 $\lambda ^{*}(x)$ 以下のように計算できます。

\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}

機能 $\lambda ^{*}$ そして $\lambda$ 両者は次のような関係にある。

\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}

ラムダスターの特性

毎 $\lambda ^{*}$ 正の有理数の値は正の代数的数である。

\lambda ^{*}(x)\in {\overline {\mathbb {Q} }}_{+}\quad \forall x\in \mathbb {Q} ^{+}.

$K(\lambda ^{*}(x))$ そして $E(\lambda ^{*}(x))$ （第2種完全楕円積分）は、任意のに対してガンマ関数を用いて閉じた形で表すことができる。 $x\in \mathbb {Q} ^{+}$ セルバーグとチョウラが1949年に証明したように。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

以下の式はすべての場合に有効です $n\in \mathbb {N}$ :

{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]

どこ $\operatorname {dn}$ はヤコビ楕円関数デルタ振幅であり、その絶対値は $k$ 。

1つを知ることで $\lambda ^{*}$ 値、この式は関連する計算に使用できます $\lambda ^{*}$ 値: ^{[ 9 ]}

\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}

どこ $n\in \mathbb {N}$ そして $\operatorname {sn}$ は、モジュラスを持つヤコビ楕円関数 sinus amplitudinis です。 $k$ 。

その他の関連情報：

\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1

[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2

\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}

\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}

${\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}$

ラマヌジャンのクラス不変量

ラマヌジャンのクラス不変量 $G_{n}$ そして $g_{n}$ ^[¹³^]として定義される

G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

どこ $n\in \mathbb {Q} ^{+}$ そういう場合 $n$ クラス不変量は代数的数である。例えば

g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.

クラス不変量との同一性には^{[ 14 ]が含まれる。}

G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.

クラス不変量はウェーバーのモジュラー関数と非常に密接に関連している。 ${\mathfrak {f}}$ そして ${\mathfrak {f}}_{1}$ ラムダスターとクラス不変量との関係は以下のとおりです。

G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]

g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}

\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}

その他の出演

小ピカール定理

ラムダ関数は、複素平面上の完全非定数関数は1 つ以上の値を省略できないというリトル・ピカール定理の元の証明で使用されています。この定理は 1879 年にピカールによって証明されました。 ^[¹⁵^] 可能であれば、f が完全であり、0 と 1 の値を取りません。λ は正則なので、0、1、∞ から離れた局所正則逆関数 ω を持ちます。関数z → ω( f ( z )) を考えます。モノドロミーの定理により、これは正則であり、複素平面Cを上半平面に写像します。これから、Cから単位円盤への正則関数を簡単に構成できます。これは、リウヴィルの定理により定数でなければなりません。^[¹⁶^]

密造酒

機能 $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ は、群の正規化された主モジュールです。 $\Gamma _{0}(4)$ 、そしてそのq展開 $q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots$ （ OEISの配列A007248） $q=e^{2\pi i\tau }$ は、モンスター頂点代数に作用するモンスター群の共役類4Cに属する任意の要素の次数付き指標である。

脚注

↑チャンドラセカラン (1985) p.115
↑チャンドラセカラン (1985) p.109
↑チャンドラセカラン (1985) p.110
1 2 3 4チャンドラセカラン (1985) p.108
↑チャンドラセカラン (1985) p.63
↑チャンドラセカラン (1985) p.117
↑ランキン（1977）pp.226–228
↑ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987).円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究(初版 ). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7。103～109ページ、134ページ
1 2ヤコビ、カール・グスタフ・ヤコブ（1829年）。Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (ラテン語)。42ページ
↑ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987).円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究(初版). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7。152ページ
↑ Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "On Epstein's Zeta Function (I)" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . S2CID 45071481 .
↑ Chowla, S.; Selberg, A. 「エプスタインのゼータ関数について」 . EuDML . pp. 86–110 .
↑ Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (1997年6月6日). "ラマヌジャンのクラス不変量、クロネッカーの極限公式、およびモジュラー方程式" .アメリカ数学会紀要. 349 (6): 2125– 2173.
↑エイマール、ピエール。ラフォン、ジャンピエール (1999)。Autour du nombre Pi (フランス語)。ヘルマン。ISBN 2705614435。240ページ
↑チャンドラセカラン (1985) p.121
↑チャンドラセカラン (1985) p.118

参考文献

注記

↑ $\lambda (\tau )$ はモジュラー関数ではない（Wikipediaの定義による）が、すべてのモジュラー関数は有理関数である $\lambda (\tau )$ 。著者によっては、「モジュラー関数」の定義が等価でない場合もあります。
↑任意の素数べき乗に対して、次数のモジュラー方程式を反復することができます $p$ このプロセスは、代数的な値を与えるために使用できます。 $\lambda (ni)$ いかなる場合でも $n\in \mathbb {N} .$
↑ $\operatorname {sl} a\varpi$ すべての $a\in \mathbb {Q} .$

他の

アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン A.編 (1972)、『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-61272-0、Zbl 0543.33001
Chandrasekharan, K. (1985)、Elliptic Functions、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 281、シュプリンガー版、 108–121ページ、ISBN 3-540-15295-4、Zbl 0575.33001
コンウェイ、ジョン・ホートン；ノートン、サイモン（1979）「怪物のような月光」、ロンドン数学会報、11（3）：308–339、doi：10.1112/blms/11.3.308、MR 0554399、Zbl 0424.20010
ランキン、ロバート A. (1977)、『モジュール形式と機能』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-21212-X、Zbl 0376.10020
Reinhardt, WP; Walker, PL (2010)、「楕円型モジュラー関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248 。

Borwein, JM および Borwein, PB『Pi と AGM: 解析的数論と計算複雑性の研究』ニューヨーク: Wiley、139 および 298 頁、1987 年。

Conway, JH および Norton, SP「Monstrous Moonshine」Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.

Selberg, A. および Chowla, S.「エプスタインのゼータ関数について」J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

外部リンク

Fungrimのモジュール型ラムダ関数

[C115-2] チャンドラセカラン (1985) p.115

[C109-3] チャンドラセカラン (1985) p.109

[C110-4] チャンドラセカラン (1985) p.110

[C108-5] 1 2 3 4チャンドラセカラン (1985) p.108

[C63-6] チャンドラセカラン (1985) p.63

[C117-7] チャンドラセカラン (1985) p.117

[8] ランキン（1977）pp.226–228

[9] ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987).円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究(初版 ). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7。103～109ページ、134ページ

[Jacobi-11] 1 2ヤコビ、カール・グスタフ・ヤコブ（1829年）。Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (ラテン語)。42ページ

[13] ボルウェイン、ジョナサン M.、ボルウェイン、ピーター B. (1987).円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性に関する研究(初版). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7。152ページ

[14] Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "On Epstein's Zeta Function (I)" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . S2CID 45071481 .

[15] Chowla, S.; Selberg, A. 「エプスタインのゼータ関数について」 . EuDML . pp. 86–110 .

[16] Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (1997年6月6日). "ラマヌジャンのクラス不変量、クロネッカーの極限公式、およびモジュラー方程式" .アメリカ数学会紀要. 349 (6): 2125– 2173.

[17] エイマール、ピエール。ラフォン、ジャンピエール (1999)。Autour du nombre Pi (フランス語)。ヘルマン。ISBN 2705614435。240ページ

[18] チャンドラセカラン (1985) p.121

[19] チャンドラセカラン (1985) p.118

[1] $\lambda (\tau )$ はモジュラー関数ではない（Wikipediaの定義による）が、すべてのモジュラー関数は有理関数である $\lambda (\tau )$ 。著者によっては、「モジュラー関数」の定義が等価でない場合もあります。

[10] 任意の素数べき乗に対して、次数のモジュラー方程式を反復することができます $p$ このプロセスは、代数的な値を与えるために使用できます。 $\lambda (ni)$ いかなる場合でも $n\in \mathbb {N} .$

[12] $\operatorname {sl} a\varpi$ すべての $a\in \mathbb {Q} .$

[注1 ]

[

[ 2 ]によって作用する。

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[

[ 8 ]

注2

[ 9 ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]が含まれる。

[

[