カテナリーリング

数学において、可換環 Rがカテナリーであるとは、任意の素イデアル p、qのペアに対して、任意の 2 つの厳密に増加する連鎖

p = p ₀ ⊂ p ₁ ⊂ ... ⊂ p _n = q

素イデアルは、同じ（有限の）長さのpからqへの極大の厳密に増加する連鎖に含まれています。素イデアルに付随する代数多様体の次元は、素イデアルが大きくなるにつれて減少する幾何学的な状況では、そのような連鎖の長さnは通常、次元の差です。

環上のすべての有限生成代数がカテナリー環である場合、 その環は普遍カテナリー環と呼ばれます。

「カテナリー」という言葉は、「鎖」を意味するラテン語の「catena」に由来しています。

次のような包含関係の連鎖がある。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

Aがネーター領域で、BがA を含むA上有限生成領域である とする。P がBの素イデアルで、 p がAとの共通部分である場合、

${\displaystyle {\text{height}}(P)\leq {\text{height}}(p)+{\text{tr.deg.}}_{A}(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P)).}$

普遍カテナリー環の次元公式によれば、 Aが普遍カテナリーである場合、等式が成立する。ここで、κ( P ) はPの剰余体であり、tr.deg. は（商体の）超越次数を意味する。実際、Aが普遍カテナリーでなく、の場合でも、等式が成立する。^[1]${\displaystyle B=A[x_{1},\dots,x_{n}]}$

代数幾何学に現れるほぼすべてのネーター環は普遍懸垂線状である。特に、以下の環は普遍懸垂線状である。

• 完全なネーター局所環
• デデキント領域（および体）
• コーエン・マコーレー環（および正則局所環）
• 普遍懸垂線環の任意の局所化
• 普遍カテナリー環上の任意の有限生成代数。

普遍カテナリーでないネーター環の例を構築するのは微妙です。最初の例は永田正義 (1956、1962、203 ページの例 2) によって発見されました。永田は、カテナリーではあるが普遍カテナリーではない 2 次元ネーター局所領域を発見しました。

永田の例は次のとおりです。体kと、k上のxの形式的冪級数 の環S上の形式的冪級数z =Σ _{i >0} a _i x ⁱを選択し、 zとx が代数的に独立になるようにします。

z ₁ = zおよびz _{i +1} = z _i /x– a _iと定義します。

R をxとすべての元z _iによって生成される (非ノイザン) 環とします。

m をイデアル ( x ) とし、n をx –1 とすべての元z _iによって生成されるイデアルとします。これらは両方ともRの極大イデアルであり、剰余体はkと同型です。局所環R _{m は}次元 1 の正則局所環であり (この証明では、zとxが代数的に独立であるという事実を使用します)、局所環R _{n は}次元 2 の正則ノイザン局所環です。

B をmとn のどちらにも属さないすべての元に関するRの局所化とします。すると、Bは 2 つの最大イデアルmB (高さ 1) とnB (高さ 2)を持つ 2 次元ノイザン半局所環になります。

I をBのヤコブソン根号とし、A = k + Iとします。環Aは最大イデアルIを持つ次元 2 の局所領域であるため、カテナリーです。これは、すべての 2 次元局所領域がカテナリーであるためです。環Aはノイザンです。これは、 Bがノイザンであり、有限Aモジュールであるためです。しかし、Aは普遍カテナリーではありません。なぜなら、普遍カテナリー環の次元公式により、 BのイデアルmB はmB ∩ Aと同じ高さになりますが、後者のイデアルの高さは dim( A )=2に等しいからです。

永田の例も準優秀な環なので、優秀な環ではない準優秀な環の例を示しています。

• 形式的にカテナリー リング(普遍的にカテナリー リングと同じ)。

• H. Matsumura,可換代数1980 ISBN 0-8053-7026-9 . 
• 永田 正義 (1956)、「素イデアルの連鎖問題について」、 名古屋数学誌、10 :51–64、doi : 10.1017/S0027763000000076、MR0078974  、S2CID122444738
• 永田 正義 (1962)、局所環、Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics、第 13 巻、ニューヨーク-ロンドン: Interscience Publishers、John Wiley & Sons の一部門; RE Krieger Pub. Co (1975) により再版ISBN 0-88275-228-6 

• リング理論
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• ゴレンシュタインのローカルリング