グロタンディーク群

数学において、可換モノイドMのグロタンディーク群（Grothendieck group ）または差分群^[1]は、あるアーベル群である。このアーベル群は、Mの準同型像を含む任意のアーベル群は、 Mのグロタンディーク群の準同型像も含むという意味で、最も普遍的な方法でMから構成される。グロタンディーク群の構成は、アレクサンダー・グロタンディークがグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の証明で導入した圏論の特定のケースにちなんで名付けられ、その結果、 K 理論が発展した。この特定のケースは、アーベル圏の対象の同型類のモノイドであり、その演算は直和である。

可換モノイドMが与えられたとき、 Mから生じる「最も一般的な」アーベル群K は、 Mのすべての元に逆元を導入することによって構築されます。このようなアーベル群K は常に存在し、 Mのグロタンディーク群と呼ばれます。これは、特定の普遍的性質によって特徴付けられ、 Mから具体的に構築することもできます。

M が相殺特性を持たない場合（つまり、Mにa、b、c が存在し、かつとなる場合）、グロタンディーク群KはM を含むことができません。特に、任意のに対してを満たすゼロ元を持つ乗法的に表記されたモノイド演算の場合、グロタンディーク群は自明群（ 1つの元のみを持つ群）でなければなりません。 ${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle ac=bc}$${\displaystyle 0.x=0}$${\displaystyle x\in M,}$

${\displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}$

すべてのxについて。

M を可換モノイドとする。そのグロタンディーク群は、次の普遍的性質を満たすモノイド準同型を持つアーベル群Kである。Mからアーベル群Aへの任意のモノイド準同型に対して、次のような唯一の群準同型が存在する。 ${\displaystyle i\colon M\to K}$${\displaystyle f\colon M\to A}$ ${\displaystyle g\colon K\to A}$${\displaystyle f=g\circ i.}$

これは、 Mの準同型像を含む任意のアーベル群AにはKの準同型像も含まれるという事実を表しています。KはMの準同型像を含む「最も一般的な」アーベル群です。

可換モノイドMのグロタンディーク群K を構築するには、直積 を形成します。2 つの座標は正の部分と負の部分を表すため、Kの に対応します。 ${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

上の加算は座標ごとに定義されます。 ${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$。

次に、 上の同値関係を定義します。これは、Mの何らかの元kに対して、 m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + kである場合に と同値になります(元kが必要なのは、すべてのモノイドで相殺則が成り立つわけではないためです)。元 ( m ₁ , m _{2 ) の}同値類は [( m ₁ , m ₂ )] で表されます。K を同値類の集合として定義します。M × M上の加算演算は同値関係と互換性があるため、 K上の加算が得られ、K はアーベル群になります。 Kの単位元は [(0, 0)] であり、[( m ₁ , m ₂ )]の逆元は [( m ₂ , m ₁ )] です。準同型により、元m は[( m , 0)]になります。 ${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$${\displaystyle i:M\to K}$

あるいは、 Mのグロタンディーク群K は、生成元と関係を使用して構成することもできます。集合Mによって生成される自由アーベル群を で表すと、グロタンディーク群K はを によって生成される部分群で割った商です。(ここで、 +′ と −′ は自由アーベル群での加算と減算を表し、 + はモノイドMでの加算を表します。) この構成の利点は、任意の半群Mに対して実行でき、半群の対応する普遍的性質を満たす群、つまり「 Mの準同型像を含む最も一般的で最小の群」を生成することです。これは、「半群の群完備化」または「半群の分数の群」として知られています。 ${\displaystyle (Z(M),+')}$${\displaystyle Z(M)}$ ${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$${\displaystyle Z(M)}$

圏論の言語では、あらゆる普遍的な構成は関手を生み出す。したがって、可換モノイドの圏からアーベル群の圏への関手が得られ、これは可換モノイドM をそのグロタンディーク群Kに送る。この関手は、アーベル群の圏から可換モノイドの圏への 忘却関手の左随伴である。

可換モノイドMに対して、写像i  :  M → Kは、 M が消去特性を持つ場合のみ単射であり、Mがすでに群である 場合のみ全単射である。

グロタンディーク群の最も簡単な例は、（加法的な）自然数から整数 を構成することである。まず、自然数（0を含む）と通常の加法を組み合わせると、確かに可換モノイドを形成することがわかる。ここで、グロタンディーク群の構成を使用すると、 n − mの要素としての自然数間の形式的な差異が得られ、同値関係が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$一部の人にとっては。${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$

定義する

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

これは整数を定義します。実際、これは自然数から整数を取得するための通常の構成です。詳細な説明については、 整数の「構成」を参照してください。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

同様に、乗法可換モノイドのグロタンディーク群（1から始まる）は、 ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$一部の人にとって${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

もちろん、これは正の有理数と同一視できます。

グロタンディーク群は、K理論の基本的な構成です。コンパクト多様体Mの群は、M上の有限ランクのベクトルバンドルのすべての同型類の可換モノイドのグロタンディーク群として定義され、モノイド演算は直和で与えられます。これにより、多様体からアーベル群への反変関手が得られます。この関手は、位相的K理論で研究され、拡張されています。 ${\displaystyle K_{0}(M)}$

(必ずしも可換ではない)環Rのゼロ代数 K 群は、 R上の有限生成射影加群の同型類からなるモノイドのグロタンディーク群であり、モノイド演算は直和で与えられます。したがって、は環からアーベル群への 共変関手です。${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

前の 2 つの例は関連しています。がコンパクト多様体M上の複素数値滑らかな関数の環である場合を考えます。この場合、射影R加群はM上のベクトル束と双対です ( Serre-Swan の定理により)。したがって、 と は同じ群です。 ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(M)}$

グロタンディーク群という名前を持つ別の構成は次の通りである。Rをある体k上の有限次元代数、またはより一般的にはアルティン環とする。そして、有限生成R加群の同型類の集合と次の関係によって生成されるアーベル群としてグロタンディーク群を定義する。任意の短完全列に対して ${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Rモジュールの関係を追加する

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

この定義は、任意の2つの有限生成R加群MとNに対して、分割短完全列 ${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

K を体とします。すると、グロタンディーク群は、任意の有限次元 K ベクトル空間 V の記号によって生成されるアーベル群になります。実際、 は、その生成元が元であると同型です。ここで、有限次元Kベクトル空間Vの記号は、ベクトル空間Vの次元として定義されます。次のようなKベクトル空間の短い正確な列があるとします。 ${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [K]}$${\displaystyle [V]}$${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

ベクトル空間の任意の短完全列は分割されるため、 が成り立ちます。実際、任意の 2 つの有限次元ベクトル空間VとWに対して、次が成り立ちます。 ${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

したがって、上記の等式は、グロタンディーク群における 記号の条件を満たします。${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

任意の 2 つの同型有限次元Kベクトル空間は同じ次元を持つことに注意してください。また、同じ次元の任意の 2 つの有限次元Kベクトル空間VとWは互いに同型です。実際、すべての有限n次元Kベクトル空間V はと同型です。したがって、前の段落の観察から次の式が証明されます。 ${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

したがって、すべてのシンボルは整数係数を持つ要素によって生成され、これは生成元 と同型であることを意味します。 ${\displaystyle [V]}$${\displaystyle [K]}$${\displaystyle G_{0}(K)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [K]}$

より一般的には、 を整数の集合とします。グロタンディーク群は、任意の有限生成アーベル群Aの記号によって生成されるアーベル群です。まず、任意の有限アーベル群G はを満たすことに留意してください。次の短い正確なシーケンスが成り立ちます。ここで、写像はnによる乗算です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [G]=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

正確な数列はを意味するので、すべての巡回群の記号は 0 に等しくなります。これはまた、すべての有限アーベル群G が有限アーベル群の基本定理によって を満たすことを意味します。${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$${\displaystyle [G]=0}$

有限生成アーベル群の基本定理により、すべてのアーベル群Aは、非負の整数rに対して、捩れ部分群と捩れのないアーベル群の直和に同型であり、これをAの階数と呼び、 と表記することに注意してください。記号を と定義します。すると、グロタンディーク群は生成子 に対してと同型になります。実際、前の段落から得た観察から、すべてのアーベル群Aの記号は の記号と同じであることが示されています。さらに、アーベル群の階数は、グロタンディーク群の記号の条件を満たしています。次のアーベル群の短い完全列があるとします。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

すると、有理数によるテンソル化は次の式を意味します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

上記は- ベクトル空間の短い完全列なので、列は分割されます。したがって、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

一方、次の関係も存在します。詳細については、アーベル群のランクを参照してください。

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

したがって、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

したがって、生成子が${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

グロタンディーク群は普遍的性質を満たします。予備的な定義を行います。同型類の集合からアーベル群への関数は、各正確な列 に対して、 が成り立つとき、加法的と呼ばれます。すると、任意の加法的関数 に対して、を因数分解できる唯一の群準同型と、の各オブジェクトを における同型類を表す要素に取る写像 が存在します。具体的には、はすべての有限生成- 加群に対して方程式 を満たし、 はそれを満たす唯一の群準同型であることを意味します。 ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle G_{0}(R).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$

加法関数の例としては、表現論の指標関数が挙げられます。 が有限次元 -代数である場合、指標 をすべての有限次元-加群に関連付けることができます。 は、 上の元との乗算によって与えられる-線型写像のトレースとして定義されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle V}$

適切な基底を選択し、対応する行列をブロック三角形式で記述すると、特性関数が上記の意味で加法的であることが簡単にわかります。普遍的性質により、次のような「普遍特性」が得られます。 ${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

およびが有限群の群環である場合、この指標写像は、および指標環の自然な同型さえも与えます。有限群のモジュラー表現論では、 は、 p個の元を持つ有限体の代数閉包体になることができます。この場合、各- モジュールにそのBrauer 指標を関連付ける同様に定義された写像も、Brauer 指標の環への自然な同型です。このようにして、グロタンディーク群は表現論に現れます。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$${\displaystyle Ch(G)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

この普遍的な性質は、一般化されたオイラー特性の「普遍的な受信者」も作ります。特に、${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

一つは正統的な要素を持つ

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

実際、グロタンディーク群はもともとオイラー特性の研究のために導入されました。

これら 2 つの概念の一般的な一般化は、正確なカテゴリ のグロタンディーク群によって与えられます。簡単に言えば、正確なカテゴリは、区別された短いシーケンスA → B → Cのクラスを伴う加法カテゴリです。区別されたシーケンスは「正確なシーケンス」と呼ばれ、これが名前の由来です。この区別されたクラスの正確な公理は、グロタンディーク群の構築には関係ありません。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

グロタンディーク群は、前述と同様に、 カテゴリの各オブジェクト（の同型類）に対して1つの生成元[ M ]と1つの関係 を持つアーベル群として定義される。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

それぞれの正確なシーケンスについて

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$。

あるいは、同等に、普遍的性質を使用してグロタンディーク群を定義することもできます。からアーベル群Xへの写像は、すべての正確なシーケンスに対して が成り立つとき、「加法的」と呼ばれます。アーベル群Gと加法写像をのグロタンディーク群と呼ぶのは、すべての加法写像がを介して一意に因数分解される場合に限ります。 ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$${\displaystyle \phi }$

「正確」の標準的な解釈を使用する場合、すべてのアーベルカテゴリは正確なカテゴリです。これにより、有限生成R加群のカテゴリを として選択すると、前のセクションのグロタンディーク群の概念が得られます。これは、前のセクションで R がアルティン (したがってネーター) であると想定されているため、実際にはアーベルです。${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

一方、標準的な包含写像と射影写像を持つ形式を持つシーケンスのみを正確であると宣言すれば、すべての加法カテゴリも正確になります。この手順により、最初の意味での可換モノイドのグロタンディーク群が生成されます (ここでは、の同型類の「集合」[すべての基本的な問題を無視] を意味します)。 ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

さらに一般化すると、三角形カテゴリのグロタンディーク群を定義することも可能である。構成は本質的には同様であるが、区別された三角形X → Y → Z → Xが存在する場合は常に[ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0の関係を使用する[1]。

• 体k上の有限次元ベクトル空間のアーベル圏では、2つのベクトル空間が同型となるのは、それらが同じ次元を持つ場合のみである。したがって、ベクトル空間Vに対して

${\displaystyle [V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

さらに、正確なシーケンス

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + nなので

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

したがって

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

はと同型であり、によって生成される。最後に、有限次元ベクトル空間V  *の有界複体に対して、${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

ここで、標準オイラー特性は次のように定義されます。${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• 環空間 に対して、 X上のすべての局所自由層のカテゴリを考えることができます。は、このカテゴリの Grothendieck 群として定義され、これもまた関数を与えます。${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle K_{0}(X)}$
• 環空間 の場合、カテゴリをX上のすべての連接層のカテゴリとして定義することもできます。これには、ネーター環R上の有限生成加群のカテゴリであるという特別なケース (環空間がアフィン スキームである場合)が含まれます。どちらの場合も はアーベル カテゴリであり、さらに正確なカテゴリであるため、上記の構成が適用されます。${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• R が何らかの体上の有限次元代数である場合、グロタンディーク群(有限生成加群の短い正確な列を介して定義) と(有限生成射影加群の直和を介して定義) は一致する。実際、両方の群は、単純なR加群の同型類によって生成される自由アーベル群に同型である。${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$
• 環または環付き空間の別のグロタンディーク群があり、これは時々役に立ちます。この場合のカテゴリは、環付き空間上のすべての準コヒーレント層のカテゴリとして選択され、アフィンスキームの場合は、ある環R上のすべてのモジュールのカテゴリに還元されます。は関手ではありませんが、それでも重要な情報を持っています。${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$
• (有界) 導来カテゴリは三角形化されているため、導来カテゴリにもグロタンディーク群が存在します。これは、たとえば表現論に応用されています。ただし、有界でないカテゴリではグロタンディーク群は消えます。ある複雑な有限次元正次数代数の導来カテゴリでは、有限次元次数付き加群のアーベルカテゴリAを含む有界でない導来カテゴリにサブカテゴリが存在し、そのグロタンディーク群はAのグロタンディーク群のq進完備化です。

• 分数の分野
• ローカリゼーション
• 位相的K理論
• 位相的 K 理論を計算するためのAtiyah–Hirzebruch スペクトル列

• Michael F. Atiyah著「K-Theory」（DWAnderson 著、1964 年秋）は、1967 年に WA Benjamin Inc.、ニューヨークから出版されました。
• Achar, Pramod N.; Stroppel, Catharina (2013)、「グロタンディーク群の完成」、ロンドン数学会誌、45 (1): 200–212、arXiv : 1105.2715、doi :10.1112/blms/bds079、MR  3033967、S2CID  260493607。
• 「グロタンディーク群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「グロタンディーク群」。PlanetMath 。
• 代数的ベクトル束のグロタンディーク群; アフィン空間と射影空間の計算
• 滑らかな射影複素曲線のグロタンディーク群