積分要素

可換代数において、可換環Bの元bがBの部分環A上で整列しているとは、bがA上のある単項多項式の根であることを意味する。^[1]

A、Bが体である場合、「上の積分」および「積分拡大」の概念は、まさに体論における「上の代数的」および「代数拡大」です（任意の多項式の根は単項多項式の根であるため）。

数論で最も興味深いケースは、 Z上で積分される複素数の場合です(例:または)。この文脈では、積分元は通常、代数的整数と呼ばれます。有理数Qの有限拡大体k内の代数的整数は、kの整数環と呼ばれるkの部分環を形成し、代数的数論における中心的な研究対象です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1+i}$

この記事では、環という用語は、乗法単位元を持つ可換環を意味するものと理解されます。

を環とし、を の部分環とする。の元が に対して整式であるとは、に対して が 存在し、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$$

上で整であるの元の集合はにおけるの整閉包と呼ばれる。の任意の部分環の整閉包は、それ自体が の部分環であり、 を含む。のすべての元が上で整である場合、 は上で整である、または同値として はの整拡大であると言う。${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$

積分閉包の例は代数体拡大(または)の整数環を定義する上で基本的なものであるため、代数的整数論には数多く存在します。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle L/\mathbb {Q} _{p}}$

Qの要素のうち、 Zに対して整列する要素は整数だけです。言い換えると、Z はQにおけるZの整列閉包です。

ガウス整数は、 の形式の複素数であり、Z上で積分です。は、におけるZの積分閉包です。 通常、この環は と表記されます。 ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}}$

Zの整閉環は環で ある${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]}$

この例と前の例は、 2 次整数の例です。2 次拡大の積分閉包は、任意の要素の最小多項式を構成し、多項式が整数係数を持つための数論的基準を見つけることによって見つけることができます。この分析は、2 次拡大の記事に記載されています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$

ζを1の根とします。すると円分体Q (ζ)におけるZの積分閉包はZ [ζ]です。^[2]これは最小多項式とアイゼンシュタインの基準を使って求めることができます。

複素数体CにおけるZの整閉包、または代数的閉包は代数的整数の環と呼ばれます。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

任意の環における単位根、冪零元、冪等元はZ上で整式である。

幾何学において、積分閉包は正規化や正規スキームと密接に関係しています。これは、余次元 1 の特異点を解決するプロセスを与えるため、 特異点解決の第一歩となります。

• たとえば、 の整閉包は環です。幾何学的には、最初の環は- 平面と- 平面の和集合に対応します。それらは、交差する - 軸に沿って余次元 1 の特異点を持ちます。${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(xy)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle z}$
• 有限群 G が 環Aに作用するとします。このとき、A はGによって固定された元の集合であるA ^Gに対して整式です。不変量の環を参照してください。
• Rを環とし、uをRを含む環の単位とします。すると^[3]

1. u ^−1がR 上で積分となるのは、 u ⁻¹ ∈ R [ u ]の場合のみです 。
2. ${\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]}$はR上で積分です。
3. 正規射影多様体Xの同次座標環の整閉包は切断環である^[4]

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$

• が体kの代数閉包である場合、は${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$
• C (( x ))の有限拡大におけるC [[ x ]]の整閉包は、次の形式である( Puiseux 級数を参照) ^{[引用が必要]}${\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]}$

B を環とし、 A を B の部分環とする。Bの元bが与えられた場合、次の条件は同値である。

(i) bはA上で整列している。

(ii) Aとbによって生成されるBの部分環A [ b ]は有限生成A加群である。

(iii) A [ b ]を含むBの部分環Cが存在し、それが有限生成A加群である。

(iv)忠実な A [ b ]-加群Mが存在し、MはA-加群として有限生成される。

この証明は通常、行列式に関するケーリー・ハミルトン定理の次の変形を使用します。

定理u をn個の元によって生成されるA加群Mの自己準同型とし、I をAのイデアルでとする。このとき、次の関係が成立する。 ${\displaystyle u(M)\subset IM}$

${\displaystyle u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.}$

この定理（I = Aかつu をbで乗算）は (iv) ⇒ (i) を与え、残りは簡単です。偶然にも、中山の補題もこの定理から直接導かれます。

上記の 4 つの同値なステートメントから、上で整列するの元の集合はを含むの部分環を形成することがわかります。(証明: x、yが上で整列する の元である場合、 は上で整列します。なぜなら、これらは 上の有限生成加群であり、ゼロによってのみ消滅するからです。) ^[5]この環はにおけるの整閉包と呼ばれます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x+y,xy,-x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A[x]A[y]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

上記の同値性のもう 1 つの結果は、「積分性」が次の意味で推移的であるということです。 をと を含む環とします。が 上で積分であり上で積分である場合、 は上で積分です。特に、自体が 上で積分であり が上で積分である場合、も 上で積分です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

が におけるの整閉包である場合、A はにおいて整閉であると言われる。が の分数体全体環である場合（例えば、が整域である場合の分数体）、「 における」という修飾語を省略し、単に「 の整閉包であり は整閉である」と言うことがある。^[6]例えば、整数環は体 において整閉である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

A を分数体Kを持つ整域とし、A' をKの代数体拡大LにおけるAの整閉包とする。このとき、 A'の分数体 LはLである。特に、A' は整閉域である。

この状況は、代数的整数論において整数環と体拡大を関連付けるときに適用できます。特に、体拡大が与えられた場合、の整閉包は整数環です。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

上記の積分性の推移性は、 が上で積分である場合、 は有限生成- 加 群である部分環の和集合 (帰納的極限と同値) であることを意味することに注意してください。${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

がネーターである場合、積分の推移性は次のように弱めることができます。 ${\displaystyle A}$

を含むの有限生成 -サブモジュールが存在する。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A[b]}$

最後に、が の部分環であるという仮定は少し修正できる。 が環準同型である場合、が 上で整列しているならばは整列していると言える。同様に、 は有限（有限生成- 加群）または有限型（有限生成-代数） であると言える。この観点から、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle f}$は、整数かつ有限型である場合に限り有限です。${\displaystyle f}$

あるいはもっと明確に言えば、

${\displaystyle B}$が有限生成- 加群であるためには、が 上の有限個の要素の積分によって -代数として生成される必要がある。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

整式拡大A  ⊆  Bには、上昇特性、覆い被さり特性、および比較不可能特性 (コーエン・ザイデンベルグの定理) があります。明示的には、 Aの素イデアル の連鎖が与えられたとき、Bに(上昇および覆い被さり)を満たすa が存在し、包含関係にある 2 つの異なる素イデアルは同じ素イデアルに縮約できません (比較不可能)。特に、 AとBのクルル次元は同じです。さらに、A が整式閉領域である場合、下降が成り立ちます (以下を参照)。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A}$

一般的に、上がることは横になることを意味します。^[7]したがって、以下では、「上がる」は「上がる」と「横になる」の意味で単に言います。

A、B がA上整列となるような領域である場合、A が体となるのは、B が体である場合に限ります。系として、Bの素イデアルが与えられたとき、がBの極大イデアルとなるのは、 がAの極大イデアルである場合に限ります。別の系として、L / K が代数拡大である場合、K を含むLの任意の部分環は体です。 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$

B を部分環A上の整式環とし、kを代数的に閉体とする。が準同型ならば、f は準同型B → kに拡張される。^[8]これは上述から導かれる。 ${\displaystyle f:A\to k}$

を環の整拡大とする。すると誘導写像 ${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle {\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}}$

は閉写像です。実際、任意のイデアルIに対して、fが単射であれば は射影的です。これは上昇の幾何学的解釈です。 ${\displaystyle f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))}$${\displaystyle f^{\#}}$

B を環とし、A をネーター整閉領域（すなわち、は正規スキーム）である部分環とする。BがAに対して整列している場合、 は沈み込み可能である。すなわち、の位相は商位相である。^{[9]証明では}構成可能集合の概念を使用する。（参照：トルソー（代数幾何学）） ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

が上積分であれば、任意のA代数Rに対して はR上積分である。^[10]特に、は閉じている。つまり、積分拡大は「普遍的に閉じた」写像を誘導する。これにより、積分拡大の幾何学的特徴付けが導かれる。つまり、B を有限個の極小素イデアルのみを持つ環（例えば、積分領域またはネーター環）とする。すると、B が（部分環） A上積分であるための必要十分条件は、 が任意のA代数Rに対して閉じている場合である。^[11]特に、すべての適切な写像は普遍的に閉じている。^[12]${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\otimes _{A}R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$

命題。Aを分数体K を持つ整閉領域とし、LをKの有限正規拡大、B をLにおけるAの整閉包とします。このとき、群はの各ファイバーに対して推移的に作用します。 ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

証明。G内の任意の についてと仮定します。すると、素数回避により、任意の について となる 内の元xが存在します。Gは元を固定するため、y はK上で純粋に分離不可能です。すると、あるべき乗がKに属します。Aは整閉であるため、次が成り立ちます。したがって、はに含まれますが には含まれないことがわかりました。つまり、 です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$${\displaystyle \sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle y^{e}\in A.}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$

ガロア群は、固定された素イデアル上にあるすべての素イデアルに作用する。^[13]つまり、 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

集合 上にガロア作用が存在します。これはガロア拡大における素イデアルの分割と呼ばれます。 ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$

証明における同じ考え方は、 が純粋に分離不可能な拡大（正規である必要はない）である場合、 は全単射であることを示しています。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

A、Kなどを前と同じように扱いますが、 L はKの有限体拡大に過ぎないと仮定します。すると

(i) は有限の繊維を持つ。${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

(ii) AとBの間には下降が成立する: が与えられている場合、それに収縮する が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$

実際、両方のステートメントで、L を拡大することにより、 L が正規の拡張であると仮定できます。すると (i) は即時です。 (ii) に関しては、上に行くと、に縮小するチェーンを見つけることができます。推移性により、 となるようなが存在し、 は目的のチェーンです。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}''_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})}$

A ⊂ Bを環とし、A' をBにおけるAの整閉包とする。(定義については上記を参照。)

整閉包は様々な構成の下でうまく機能します。具体的には、Aの乗法的に閉じた部分集合 Sに対して、局所化S ⁻¹ A'はS ⁻¹ BにおけるS ⁻¹ Aの整閉包であり、におけるの整閉包です。^[14]が環の部分環である場合、におけるの整閉包は であり、 はにおけるの整閉包です。^[15] ${\displaystyle A'[t]}$${\displaystyle A[t]}$${\displaystyle B[t]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$${\displaystyle \prod A_{i}}$${\displaystyle \prod B_{i}}$${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$${\displaystyle {A_{i}}'}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$

たとえば、 B内の局所環 Aの整閉包は局所的である必要はありません。(局所的である場合、その環は単枝環と呼ばれます。) これは、例えばAがヘンゼル体であり、B がAの分数体の体拡大である場合に当てはまります。

A が体Kの部分環である場合、 KにおけるAの整閉包は、Aを含むKのすべての付値環の共通部分です。

A を-次数環Bの-次数部分環とする。このとき、 BにおけるAの整閉包はBの -次数部分環である。^[16]${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

イデアルの整閉包という概念もある。イデアルの整閉包は、通常 と表記され、単項多項式が存在するすべて の要素の集合である。${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}}$

を根として持つ。 ^{[17] [18]}イデアルの根号は 整的に閉じている。^{[19] [20]}${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$${\displaystyle r}$

ネーター環の場合、別の定義も存在します。

• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$任意の極小素数に含まれない が存在し、すべての に対してとなる場合。${\displaystyle c\in R}$${\displaystyle cr^{n}\in I^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$Iの正規化された爆発において、 rの引き戻しがIの逆像に含まれている場合。イデアルの爆発は、与えられたイデアルを主イデアルに置き換えるスキームの操作です。スキームの正規化は、単にそのすべての環の整閉包に対応するスキームです。

イデアルの整閉包の概念は、下降定理のいくつかの証明で使用されます。

B を環、AをBの部分環として、 BがA上整列であるとする。このとき、A加群B / Aの消滅子はBにおけるAの導体と呼ばれる。この概念は代数的整数論に由来するため、導体は と表記される。明示的には、となるAの元aから構成される。(抽象代数のイデアル化を参照) これは、BのイデアルでもあるAの最大のイデアルである。^[21] S がAの乗法的に閉じた部分集合である場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle aB\subset A}$

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)}$。

BがAの分数環の部分環である場合、

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)}$。

例: k を体とし、（すなわち、Aはアフィン曲線の座標環）とする。BはにおけるAの整閉包である。BにおけるAの導体はイデアル である。より一般的には、 、a、b が互いに素である の導体はである。^[22]${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{3}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle (t^{2},t^{3})A}$${\displaystyle A=k[[t^{a},t^{b}]]}$${\displaystyle (t^{c},t^{c+1},\dots )A}$${\displaystyle c=(a-1)(b-1)}$

B がAの分数体における整域Aの整閉包で、 A加群が有限生成であるとします。このとき、 Aの導体はのサポートを定義するイデアルです。したがって、A はにおけるの補集合においてBと一致します。特に、の補集合である集合 は開集合です。 ${\displaystyle B/A}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle B/A}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$

重要だが難しい問題は、有限生成代数の積分閉包の有限性に関するものです。いくつかの結果が知られています。

分数体の有限拡大におけるデデキント領域の積分閉包はデデキント領域、特にネーター環である。これはクルル・秋月の定理の結果である。一般に、高々 2 次元のネーター領域の積分閉包はネーターである。永田は積分閉包がネーターでない 3 次元のネーター領域の例を示した。^[23]よりよい表現は、ネーター領域の積分閉包はクルル領域である(森・永田の定理) である。永田はまた、積分閉包がその領域上で有限ではない 1 次元のネーター局所領域の例を示した。^[要出典]

A を分数体K を持つノイザン整閉領域とする。L / Kが有限可分拡大であれば、 LにおけるAの整閉は有限生成A加群である。^[24]これは簡単で標準的である（トレースが非退化双線型形式を定義するという事実を使用する）。 ${\displaystyle A'}$

A を、分数Kの体を持つ整域である体k上の有限生成代数とする。L がKの有限拡大であれば、 LにおけるAの整閉包は有限生成A加群であり、有限生成k代数でもある。^[25]この結果はノイザーによるもので、ノイザー正規化補題を用いて以下のように示すことができる。 L / Kが分離可能または純粋に分離不可能な場合の主張を示せば十分であることは明らかである。分離可能な場合は上で述べたので、L / K は純粋に分離不可能であると仮定する。正規化補題により、A は多項式環上で積分である。L / Kは有限の純粋に分離不可能な拡大であるため、Lのすべての要素がKの要素のq乗根となるような素数のべきqが存在する。を、 L を生成する有限個の有理関数の係数のq乗根すべてを含むkの有限拡大とします。すると、次が成り立ちます。右側の環は の分数体で、 Sの整閉包です。したがって、 は を含みます。したがって、 はS上で有限であり、ましてやA上でも有限です。 k をZに置き換えても、結果は真のままです。 ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},...,x_{d}]}$${\displaystyle k'}$${\displaystyle L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).}$${\displaystyle k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$

Aの分数体の有限拡大における完全局所ネーター領域Aの整閉包はA上で有限である。^[26]より正確には、局所ネーター環Rに対して、次の含意の連鎖が成り立つ: ^[27]

(i)完全なAは永田環である${\displaystyle \Rightarrow }$

(ii) Aは永田領域であり、A は解析的に不分岐であり、完備化の整閉包はA上で有限であり、Aの整閉包はA 上で有限である。${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

ノイマンの正規化補題は可換代数の定理である。体Kと有限生成K代数Aが与えられたとき、定理によれば、AがB = K [ y ₁ , ..., y _{m ]}上で有限（したがって整数）であるような、K上で代数的に独立なAの元y ₁ , y ₂ , ..., y _mを見つけることが可能である。したがって、拡大K ⊂ Aは合成K ⊂ B ⊂ Aとして表すことができ、ここでK ⊂ Bは純粋に超越的な拡大であり、B ⊂ Aは有限である。^[28]

代数幾何学において、スキームの射が整的であるとは、それがアフィンであり、かつYのある（同値な、すべての）アフィン開被覆に対して、すべての写像がAが整的B代数である形式である場合である。整射のクラスは有限射のクラスよりも一般的である。これは、多くの場合、体上の体の代数的閉包など、有限ではない整拡大が存在するためである。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{i})\to U_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$

A を整域とし、L をAの分数体の（ある）代数閉包とする。このとき、 LにおけるAの整閉包はAの絶対整閉包と呼ばれる。^[29]これは非標準同型を除いて一意である。代数的整数全体の環はその一例である（したがって通常はネーターではない）。 ${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$

• 通常のスキーム
• ノイマン正規化補題
• 代数的整数
• ガロア拡大における素イデアルの分割
• トルソル（代数幾何学）

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、イアン・G. (1994) [1969]。可換代数入門。アディソン・ウェズリー。ISBN 0-201-40751-5。
• ブルバキ、ニコラス(2006)。代数可換。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-540-33937-3。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、代数幾何学に向けた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、Springer-Verlag、ISBN 0-387-94268-8
• カプランスキー、アーヴィング（1974年9月）。可換環。数学講義。シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-42454-5。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• 松村 秀 (1970)可換代数
• H. Matsumura可換環論。M . Reid による日本語からの翻訳。第 2 版。Cambridge Studies in Advanced Mathematics、8。
• ミルン、JS（2020年7月19日）。「代数的数論」。
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006)、「イデアル、環、およびモジュールの積分閉包」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第336巻、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-68860-4、MR  2266432、2019-11-15にオリジナルからアーカイブ、2011-03-01に取得
• M. Reid、「学部生向け可換代数」、ロンドン数学会、29、ケンブリッジ大学出版局、1995年。

• イレーナ・スワンソン、イデアルと環の整閉包
• DG 代数には積分閉包の合理的な概念がありますか?
• k [ x 1 , … , x n {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}} は常に正規列の整式拡張となるか？]${\displaystyle k[f_{1},\ldots ,f_{n}]}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n})}$