対称多項式

数学において、対称多項式とは、 n 個の変数を持つ多項式 P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )であり、いずれかの変数を入れ替えても同じ多項式が得られるものです。正式には、下付き文字1、2、...、nの任意の順列σに対して、P ( X _σ(1)、X _σ(2)、...、X _{σ( n )} ) =  P ( X ₁、X ₂、...、X _n )が成り立つ場合、 P は対称多項式です。

対称多項式は、1 つの変数の多項式の根とその係数の関係を研究する際に自然に生じます。これは、係数は根の多項式表現で与えることができ、この設定ではすべての根が同様の役割を果たすためです。この観点から、基本的な対称多項式は最も基本的な対称多項式です。実際、対称多項式の基本定理と呼ばれる定理では、任意の対称多項式は基本的な対称多項式で表現できるとされています。これは、単項多項式の根のすべての対称 多項式表現は、多項式の係数の多項式表現として与えることもできることを意味します。

対称多項式は、多項式の根との関係とは無関係に、それ自体で興味深い構造を形成します。この文脈では、完全同次多項式、べき和多項式、シューア多項式などの特定の対称多項式の他の集合が、基本的なものとともに重要な役割を果たします。結果として生じる構造、特に対称関数の環は、組合せ論と表現論において非常に重要です。

2 つの変数X ₁とX ₂の次の多項式は対称です。

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$

${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

3つの変数X ₁、X ₂、X ₃の次の多項式も同様です。

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

任意の数の変数で特定の対称多項式を作成する方法は多数あります（以下のさまざまなタイプを参照）。少し異なる例としては、

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}}$

ここで、まず変数の交換ごとに符号が変わる多項式が構築され、平方を取ることで完全に対称になります (変数が単項多項式の根を表す場合、この多項式はその判別式を与えます)。

一方、2変数の多項式

${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$

は対称的ではない。なぜなら、 と を交換すると、異なる多項式が得られるからである。同様に、3変数の場合 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{2}-X_{1}}$

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}}$

は 3 つの変数の巡回置換に対してのみ対称性を持ちますが、これは対称多項式であるには不十分です。ただし、次の式は対称です。

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}}$

対称多項式関数が出現する状況の 1 つは、与えられた体でn個の根を持つn次単項 一変数多項式の研究です。これらのn個の根によって多項式が決定され、それらを独立変数と見なすと、多項式の係数は根の対称多項式関数になります。さらに、対称多項式の基本定理は、 n個の根の多項式関数f は、 f が対称多項式で与えられる場合にのみ、根によって決定される多項式の係数の (別の) 多項式関数として表現できることを意味しています。

これにより、この写像を反転して対称性を「破る」ことによって多項式方程式を解くアプローチが得られます。多項式の係数（根の基本対称多項式）が与えられた場合、どのようにして根を復元できるでしょうか。これは、もともとラグランジュ分解の形式であったが、後にガロア理論で開発された、根の置換群を使用して多項式の解を研究することにつながります。

tのn次の単項多項式を考える

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}}$

係数a _iは何らかの体 Kにある。Pのn個の根x ₁ ,..., x _{n は}、おそらくもっと大きな体に存在する（例えばK が実数体であれば、根は複素数体に存在する）。根の中には等しいものもあるかもしれないが、すべての根が存在するという事実は、次の関係式で表される。

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).}$

係数を比較すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}}$

これらは、実際にはVieta の公式の単なる例です。これらは、多項式のすべての係数が対称多項式表現によって根で与えられることを示しています。与えられた多項式Pに対して、根の間に質的な違いがある場合もありますが (基底体 K内にあるかどうか、単根か多重根かなど)、これらの表現で根が現れる方法には影響しません。

ここで、係数ではなく根をP を記述するための基本パラメータとして取り、それらを適切な体の定数ではなく不定値と見なすことによって、視点を変えることができる。その場合、係数a _{i は}、上記の式で与えられる特定の対称多項式になる。符号のないこれらの多項式は、x ₁、...、x _nの基本対称多項式として知られている。対称多項式の基本定理として知られる基本事実は、n変数の任意の対称多項式は、これらの基本対称多項式に関する多項式表現で与えることができるということを述べている。したがって、単項多項式の根の任意の対称多項式表現は、多項式の係数の多項式として表現でき、特にその値はそれらの係数を含む基本体Kにあることがわかる。したがって、根におけるこのような対称多項式表現のみを扱う場合、それらの根について特に何かを知る必要はなく、それらの根が存在する可能性のあるKよりも大きな体で計算する必要もありません。実際、根の値自体はむしろ無関係になり、係数と対称多項式表現の間の必要な関係は、対称多項式のみで計算することによって見つけることができます。そのような関係の例は、ニュートンの恒等式で、これは根の任意の固定された累乗の合計を基本的な対称多項式で表します。 ${\displaystyle (-1)^{ni}}$

変数X ₁、X ₂、...、X _nには、基本的な対称多項式の種類がいくつかあります。

各非負整数 kについて、基本対称多項式e _k ( X ₁ , ..., X _n ) は、 k 個の異なる変数のすべての異なる積の和です。 (一部の著者は、代わりに σ _kで表します。) k = 0 の場合、空の積 しかないためe ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) = 1 ですが、 k  >  nの場合、積はまったく形成されないため、これらの場合はe _k ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) = 0 です。残りのn 個の基本対称多項式は、これらの変数のすべての対称多項式の構成要素です。前述のように、考慮される変数のすべての対称多項式は、これらの基本対称多項式から乗算と加算のみを使用して取得できます。実際、次の詳細な事実があります。

• X ₁、...、X _nの任意の対称多項式Pは、 1 ≤  k  ≤  nである多項式e _k ( X ₁、...、X _n ) の多項式表現として表すことができます。
• この表現は多項式表現の同値性を除いて一意である。
• Pに整数係数がある場合、多項式式にも整数係数があります。

例えば、n = 2の場合、関連する基本対称多項式はe ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂、およびe ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ X ₂です。上記の例の最初の多項式は次のように表すことができます。

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7}$

(これが常に可能であることの証明については、対称多項式の基本定理を参照してください)。

基本的な対称多項式のべき乗と積は、かなり複雑な式になります。対称多項式の基本的な加法構成要素を求める場合、より自然な選択は、対称性を得るために必要なコピーのみを含む単項式を 1 種類だけ含む対称多項式を取ることです。X 1、...、X _nの単項式は、指数 α _iが自然数(ゼロの場合もある) であるX ₁ ^{α ₁} ... X _n ^{α _n}と書くことができます。α = (α ₁、...、α _n ) と書くと、 X ^αと省略できます。単項式対称多項式m _α ( X ₁、...、X _n ) は、すべての単項式x ^βの合計として定義されます。ここで、β は(α ₁、...、α _n ) のすべての異なる順列にわたります。たとえば、

${\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}$、

${\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}$

明らかに、β が α の順列であるとき、m _α  =  m _βであるため、通常はα ₁  ≥ α ₂  ≥ ... ≥ α _nであるm _α、つまり α が整数の分割である m α のみを考慮します。これらの単項式対称多項式はベクトル空間基底を形成します。つまり、すべての対称多項式P は、単項式対称多項式の線形結合として表すことができます。これを行うには、 Pに出現する異なるタイプの単項式を分離するだけで十分です。特に、Pに整数係数がある場合は、線形結合も整数になります。

基本対称多項式は単項式対称多項式の特別な場合である。0 ≤  k  ≤  nに対して、

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots,X_{n})=m_{\alpha}(X_{1},\ldots,X_{n})}$ここで、αはkをk個の部分1（その後にn  −  k個のゼロが続く）に分割したものです。

整数k  ≥ 1に対して、単項式対称多項式m _{( k ,0,...,0)} ( X ₁ , ..., X _n )は特に興味深い。これはべき乗和対称多項式であり、次のように定義される。

${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.}$

すべての対称多項式は、最初のn乗和対称多項式から加算と乗算によって得ることができ、有理数係数を含む場合もある。より正確には、

X ₁、...、X _nの任意の対称多項式は、べき和対称多項式p ₁ ( X ₁、...、X _n )、...、p _n ( X ₁、...、X _n ) の有理係数を持つ多項式式として表すことができます。

特に、k  >  nの残りのべき乗和多項式p _k ( X ₁ , ..., X _n )は、最初のnのべき乗和多項式で表現できます。たとえば、

${\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}$

初等的および完全な同次多項式の場合とは対照的に、整数係数を持つn変数の対称多項式は、べき乗和対称多項式の整数係数を持つ多項式関数である必要はありません。例えば、n  = 2の場合、対称多項式

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}}$

表現がある

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}$

3つの変数を使うと異なる表現が得られる

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}}$

対応する式は 2 変数の場合にも有効ですが ( X _{3 をゼロに設定すれば十分)、} p _{3 を}含むため、 n = 2の場合のステートメントの説明には使用できません。この例は、最初のnべき乗和多項式 による特定の単項式対称多項式の式に有理係数が含まれるかどうかは、nに依存する可能性があることを示しています。しかし、基本的な対称多項式 (定数多項式と、最初のべき乗和と一致するe _{1 を除く) をべき乗和多項式で表すには、}常に有理係数が必要です。ニュートン恒等式は、これを行うための明示的な方法を提供します。これは、 nまでの整数による除算を伴い、有理係数を説明します。これらの除算のため、係数が有限特性の体でとられる場合、前述のステートメントは一般に失敗します。ただし、有理数を含む任意の環の係数には有効です。

それぞれの非負整数kに対して、完全同次対称多項式h _k ( X ₁ , ..., X _n ) は、変数X ₁ , ..., X _nにおけるk次すべての異なる単項式の和です。例えば、

${\displaystyle h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.}$

多項式h _k ( X ₁ , ..., X _n )は、 X ₁ , ..., X _nにおけるk次のすべての異なる単項式対称多項式の和​​でもある。例えば、次の例では、

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

これらの変数のすべての対称多項式は、完全同次多項式から構築できます。つまり、X ₁、...、X _nの任意の対称多項式は、完全同次対称多項式h ₁ ( X ₁、...、X _n )、...、h _n ( X ₁、...、X _n )から乗算と加算によって得ることができます。より正確には、

X ₁、...、X _n内の任意の対称多項式P は、1 ≤  k  ≤  nとなる多項式h _k ( X ₁、...、X _n )内の多項式式として表すことができます。

Pに整数係数がある場合、多項式式にも整数係数があります。

例えば、n = 2の場合、関連する完全同次対称多項式はh ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂およびh ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ² + X ₁ X ₂ + X ₂ ²です。上記の例の最初の多項式は次のように表すことができます。

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.}$

べき乗和の場合と同様に、与えられたステートメントは特にh _n ( X ₁、...、X _n ) を超える完全な同次対称多項式に適用され、その時点までの多項式で表現できるようになります。この場合も、変数の数が増えると、結果として得られる恒等式は無効になります。

完全同次対称多項式の重要な側面は、基本対称多項式との関係であり、これは恒等式として表現できる。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0}$、すべてのk  > 0 および任意の数の変数 nに対して。

e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) とh ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) は両方とも 1 に等しいので、これらの合計の最初の項または最後の項のいずれかを分離することができます。前者は、連続する完全同次対称多項式を基本対称多項式で再帰的に表現できる一連の方程式を与え、後者は、その逆を行うことができる一連の方程式を与えます。これは、任意の対称多項式が1 ≤ k  ≤  nのh _k ( X ₁ , ..., X _n ) で表現できることを暗黙的に示しています。つまり、最初に対称多項式を基本対称多項式で表現し、次にそれらを前述の完全同次多項式で表現します。

対称多項式の別のクラスは、シュアー多項式です。これは、対称多項式の表現理論への応用において基本的に重要です。ただし、他の種類の特殊な対称多項式ほど簡単に記述できるわけではありません。詳細については、メインの記事を参照してください。

対称多項式は、線型代数、表現論、ガロア理論にとって重要です。また、組み合わせ論でも重要で、対称関数の環を通して主に研究され、常に固定数の変数を持ち歩かなくても済むようになっています。

対称多項式に類似しているのは交代多項式です。交代多項式は、要素の置換に対して不変ではなく、置換の符号に応じて変化する多項式です。

これらはすべて、ヴァンデルモンド多項式と対称多項式の積であり、対称多項式環の二次拡張を形成します。ヴァンデルモンド多項式は判別式の平方根です。

• 対称関数
• ニュートンのアイデンティティ
• スタンレー対称関数
• ミュアヘッドの不等式

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• Macdonald, IG (1979)、 「対称関数とホール多項式」、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード: クラレンドン プレス。
• IG Macdonald (1995)、 「Symmetric Functions and Hall Polynomials」、第2版。オックスフォード: Clarendon Press。ISBN 0-19-850450-0 (ペーパーバック、1998年)。 
• Richard P. Stanley ( 1999)、Enumerative Combinatorics、第2巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-56069-1