多項式単位環

数学の一分野である環論において、環R が多項式単位環であるとは、あるN > 0 に対して、N 個の変数X ₁ , X ₂ , ..., X _Nの整数環上の自由代数Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ... , X _N ⟩の元P ≠ 0 が存在し 、

${\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0}$

Rから取得したすべてのN組r ₁、r ₂、 ...、r _Nについて。

厳密に言えば、ここでのX _{i は}「非可換不定式」であり、したがって「多項式恒等式」は言葉の若干の乱用である。なぜなら、ここでの「多項式」は、通常「非可換多項式」と呼ばれるものを表すからである。略語としてPI 環が一般的である。より一般的には、任意の環S上の自由代数が使用され、PI 代数の概念を与える。

多項式Pの次数が通常の方法で定義されている場合、最高次数の項の少なくとも 1 つに 1 に等しい係数がある場合、 多項式P はモニックと呼ばれます。

すべての可換環はPI 環であり、多項式恒等式XY − YX = 0 を満たす。したがって、PI 環は通常、可換環の一般化に近いものとして扱われる。環が0 と異なる特性 p を持つ場合、多項式恒等式pX = 0 を満たす。このような例を排除するために、PI 環は単項式恒等式を満たす必要があると定義されることがある。^[1]

• 例えば、Rが可換環であればπ環である。これは次の式で成り立つ。

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~}$

• 可換環上の2×2行列の環はホール恒等式を満たす

${\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}$

この同一性は M. Hall (1943) によって使用されましたが、それ以前に Wagner (1937) によって発見されました。

• 理論において重要な役割を果たすのは、長さNの標準恒等式 s _Nであり、これは可換環（ N = 2 ）の例を一般化するものである。これは、行列式に関するライプニッツの公式から導かれる。

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}}$

被加数の各積を、置換σによって指定された順序でX _iの積に置き換えます。言い換えると、N  ! 個の順序のそれぞれが加算され、係数はシグネチャに応じて 1 または -1 になります。

${\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~}$

任意の可換環上のm  ×  m 行列環は標準的な恒等式を満たします。つまり、アミチュール-レビツキの定理によれば、s _{2 m を}満たします。この恒等式の次数は最適です。行列環は 2 m未満の次数の単項多項式を満たすことができないためです。

• 特性ゼロの体 kが与えられたとき、Rを基底e ₁ , e ₂ , e ₃ , ...を持つ可算無限次元ベクトル空間上の外積代数とすると、 Rはこの基底の元によって生成され、

e _i  e _j = −  e _j  e _i .

この環は、任意のNに対してs _{N を}満たさないため、どの行列環にも埋め込むことはできません。実際、s _N ( e ₁ , e ₂ ,..., e _N ) =  N  !  e ₁ e ₂ ... e _N  ≠ 0 です。一方、これは [[ x ,  y ],  z ] :=  xyz  −  yxz  −  zxy  +  zyx = 0 を満たすため、PI 環です。これは、 e _i の単項式に対して確認するだけで十分です。これで、偶数次の単項式はすべての要素と可換になります。したがって、xまたはyのいずれかが偶数次の単項式の場合、[ x、  y ] :=  xy  −  yx  = 0 です。両方が奇数次の場合、[ x、  y ] =  xy  −  yx  = 2 xyは偶数次であるため、zと可換です。つまり、[[ x、  y ]、  z ] = 0 です。

• PI 環の任意の部分環または準同型 像は PI 環です。
• π リングの有限直積はπ リングです。
• 同じ恒等式を満たす PI リングの直積は PI リングです。
• PI 環が満たす恒等式は常に多重線型であると仮定できます。
• 環が中心上のモジュールとしてn個の元によって有限生成される場合、その環はnより大きい次数の交代多重線型多項式をすべて満たします。特に、N  >  nに対してs _{N を}満たすため、PI 環となります。
• RとSがPI 環である場合、それらの整数上のテンソル積も PI 環になります。${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S}$
• R がPI 環である場合、 Rに係数を持つn  ×  n行列の環も PI 環になります。

非可換環のうち、π環はケーテ予想を満たします。体上のアフィンπ代数は、クロシュ予想、零点定理、素イデアルのカテナリー特性を満たします。

Rが PI 環で、Kがその中心の部分環でR がK上で整列している 場合、RとKの素イデアルの上向きおよび下向きの性質が満たされます。また、上向きの性質 ( pがKの素イデアルである場合、上で極小となるRの素イデアルPが存在する) と比較不可能な性質 ( PとQ がRの素イデアルである場合、) も満たされます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle P\cap K}$${\displaystyle P\subset Q}$${\displaystyle P\cap K\subset Q\cap K}$

F  :=  Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩がN変数の自由代数であり、 RがN変数の多項式Pを満たすPI環である場合、Pは任意の準同型の 核に含まれる。

${\displaystyle \tau}$: F R .${\displaystyle \rightarrow}$

FのイデアルI は、 Fの任意の自己準同型fに対してT イデアルであると呼ばれます。 ${\displaystyle f(I)\subset I}$

PI 環Rが与えられた場合、それが満たすすべての多項式恒等式の集合はイデアルですが、さらにそれは T イデアルです。逆に、I がFの T イデアルである場合、F / IはIのすべての恒等式を満たす PI 環です。PI 環がモニック多項式恒等式を満たす必要がある場合、 Iにはモニック多項式が含まれていると想定されます。

• ポズナーの定理
• 中心多項式

• ラティシェフ、VN (2001) [1994]、「PI代数」、数学百科事典、EMSプレス
• Formanek, E. (2001) [1994]、「アミチュール・レヴィツキーの定理」、数学百科事典、EMS Press
• 環理論における多項式恒等式、ルイス・ハレ・ローウェン、アカデミック・プレス、1980年、ISBN 978-0-12-599850-5 
• 多項式恒等環、Vesselin S. Drensky、Edward Formanek、Birkhäuser、2004年、ISBN 978-3-7643-7126-5 
• 多項式恒等式と漸近法、A. Giambruno、Mikhail Zaicev、AMS Bookstore、2005 年、ISBN 978-0-8218-3829-7 
• 多項式恒等式の計算的側面、アレクセイ・カネル・ベロフ、ルイス・ハレ・ローウェン、AK ピーターズ社、2005 年、ISBN 978-1-56881-163-5 

• Formanek, Edward (1991) 。n × n行列の多項式恒等式と不変量。数学地域会議シリーズ。第 78 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0730-7.ZBL0714.16001  。​
• Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle (2005)。多項式恒等式の計算的側面。数学研究ノート。第 9 巻。マサチューセッツ州ウェルズリー: AK Peters。ISBN 1-56881-163-2.ZBL1076.16018  。​

• PlanetMathにおける多項式恒等代数。
• PlanetMathの標準アイデンティティ。
• PlanetMathの T-ideal 。