ゴールディの定理

数学において、ゴールディの定理は環論における基本的な構造的帰結であり、1950年代にアルフレッド・ゴールディによって証明された。現在右ゴールディ環と呼ばれているものは、有限一様次元（「有限ランク」）を自身の右加群として持ち、Rの部分集合の右消滅に対する昇順連鎖条件を満たす環 Rである。

ゴールディの定理によれば、半素右ゴールディ環は、まさに半単純 アルティン右古典商環を持つ環である。この商環の構造は、アルティン・ウェダーバーン定理によって完全に決定される。

特に、ゴールディの定理は半素右ノイザン環に適用されます。これは、定義により右ノイザン環はすべての右イデアルに対して昇順連鎖条件を持つためです。これは、右ノイザン環が右ゴールディであることを保証するのに十分です。逆は成り立ちません。すべての右Ore 領域は右ゴールディ領域であり、したがってすべての可換整域も右ゴールディ領域です。

これも Goldie によるものですが、Goldie の定理の結果は、すべての半素主右イデアル環は、素主右イデアル環の有限直和に同型であるということです。すべての素主右イデアル環は、右Ore 領域上の行列環に同型です。

これは序文で述べた特徴の概略です。これは (Lam 1999、p.324) に掲載されています。

• R が半素右ゴールディ環である 場合、それは半単純環の右順序である:
  • Rの本質的な右イデアルは、まさに正則元を含むイデアルです。
  • Rにはゼロ以外のnil イデアルは存在しません。
  • Rは右非特異環である。^[1]
  • これまでの観察から、R は右Ore 環なので、その右古典商環Q ^{r が}存在します。また、これまでの観察から、Q ^{r は}半単純環です。したがって、R はQ ^rの右順序です。
• R が半単純環Qの右順序である場合、それは半素右である。Goldie:
  • ネーター環（ Qなど）内の任意の右順序は右ゴールディです。
  • ネーター半素環（ Qなど）内の任意の右順序は、それ自体が半素です。
  • したがって、R は半素数右 Goldie です。

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). 「商環の探求 (非可換ノイザン環)」アメリカ数学月刊誌. 110 (4): 298–313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947 . doi :10.2307/3647879. JSTOR  3647879.
• Goldie, AW (1958). 「上昇連鎖条件下での素環の構造」Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589–608. doi :10.1112/plms/s3-8.4.589.
• Goldie, AW (1960)。「最大条件を持つ半素数環」。Proc . London Math. Soc . 10 : 201–220. doi :10.1112/plms/s3-10.1.201。
• Herstein, IN (1969).環理論の話題. シカゴ数学講義. シカゴ、イリノイ州: シカゴ大学. Pr. pp. 61–86. ISBN 978-0-226-32802-7。
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294

• ゴールディの定理に関する PlanetMath のページ
• ゴールディリングのPlanetMathページ