基本対称多項式

数学、特に可換代数において、基本対称多項式は、対称多項式の基本構成要素の一つです。つまり、任意の対称多項式は、基本対称多項式による多項式として表現できます。すなわち、任意の対称多項式P $は、$ 定数と基本対称多項式の加算と乗算のみを含む式で表されます。n 個の変数を持つ次数 $d$ の基本対称多項式は、正の整数 $d$ $\leq$ $n$ ごとに1 つ存在し、 $d$ $個$ の異なる変数のすべての異なる積を足し合わせることによって形成されます。

意味

$n$ 個の変数 $X 1, ..., X n$ に関する基本対称多項式は、 $k$ $= 1, ...,$ $n$ に対して $e k (X 1, ..., X n)$ と表記され、次のように定義される。 ${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a\leq n}X_{a},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a<b\leq n}X_{a}X_{b},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq a<b<c\leq n}X_{a}X_{b}X_{c},\end{aligned}}$ などなど、最後は $e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.$ 一般に、 $k > 0$ に対して、次のように定義する。 $e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{k}\leq n}X_{a_{1}}X_{a_{2}}\dotsm X_{a_{k}},$

また、 $k$ $>$ $n$ の場合、 $e k (X 1, ..., X n) = 0 となります$ 。

場合によっては、 $e 0 (X 1, ..., X n) = 1$ が基本対称多項式に含まれるが、これを除外することで、結果や性質の定式化が一般的に容易になる。

$したがって、 n$ 以下の任意の正の整数 $kに対して、$ $n$ 個の変数に関する次数 $k$ の基本対称多項式がちょうど1つ存在する。次数 $kの多項式を構成するには、$ $n個の変数の$ $k$ 個の部分集合の積の総和を取る。（対照的に、変数の多重集合、つまり重複する変数を用いて同じ操作を行うと、完全な同次対称多項式が得られる。）

整数分割（すなわち、正の整数の有限非増加列） $λ = (λ 1, ..., λ m)$ が与えられたとき、対称多項式 $e λ (X 1, ..., X n)$ （基本対称多項式とも呼ばれる）は次のように定義される。 $e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n}).$

$e$ $k$ $の代わりにσ k$ という表記が使われることもあります。

再帰的定義

以下の定義は上記と同等であり、コンピュータ実装において有用である可能性がある。

${\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n-k+1}X_{j}e_{k-1}(X_{j+1},\dots ,X_{n}).\end{aligned}}$ これは、（二重）再帰的な定義と同等である。 ${\begin{aligned}e_{1}(x_{1})=X_{1}\\e_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=1\\e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=0\qquad {\text{if }}k>n\\e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})&=e_{k}(X_{1},\dots ,X_{n-1})+X_{n}e_{k-1}(X_{1},\dots ,X_{n-1}).\end{aligned}}$

例

以下は、 $n$ の最初の 4 つの正の値に対する $n 個$ の基本対称多項式の一覧です。

$n = 1 の$ 場合：

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

$n = 2 の$ 場合：

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

$n = 3 の$ 場合：

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

$n = 4 の$ 場合：

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

不動産

基本的な対称多項式は、単項式の線形因数分解を展開すると現れます。つまり、次の恒等式が得られます。

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

つまり、変数 $X 1 、 X 2 、 ...、 X n$ に数値を代入すると、根が $X$ $1$ $、$ $X$ $2$ $、 ...、$ $X$ $n$ に代入された値であり、係数が符号を除いて基本対称多項式であるような、単変数多項式(変数 $λ$ を含む)が得られます。このような多項式の根と係数の間の関係は、ヴィエタの公式と呼ばれます。

正方行列の特性多項式は、ヴィエタの公式の適用例です。この多項式の根は、行列の固有値です。これらの固有値を基本対称多項式に代入すると、符号を除いて、特性多項式の係数、すなわち行列の不変量が得られます。特に、トレース（対角要素の合計）は $e$ $1$ の値であり、したがって固有値の合計です。同様に、行列式は符号を除いて、特性多項式の定数項、つまり $e$ $n$ の値です。したがって、正方行列の行列式は固有値の積になります。

$n$ 個の変数に関する基本対称多項式の集合は、 $n個の$ 変数に関する対称多項式の環を生成する。より具体的には、整数係数を持つ対称多項式の環は、整数多項式の環に等しい。 $\mathbb {Z}$ 。 (より一般的な記述と証明については下記を参照。) この事実は、不変式理論の基礎の 1 つです。同じ性質を持つ別の対称多項式のシステムについては、完全同次対称多項式を参照し、類似しているがやや弱い性質を持つシステムについては、べき乗和対称多項式を参照してください。

対称多項式の基本定理

任意の可換環 $A$ に対して、変数 $X 1, ..., X n$ $のA$ の係数を持つ対称多項式の環を $A [X 1, ..., X n] S n$ と表記する。これは、 $k$ $= 1, ...,$ $n$ に対するn 個の基本対称多項式 $e k (X 1, ..., X n)$ の多項式環である。

これは、すべての対称多項式 $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ が一意の表現を持つことを意味します。

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

ある多項式 $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ に対して。同じことを別の言い方で言うと、 $k$ $= 1, ...,$ $n$ に対して $Y$ $k を$ $e$ $k$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ に送る環準同型は $、A$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $n$ $]$ と $A$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ の間の同型を定義します。

証明スケッチ

この定理は、対称同次多項式については、変数の数 $n$ に関する二重帰納法と、固定された $n$ に対して同次多項式の次数に関する二重帰納法によって証明できる。一般の場合については、任意の対称多項式をその同次成分（これもまた対称である）に分解することで導出できる。

$n = 1$ の場合、1 変数の多項式はすべて自動的に対称になるため、結果は自明です。

$ここで、 m < n$ 変数のすべての多項式と、次数が $d$ $未満の$ $n$ 変数のすべての対称多項式について定理が証明されたと仮定します。A $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ のすべての同次対称多項式 $P は$ 、同次対称多項式の和として分解できます $。$

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

ここで「欠損部分」 $P lacunaryは、$ $n個$ の変数 $X$ $1$ $、 ...、$ $X$ $n$ の真部分集合のみを含む $P$ 内のすべての単項式の合計として定義されます。つまり、少なくとも1つの変数 $X$ $j$ が欠落しています。

$P$ は対称であるため、欠落部分は変数 $X 1, ..., X n - 1のみを含む項、つまり$ $X nを$ 含まない項によって決定されます。より正確には、 $A$ と $Bが$ $X 1 , ..., X n$ に関する次数が同じ2つの同次対称多項式であり、変数 $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ $のみ$ を含む各単項式の前の $Aの係数が$ $B$ の対応する係数と等しい場合、 $A$ と $Bは$ 等しい欠落部分を持ちます。（これは、欠落部分に現れる可能性のあるすべての単項式は少なくとも1つの変数を欠いているため、変数の置換によって変数 $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ のみを含む単項式に変換できるためです。）

しかし、変数 $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1のみを含む$ $P$ の項は、 $X$ $n を$ 0に設定する操作を生き残る項であるため、それらの和は $P$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ $, 0)に等しくなります。これは変数$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ に関する対称多項式であり、 $P̃$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ $)$ と表記します。帰納的仮定により、この多項式は次のように書くことができます。

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

ある $Q̃$ に対して。ここで、二重添え字 $σ j, n - 1 は、$ $n - 1$ 変数の基本対称多項式を表します。

多項式を考えてみましょう

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

このとき、 $R (X 1, ..., X n)は、$ $P$ $lacunary$ と同じ次数の $X 1, ..., X n$ に関する対称多項式であり、以下を満たす。

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

（最初の等式は、 $σ$ $j$ $,$ $n$ で $X n を$ 0に設定すると、すべての $j$ $<$ $nに対して$ $σ$ $j$ $,$ $n$ $- 1$ が得られるため成り立ちます。）言い換えれば、変数 $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $- 1$ のみを含む各単項式の前の $R$ の係数は、対応する $P$ の係数に等しくなります。ご存知のように、これは $R$ の欠落部分が元の多項式 $P$ の欠落部分と一致することを示しています。したがって、差 $P$ $-$ $R に$ は欠落部分がなく、したがってすべての変数の積 $X$ $1$ $\cdot\cdot\cdot$ $X$ $n$ で割り切れます。これは基本対称多項式 $σ$ $n$ $,$ $n$ に等しくなります。次に、 $P$ $-$ $R$ $=$ $σ$ $n$ $,$ $n$ $Q$ と書くと、商 $Q$ は次数が $d$ 未満（実際には次数が最大で $d$ $-$ $n$ ）の同次対称多項式であり、帰納的仮定により、基本対称関数の多項式として表すことができます。 $P$ $-$ $R$ と $R$ の表現を組み合わせると、 $P$ の多項式表現が得られます。

表現の一意性は、同様の方法で帰納的に証明できます。（これは、 $n 個の$ 多項式 $e 1, ..., e n が$ 環 $A$ 上で代数的に独立であるという事実と同等です。）多項式表現が一意であるという事実は、 $A$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ $がA$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $n$ $]$ と同型であることを意味します。

代替証明

以下の証明も帰納的ですが、 $X 1 、 ...、 X n$ に関して対称な多項式以外の多項式は使用せず、対称多項式を基本対称多項式の多項式として効果的に記述するためのかなり直接的な手順にもつながります。対称多項式が次数 $d$ の同次であると仮定します。異なる同次成分は個別に分解できます。変数 $X$ $i$ の単項式を辞書式順序で並べます。ここで、個々の変数は $X$ $1$ $> ... >$ $X$ $n$ の順に並べられます。つまり、多項式の支配的な項は、 $X$ $1の出現次数が最も高い項であり、その中で$ $X$ $2$ の次数が最も高い項などです。さらに、次数 $d$ の基本対称多項式のすべての積(実際には同次です) を、 $d$ の分割によって次のようにパラメータ化します。個々の基本対称多項式 $e$ $i$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ を、インデックス $iが大きいものから順に並べ、各因子に対して$ $i$ 個のボックスの列を作成し、それらの列を左から右に並べて、合計 $d$ 個のボックスを含むヤング図を作成します。この図の形状は $d$ の分割であり、 $d$ の各分割 $λ は、基本対称多項式のちょうど 1 つの積に対して生じます。これを$ $e$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ )と表記します( $tが存在するのは、この積が慣習的に$ $λ$ の転置分割に関連付けられているためです)。証明の本質的な要素は、変数 $X$ $i$ の単項式に多重インデックス表記を使用する次の単純な性質です。

補題 $。eλt (X1, ..., Xn) の$ 最高次項 $は$ $Xλ$ $で$ ある $。$

証明。積の先頭項は各因子の先頭項の積です（これは、ここで使用されている辞書式順序のような単項式の順序を使用する場合に常に当てはまります）。因子

e i (X 1, ..., X n)

の先頭項は明らかに

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

です。結果として得られる単項式で個々の変数の出現回数を数えるには、関係する因子に対応するヤング図の列に変数の番号

1, ..., i

を記入します。すると、最初の行のすべてのボックスに 1 が入り、2 行目のボックスには 2 が入り、以下同様になります。つまり、先頭項は

X λ

です。

ここで、辞書式順序で先頭の単項式に関する帰納法によって、次数 $d$ の任意の非零同次対称多項式 $P$ は基本対称多項式の多項式として表せることを証明します。 $P$ は対称なので、その先頭の単項式の指数は弱く減少します。つまり、 $λは$ $d$ の分割であるような $X$ $λ$ です。この項の係数を $c$ とすると、 $P$ $-$ $ce$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ はゼロか、厳密に小さい先頭の単項式を持つ対称多項式になります。この差を基本対称多項式の多項式として帰納的に書き、 $ce$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)を再び加えると、$ $P$ の求める多項式表現が得られます。

この式が一意であること、あるいは同等に、基本対称多項式のすべての積（単項式） $e λ t (X 1, ..., X n)が$ 線形独立であることも容易に証明できます。補題は、これらのすべての積が異なる主単項式を持つことを示しており、これで十分です。e $λ t ( X$ $1$ $,$ $...$ $,$ $X$ $n$ $)$ $の$ $非$ 自明な線形結合がゼロである場合、非ゼロ係数を持ち、（変数 $X$ $i$ の多項式として）最大の主単項式を持つ線形結合の寄与に注目します。この寄与の主項は、線形結合の他の寄与によって相殺されることはなく、矛盾が生じます。

参考文献

マクドナルド、IG（1995）。対称関数とホール多項式（第2 版）。オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-850450-0。
スタンレー、リチャード・P. (1999).列挙的組合せ論、第2巻. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56069-1。

外部リンク

Trifonov, Martin (2024年3月5日).ガロア理論への序章：対称多項式の探求（動画）. YouTube . 2024年3月26日閲覧.

基本対称多項式

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関連項目

参考文献

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定数と基本対称多項式の加算と乗算のみを含む式で表されます。n 個の変数を持つ次数