多項式環

させて

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

ゼロでない多項式で${\displaystyle p_{m}\neq 0}$。

• pの定数項は${\displaystyle p_{0}.}$零多項式の場合は、その値はゼロになります。
• pの次数(deg( p )と表記)は、 X ^kの係数がゼロでない最大の数kである。 ^{[ 4 ]}
• pの最高次係数は${\displaystyle p_{m}.}$^{[ 5 ]}
• 係数がすべてゼロであるゼロ多項式の特殊な場合、最高次係数は定義されず、次数は様々に未定義のままにされ、^{[ 6 ]} −1と定義され、^{[ 7 ]} −∞と定義され、^{[ 8 ]}
• 定数多項式とは、零多項式、または次数が0の多項式のことである。
• 非ゼロ多項式は、その最高次係数が${\displaystyle 1.}$

2 つの多項式pとqが与えられたとき、ゼロ多項式の次数が次のように定義される場合${\displaystyle -\infty ,}$1つは

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

そして、体、あるいはより一般的には整域上で、^{[ 9 ]}

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$

したがって、 Kが整域であれば、K [ X ]も整域となることが直ちに導かれる。^{[ 10 ]}

また、 Kが整域である場合、多項式が単位元（つまり、乗法逆元を持つ）であるのは、それが定数であり、かつKの単位元である場合に限る。

2つの多項式は、一方が他方の1の積である場合に、関連付けられているという。

体上では、零でないすべての多項式は、一意の単項式と関連付けられる。

2 つの多項式pとqが与えられたとき、q = prとなるような多項式rが存在する場合、 pはq を割り切る 、pはqの約数である、またはqはpの倍数であると言う。

多項式が既約であるとは、それが2つの非定数多項式の積でない場合、または同等に、その約数が定数多項式であるか、または同じ次数を持つ場合をいう。

K を体、あるいはより一般的には可換環とし、RをKを含む環とする。K [ X ]の任意の多項式PとRの任意の要素aに対して、 PにおけるXをaで置換すると、Rの要素P ( a )が定義される。この要素は、置換後に多項式の式で示される演算をRで実行することによって得られる。この計算を、 aにおけるPの評価と呼ぶ。例えば、次のようになる。

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}$

（最初の例ではR = K、2 番目の例ではR = K [ X ]）。Xをそれ自身に置き換えると、次のようになります。

${\displaystyle P=P(X),}$

「 P を多項式とする」と「P ( X )を多項式とする」という文が同値である理由を説明します。

多項式Pによって定義される多項式関数は、 KからKへの関数であり、次のように定義されます。${\displaystyle x\mapsto P(x).}$Kが無限体の場合、2つの異なる多項式は異なる多項式関数を定義しますが、この性質は有限体では成り立ちません。例えば、Kがq個の要素を持つ体の場合、多項式0とXq - Xは^どちらも零関数を定義します。

Rの任意のaに対して、 aにおける評価、すなわちマップ${\displaystyle P\mapsto P(a)}$K [ X ]からRへの代数準同型を定義します。これはK [ X ]からRへの唯一の準同型であり、 K を固定し、Xをaに写像します。言い換えれば、K [ X ]は次の普遍性を持ちます。

Kを含む任意の環Rと、 Rの任意の要素aに対して、 Kを固定し、Xをaに写像するK [ X ]からRへの一意の代数準同型が存在する。

すべての普遍的性質と同様に、これはペア( K [ X ], X )を一意の同型を除いて定義し、したがってK [ X ]の定義として考えることができます。

地図の画像${\displaystyle P\mapsto P(a)}$すなわち、K [ X ]の要素でX をaに置き換えることによって得られるRの部分集合はK [ a ]と表記され、 aのKへの随伴と呼ばれます。^{[ 11 ]}例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}}$、平方根のべき乗の簡略化規則は、${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.}$

多項式の（形式的な）導関数

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

多項式は

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

実数または複素数の係数を持つ多項式の場合、これは標準的な微分です。上記の式は、係数が極限の概念が定義されていない環に属している場合でも、多項式の微分を定義します。微分によって、多項式環は微分代数になります。

導関数の存在は、整数には見られない多項式環の主要な性質の一つであり、多項式環上での計算を整数上での計算よりも容易にする。

因数分解を除いて、 K [ X ]のこれまでのすべての性質は有効である。なぜなら、上記のように、それらの証明は、性質をテストし、存在が主張される多項式を計算するためのアルゴリズムと関連付けられているからである。さらに、これらのアルゴリズムは効率的であり、計算複雑度は入力サイズの2乗関数である。

因数分解に関しては状況は全く異なります。一意因数分解の証明は、因数分解の方法に関するヒントを一切与えません。整数に関しては、古典的な（量子ではない）コンピュータ上で多項式時間で因数分解できる既知のアルゴリズムは存在しません。これが、安全なインターネット通信に広く用いられているRSA暗号システムの基礎となっています。

K [ X ]の場合、因数とその計算方法はKに強く依存します。複素数では、既約因数 (それ以上因数分解できないもの) はすべて次数が 1 ですが、実数では次数が 2 の既約多項式があり、有理数では任意の次数の既約多項式があります。たとえば、多項式${\displaystyle X^{4}-2}$は有理数体上で既約ですが、次のように因数分解されます。${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$実際の数値を超えて、${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$複素数に関して。

因数分解アルゴリズムの存在は、基礎となる体にも依存します。実数または複素数の場合、アーベル・ルフィニの定理によれば、一部の多項式の根、したがって既約因子は正確に計算できません。そのため、因数分解アルゴリズムは因子の近似値しか計算できません。このような近似値を計算するための様々なアルゴリズムが設計されています（多項式の根の探索を参照）。

Kの算術演算には正確なアルゴリズムが存在するが、次の形式の多項式が正しいかどうかを判定するアルゴリズムは存在しない例がある。${\displaystyle X^{p}-a}$既約であるか、またはより低い次数の多項式の積である。^{[ 12 ]}

一方、有理数や有限体においては、整数因数分解よりも状況は良好で、多項式時間で因数分解できるアルゴリズムが存在する。これらのアルゴリズムは、ほとんどの汎用数式処理システムに実装されている。

θが結合的なK代数Lの要素である場合、θにおける多項式の評価は、 K [ X ]からLへの唯一の代数準同型φであり、 X をθに写像し、 K自体の要素には影響を与えません( K上の恒等写像です)。これは、すべての多項式でX をθに置き換えることによって構成されます。つまり、

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

この評価準同型の像は、 θによって生成される部分代数であり、これは必ず可換である。φ が単射である場合、 θによって生成される部分代数はK [ X ]と同型である。この場合、この部分代数はK [ θ ]と表記されることが多い。同型性のため、表記の曖昧さは一般的に問題ない。

評価準同型が単射でない場合、その核は非零イデアルであり、X をθに置き換えるとゼロになるすべての多項式から構成されます。このイデアルは、ある単項多項式のすべての倍数から構成され、この単項多項式はθの最小多項式と呼ばれます。最小という用語の由来は、その次数がイデアルの要素の次数の中で最小であるという事実です。

最小多項式が考慮される主なケースは2つあります。

体論および数論において、 Kの拡大体Lの要素θは、 Kの係数を持つ何らかの多項式の根である場合に、K上で代数的である。したがって、 θのK上の最小多項式は、 θを根とする最小次数の単多項式である。Lは体であるため、この最小多項式は必然的にK上で既約である。例えば、複素数iの最小多項式 (実数および有理数上)は次のようになる。${\displaystyle X^{2}+1}$円分多項式は、1の根の最小多項式です。

線形代数では、K上のn × n正方行列は、有限次元の結合的なK代数(ベクトル空間として)を形成します。したがって、評価準同型写像は単射ではなく、すべての行列は最小多項式(必ずしも既約ではない) を持ちます。ケイリー・ハミルトンの定理により、評価準同型写像は行列の特性多項式をゼロに写像します。したがって、最小多項式は特性多項式を割り切るため、最小多項式の次数は最大でnです。

K [ X ]の場合、一般の場合と同様に、イデアルによる商環は同値類の集合として構築できます。しかし、各同値類には最小次数の多項式がちょうど 1 つ含まれているため、別の構成の方が便利な場合が多いです。

次数dの多項式pが与えられたとき、pによって生成されるイデアルによるK [ X ]の商環は、次数がd未満の多項式のベクトル空間と同一視でき、乗算を「法pによる乗算」とします。法 p による乗算は、多項式の（通常の）積をpで除算したときの余りから成ります。この商環は、次のように様々に表記されます。${\displaystyle K[X]/pK[X],}$${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle ,}$${\displaystyle K[X]/(p),}$または単に${\displaystyle K[X]/p.}$

指輪${\displaystyle K[X]/(p)}$は、 p が既約多項式である場合に限り、体である。実際、pが既約であれば、次数が低いすべての非零多項式qはpと互いに素であり、ベズーの恒等式によりsp + qr = 1となるrとsを計算できる。したがって、r はpを法とするqの乗法逆元である。逆に、pが可約であれば、 deg( p )より次数が低い多項式a、bが存在し、ab = pとなる。したがって、a、bはp を法とする非零零因子であり、可逆ではない。

例えば、複素数体の標準的な定義は、それが商環であると要約できる。

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$

そして、 Xの画像は${\displaystyle \mathbb {C} }$はiで表されます。実際、上記の説明によれば、この商はiに関する次数 1 のすべての多項式で構成され、それらはa + bi の形をしており、aとbは${\displaystyle \mathbb {R} .}$商環の 2 つの要素を乗算するために必要なユークリッド除法の余りは、それらの積を多項式としてi ²を−1に置き換えることによって得られます(これは複素数の積の通常の定義とまったく同じです)。この構成により、${\displaystyle \mathbb {C} }$これは、単項二次多項式上の商環としての二次代数のより一般的な構成を示している。 ^{[ 13 ]}

θ をK代数Aの代数的要素とする。代数的とは、θが最小多項式pを持つことを意味する。第一環同型定理は、置換準同型が同型を誘導することを主張する。${\displaystyle K[X]/(p)}$置換準同型の像K [ θ ]上に。特に、A がθによって生成されるKの単純な拡張である場合、これによりAと${\displaystyle K[X]/(p).}$この対応関係は代数的整数論において広く用いられている。

主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、 Kが体である場合、 K [ X ]にも適用されます 。これは、 K [ X ] 上のすべての有限生成加群は、自由加群と次の形式の有限個の加群の直和に分解できることを意味します。${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle }$ここで、PはK上の既約多項式であり、kは正の整数である。

多項式の加算とスカラー乗算は、特定の基底（ここでは単項式の基底）を備えた ベクトル空間または自由加群の演算である。具体的には、${\displaystyle p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$ ここで、IとJは指数ベクトルの有限集合である。

pとスカラーのスカラー乗算${\displaystyle c\in K}$は

${\displaystyle cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.}$

pとqの加算は

${\displaystyle p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },}$

どこ${\displaystyle p_{\alpha }=0}$もし${\displaystyle \alpha \not \in I,}$そして${\displaystyle q_{\beta }=0}$もし${\displaystyle \beta \not \in J.}$さらに、もし${\displaystyle p_{\alpha }+q_{\alpha }=0}$一部の人にとって${\displaystyle \alpha \in I\cap J,}$対応するゼロ項は結果から削除されます。

乗算は

${\displaystyle pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },}$

どこ${\displaystyle I+J}$は、 Iの 1 つの指数ベクトルとJの 1 つの指数ベクトルの和の集合です(通常のベクトルの和)。特に、2 つの単項式の積は、指数ベクトルが因数の指数ベクトルの和となる単項式です。

結合代数の公理の検証は簡単である。

多項式とは、スカラー（Kの要素）、不定元、および非負の整数乗による加算、乗算、べき乗の演算子を用いて構成される式のことです。

これらの操作はすべて以下のように定義されています。${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$多項式表現は多項式を表します。つまり、${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$多項式を単項式の線形結合として定義することは、特定の多項式表現であり、これはしばしば多項式の標準形、正規形、または展開形と呼ばれます。多項式表現が与えられた場合、分配法則を用いて因子間の和を持つすべての積を展開し、次に交換法則（2つのスカラーの積を除く）と結合法則を用いて結果として得られる和の項をスカラーと単項式の積に変換することで、表現された多項式の展開形を計算できます。その後、同類項をまとめることで標準形が得られます。

多項式表現とそれが表す多項式との区別は比較的新しい概念であり、主にコンピュータ代数の台頭によって促された。例えば、2つの多項式表現が同じ多項式を表しているかどうかを判定することは、容易ではない計算となる場合がある。

Kが可換環である 場合、多項式環K [ X ₁ , …, X _n ]は次の普遍性を持つ。すなわち、任意の可換K代数AおよびAの要素の任意のn組( x ₁ , …, x _n )に対して、各要素をK [ X ₁ , …, X _n ]からAへ写像する一意の代数準同型が存在する。${\displaystyle X_{i}}$対応する${\displaystyle x_{i}.}$この準同型は、代入によって得られる評価準同型です。${\displaystyle X_{i}}$と${\displaystyle x_{i}}$すべての多項式において。

すべての普遍的性質の場合と同様に、これはペアを特徴づける。${\displaystyle (K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$一意の同型写像まで。

これは随伴関手の観点からも解釈できる。より正確には、SETとALGをそれぞれ集合の圏と可換K代数の圏とする（ここで、そして以下では、射は自明に定義されている）。忘却関手が存在する。${\displaystyle \mathrm {F}$ 代数をその基となる集合に写像する写像:\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET} } 。一方、写像は${\displaystyle X\mapsto K[X]}$ファンクターを定義する${\displaystyle \mathrm {POL}$ 逆方向では:\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG} } となります 。（ Xが無限集合の場合、 K [ X ]はXの有限個の要素に関するすべての多項式の集合です。）

多項式環の普遍性により、FとPOL は随伴関手である。つまり、全単射が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).}$

これは、多項式環は可換代数の圏における自由対象であるため、自由可換代数である、と表現することもできます。同様に、整数係数を持つ多項式環は、その変数集合上の自由可換環です。なぜなら、整数上の可換環と可換代数は同一のものだからです。

このセクションでは、Rは可換環、Kは体、X は単一の不定元を表し、通常どおり、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は整数環です。R から R [ X ] に移行する際にも真であり続ける主な環の性質のリストを以下に示します。

• Rが整域である場合、R [ X ]についても同様である（多項式の積の最高次係数は、ゼロでない限り、因子の最高次係数の積となるため）。
  • 特に、${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$それらは整数領域である。
• Rが一意分解領域である場合、 R [ X ]についても同様である。これはガウスの補題と一意分解特性から導かれる。${\displaystyle L[X],}$ここで、LはRの分数体である。
  • 特に、${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$これらは固有の因数分解領域である。
• Rがネーター環である場合、 R [ X ]についても同じことが成り立ちます。
  • 特に、${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$これらはネーター環です。これはヒルベルトの基底定理です。
• Rがネーター環である場合、${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$どこ "${\displaystyle \dim }$「 」はクルル次元を表します。
  • 特に、${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$そして${\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• Rが正則環である場合、 R [ X ]についても同様です。この場合、次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$$どこ "${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$「」はグローバルな次元を表します。
  • 特に、${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 通常のリングです。${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$そして${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$後者の等式はヒルベルトの合定理である。

Nullstellensatz（ドイツ語で「零軌跡定理」）は、代数学の基本定理のいくつかの側面を多変数に拡張する定理であり、最初にダヴィッド・ヒルベルトによって証明されました。これは、代数幾何学の基礎となるものであり、代数的性質と多変数の${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$そして、代数多様体の幾何学的性質、すなわち（大まかに言えば）陰関数多項式によって定義される点の集合。

ヌルステレンザッツには主に3つのバージョンがあり、それぞれが他のバージョンの系となっています。以下にそのうち2つのバージョンを示します。3つ目のバージョンについては、ヌルステレンザッツに関するメイン記事を参照してください。

最初のバージョンは、非ゼロの単変数多項式が複素数ゼロを持つのは、それが定数でない場合のみであるという事実を一般化しています。その記述は次のとおりです。${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$Kを含む代数的に閉じた体において、 1 がSによって生成されるイデアルに属さない場合、すなわち1 が多項式係数を持つSの要素の線形結合でない場合、1 は K を含む代数的に閉じた体において共通の零点を持つ。

第２のバージョンは、複素数上の既約一変数多項式が次の形式の多項式に関連付けられるという事実を一般化したものである。${\displaystyle X-\alpha .}$その主張は、Kが代数的に閉じている場合、最大イデアルは${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$フォーム${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .}$

ベズーの定理は、 n次の1変数多項式は重複度を考慮して数えるとn個の複素根を持つという代数学の基本定理の多変数版の一般化と見なすことができる。

2変数多項式の場合、正の次数を持つ共通因子を持たない2変数の次数dとeの2つの多項式は、係数を含む代数的に閉じた体において、重複度を考慮して無限大の零点も含めると、ちょうどde個の共通零点を持つと規定されている。

一般の場合を述べ、また「無限遠でのゼロ」を特別なゼロとみなさないためには、同次多項式を用いて、射影空間におけるゼロを考えるのが便利である。この文脈では、同次多項式の射影ゼロは${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})}$スケーリングを除いて、( n + 1)タプルである${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$K の要素のうち(0, …, 0)と異なるもの、かつ${\displaystyle P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0}$ここで「スケーリングを除いて」とは、${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$そして${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$非ゼロの場合、それらは同じゼロとみなされる。${\displaystyle \lambda \in K.}$言い換えれば、零点とは、n次元射影空間における点の同次座標の集合である。

すると、ベズーの定理は次のように述べている。次数がnの同次多項式が与えられたとき、${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$Kの代数的に閉じた拡張において有限個の共通射影零点しか持たないn + 1 個の不定元では、これらの零点の重複度の合計は積である。${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

多項式環のわずかな一般化の一つは、無限個の不定元を許容することです。各単項式は依然として有限個の不定元しか含まないため（したがってその次数は有限のままです）、各多項式は依然として単項式の（有限）線形結合です。したがって、個々の多項式は有限個の不定元しか含まず、多項式を含む有限の計算は、有限個の不定元を含む多項式の部分環内に留まります。この一般化は、通常の多項式環と同じ性質、すなわち自由可換代数であるという性質を持ちますが、唯一の違いは、無限集合上の自由対象であるという点です。

また、次数が制限された単項式の無限（または有限）形式和を一般化多項式として定義することで、より大きな環を考えることもできる。この環は、変数の無限和を含むため、通常の多項式環よりも大きい。しかし、無限個の変数の冪級数の環よりは小さい。このような環は、無限集合上の対称関数の環を構成するために用いられる。

単純な一般化では、変数の指数が抽出される集合が変わるだけです。指数を加算できる限り、加算と乗算の公式は意味を持ちます。X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j}。加算が意味を持つ（閉じていて結合法則が成り立つ）集合はモノイドと呼ばれます。モノイドNから環Rへの関数のうち、有限個の場所でのみ非ゼロとなる集合は、 R [ N ]と呼ばれる環の構造を持つことができます。これは、 Rの係数を持つNのモノイド環です。加算は成分ごとに定義され、c = a + bの場合、Nのすべてのnに対してc _n = a _n + b _nとなります。乗算はコーシー積として定義され、c = a ⋅ bの場合、 Nの各nに対して、c _{n は}、 i、jがNのすべての要素のペアを網羅し、合計がnになるa _i b _jの和となります。

Nが可換である場合、 R [ N ]における関数aを形式的な和として表すと便利である。

${\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}}$

そして、足し算と掛け算の公式は、おなじみのものです。

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

そして

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

ここで、後者の合計は、合計がnになるN内のすべてのi、jについて取られます。

一部の著者は、このモノイドの定義を出発点とし、通常の1変数多項式はNが非負整数のモノイドである場合の特殊なケースであるとまで主張している。^{[ 15 ]}多変数多項式は、Nを非負整数のモノイドの複数のコピーの直積とみなすだけである。

N を非負有理数の加法モノイドとすることで、いくつかの興味深い環と群が形成される。 ^{[ 16 ]}

冪級数は、無限個の非零項を許容することで、指数の選択を異なる方向に一般化します。これには、コーシー積の和が有限和であることを保証するために、指数に使用されるモノイドNに関するさまざまな仮定が必要です。あるいは、環に位相を配置し、収束する無限和に制限することもできます。N の標準的な選択、つまり非負整数の場合、問題はなく、形式的冪級数の環は、Nから環Rへの関数の集合として定義され、その加算は成分ごとに行われ、乗算はコーシー積によって与えられます。冪級数の環は、 xによって生成されるイデアルに関する多項式環の環完備化と見なすこともできます。

複数の変数を持つ多項式環の場合、積X ⋅ YとY ⋅ Xは単純に等しいと定義されます。これら 2 つの形式的な積の区別を維持すると、より一般的な多項式環の概念が得られます。形式的には、環Rの係数を持つn 個の非可換変数の多項式環は、モノイド環R [ N ]です。ここで、モノイドNはn文字の自由モノイドであり、 n個の記号のアルファベット上のすべての文字列の集合としても知られ、乗算は連結によって与えられます。係数も変数も互いに可換である必要はありませんが、係数と変数は互いに可換です。

可換環Rの係数を持つn変数の多項式環がランクnの自由可換R代数であるのと同様に、可換環Rの係数を持つn変数の非可換多項式環は、 n個の生成元を持つ自由結合的単位元を持つR代数であり、 n > 1の場合は非可換である。  

多項式のその他の一般化としては、微分環や歪多項式環などがある。

微分多項式環は、環RとRからRへの微分δから構成される微分演算子の環です。この微分はRに作用し、演算子として見た場合、 Xと表記されます。R の要素も乗算によってRに作用します。演算子の合成は通常の乗算​​で表されます。したがって、関係δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

この関係は、 Rの係数を持つXの 2 つの多項式間のスキュー乗法を定義するように拡張することができ、それによってそれらは非可換環になります。

ワイル代数と呼ばれる標準的な例では、Rを（通常の）多項式環k [ Y ] とし、δ を標準的な多項式微分とします。${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$上記の関係式でa = Yとすると、標準的な交換関係式X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1 が得られます。この関係式を結合法則と分配法則で拡張すると、ワイル代数を明示的に構成することができます。（Lam 2001 、§1、例 1.9）。

歪多項式環は、環RとRの環自己準同型fに対して同様に定義され、関係X ⋅ r = f ( r )⋅ Xからの乗法を拡張して、標準加算に分配する結合的乗法を生成します。より一般的には、正の整数のモノイドNからRの自己準同型環への準同型Fが与えられた場合、式X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿにより、歪多項式環を構成できます。( Lam 2001 、§1、例 1.11)歪多項式環は、交差積代数 と密接に関連しています。

多項式環の定義は、代数構造Rが体または環であるという要件を緩和し、 R が半体またはリグであるという要件のみにすることで一般化できます。結果として得られる多項式構造/拡張R [ X ] は多項式リグです。例えば、自然数を係数とするすべての多変数多項式の集合は多項式リグです。