自由代数

数学、特に環論として知られる抽象代数の分野において、自由代数は多項式環の非可換類似体であり、その要素は非可換変数を持つ「多項式」として記述することができる。同様に、多項式環は自由可換代数とみなすことができる。

R が可換環である場合、n 個の不定元{ X ₁ ,..., X _n } 上の自由 (結合的、単位的)代数( free ( associative ) algeneral ) は、アルファベット { X ₁ ,..., X _n } 上のすべての単語(free (algeneral) の単位である空単語を含む)を基底とする自由 R モジュールです。このRモジュールは、次のように乗算を定義することでR代数になります。2 つの基底元の積は、対応する単語の 連結です。

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

そして、任意の 2 つのR加群の積は一意に決定されます ( R代数における乗算はR双線型でなければならないため)。このR代数はR ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩と表されます。この構成は、不定値の任意の集合Xに簡単に一般化できます。

つまり、任意の集合に対して、X上の自由（結合的、 単位的）R代数は${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}$

R双線形乗算は単語の連結であり、ここでX *はX上の自由モノイド（つまり、文字X _i上の単語）を表し、は外部直和を表し、Rw は1 つの要素である単語w上の自由R加群を表します。 ${\displaystyle \oplus }$

例えば、R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩において、スカラーα、β、γ、δ ∈ Rに対して、2つの要素の積の具体的な例は、

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$。

非可換多項式環は、X _i内のすべての有限語の自由モノイドのR上のモノイド環と同一視できる。

アルファベット上の単語 { X ₁ , ..., X _n } はR ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩の基底を形成するので、 R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩の任意の要素は次の形式で一意に表せることは明らかです。

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

ここで、 はRの元であり、これらの元のうち有限個を除いてすべてはゼロです。これは、R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ の元が「変数」（または「不定値」） X ₁ ,..., X _nの「非可換多項式」としてしばしば表記される理由を説明しています。要素はこれらの多項式の「係数」と言われ、R代数R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ は「 n 個の不定値におけるR上の非可換多項式代数」と呼ばれます。実際の多項式環とは異なり、変数は交換されないことに注意してください。たとえば、X ₁ X _{2 は}X ₂ X ₁と等しくありません。 ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$

より一般的には、任意の生成元集合E上に自由代数R ⟨ E ⟩ を構築することができます。環はZ代数とみなすことができるため、E上の自由環は自由代数Z ⟨ E ⟩として定義できます。

体上で、 n 個の不定元上の自由代数は、 n次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できます。より一般的な係数環の場合、 n 個の生成元上の自由加群を取れば、同じ構成が機能します。

E上の自由代数の構成は関数的性質を持ち、適切な普遍的性質を満たします。自由代数関数は、R代数のカテゴリから集合のカテゴリへの忘却関数の左随伴です。

分割環上の自由代数は自由イデアル環である。

• コフリー余剰代数
• テンソル代数
• フリーオブジェクト
• 非可換環
• 有理数列
• 項代数

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011).非可換有理数級数とその応用. 数学とその応用百科事典. 第137巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19022-0.ZBL1250.68007  。​
• LA Bokut' (2001) [1994]、「自由結合代数」、数学百科事典、EMS Press