交差積

数学において、交差積は、群の作用を受けるフォン・ノイマン代数から 新しいフォン・ノイマン代数を構築する基本的な方法です。これは、群の半直積の構築に関連しています。（大まかに言えば、交差積は半直積群の群環の予想される構造です。したがって、交差積には環論の側面もあります。この記事では、関数解析で交差積が現れる重要なケースに焦点を当てます。）

2 つの有限群 とN があり、 GがNに作用している場合、半直積 を形成できることを思い出してください。これにはN が正規部分群 として含まれており、GのNへの作用は半直積の共役によって与えられます。Nをその複素群代数C [ N ] で置き換えて、同様の方法で再び積を形成できます。この代数は、 g がGの要素を通過するときのサブスペースgC [ N ]の和であり、 は の群代数です。この構成をさらに一般化するには、 C [ N ] をGが作用する任意の代数Aで置き換えて交差積 を取得します 。交差積はサブスペースgAの和であり 、 GのAへの作用は交差積の共役によって与えられます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N\rtimes G}$ ${\displaystyle C[N]\rtimes G}$ ${\displaystyle N\rtimes G}$${\displaystyle A\rtimes G}$

フォン・ノイマン代数とそれに作用する群Gとの交差積は、位相についてより注意する必要があり、交差積が作用するヒルベルト空間を構築する必要があることを除いて同様です。(フォン・ノイマン代数の交差積は、通常、上で説明した代数的交差積よりも大きいことに注意してください。実際、それは代数的交差積のある種の完備化です。)

物理学では、この構造は、いわゆる第 1 種のゲージ グループの存在下で現れます。Gはゲージ グループで、Nは「場」代数です。観測可能量は、Gの作用下にあるNの固定点として定義されます。Doplicher、Haag、Roberts による結果では、いくつかの仮定の下では、交差積は観測可能量の代数から復元できるとされています。

A がヒルベルト空間Hに作用する作用素のフォン・ノイマン代数であり、G がAに作用する離散群であるとする。 K をG上の平方和可能なH値関数全体のヒルベルト空間とする。 Kに対するAの作用は 次式で与えられる 。

• a(k)(g) = g ⁻¹ (a)k(g)

ここでkはK、g、hはG、aはAであり、GのKへの作用は次のように与えられる 。

• g(k)(h) = k(g ⁻¹ h) です。

交差積は、KへのAとGの作用によって生成される、Kに作用するフォンノイマン代数です。これは、（同型性を除いて）ヒルベルト空間Hの選択に依存しません。 ${\displaystyle A\rtimes G}$

この構成は、任意のフォン・ノイマン代数Aに作用する任意の局所コンパクト群 Gに対して機能するように拡張できます。 がアーベルフォン・ノイマン代数である場合、これはマレーとフォン・ノイマンの元の群測度空間構成です。 ${\displaystyle A}$

G をアーベル・フォン・ノイマン代数Aに作用する無限可算離散群とする。Aに非ゼロの射影pがなく、何らかの非自明なg がpApのすべての要素を固定する場合、その作用は自由であると呼ばれる。不変射影が 0 と 1 のみである場合、その作用はエルゴードであると呼ばれる。通常、A は、Gが作用する測度空間X上の本質的に有界な関数のアーベル・フォン・ノイマン代数として識別でき、そのとき、GのXへの作用がエルゴードである (任意の測定可能な不変部分集合について、部分集合またはその補集合のいずれかが測度 0 である) のは、 GのAへの作用がエルゴードである場合に限ります。 ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$

GのAに対する作用が自由かつエルゴード的である場合、交差積は因数です。さらに、 ${\displaystyle A\rtimes G}$

• Aに最小の射影があり、その射影のG共役の合計が 1 である場合、因子はタイプ I です。これは、 GのXへの作用が推移的であることに対応します。例: X は整数であり、G は変換によって作用する整数のグループです。
• A が忠実な有限正規G不変トレースを持つ場合、因子はタイプ II ₁を持ちます。これは、X が有限G不変測度を持ち、 X上の測度に関して絶対連続であることに対応します。例: X は複素平面上の単位円であり、G はすべての 1 の根の群です。
• 因子がタイプ I または II ₁ではなく、忠実な半有限正規G不変トレースを持つ場合、因子はタイプ II _{∞を持ちます。これは、} X が原子のない無限のG不変測度を持ち、 X上の測度に関して絶対連続であることに対応します。例: X は実数直線であり、G は平行移動によって作用する有理数群です。
• A に忠実な半有限正規G不変トレースがない場合、因子はタイプ III になります。これは、 Xにゼロ以外の絶対連続G不変測度がないことに相当します。例: Xは実数直線で、G はaとb が有理数でa がゼロ以外の場合のすべての変換ax + bの群です。

特に、交差積として、さまざまなタイプの因子の例を構築することができます。

が局所コンパクトアーベルが作用するフォンノイマン代数である場合、の双対指標群はにユニタリによって作用します 。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle (\chi \cdot k)(h)=\chi (h)k(h)}$

これらのユニタリは交差積を正規化し、の双対作用を定義します。 交差積とともに を生成しますが、これは双対作用 によって反復交差積と同一視できます。 この同一視のもとでは、 ( の双対群)の二重双対作用は、への元の作用と への次のユニタリによる共役のテンソル積に対応します 。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A\otimes B(L^{2}(G))}$${\displaystyle (A\rtimes G)\rtimes \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L^{2}(G)}$

• ${\displaystyle (g\cdot f)(h)=f(hg)}$

交差積は、二重双対作用の不動点代数と同一視される。より一般的には、交差積 の不動点代数である。${\displaystyle A}$${\displaystyle \ガンマ}$

を非アーベル局所コンパクト群、またはより一般的にはフォン・ノイマン代数に関連するホップ代数のクラスである局所コンパクト量子群に置き換えた場合にも、同様のステートメントが成り立ちます。C *代数とその交差積 に対する作用についても、類似の理論が開発されています。${\displaystyle G}$

実数の作用に対する双対性は、タイプ III 因子の分類に関するコンヌと竹崎の研究で初めて登場しました。富田–竹崎理論によれば、因子とその可換項に対して巡回的なベクトルはすべて、 1 パラメータのモジュラー自己同型群を生じます。対応する交差積はタイプフォン ノイマン代数であり、対応する双対作用は、その中心への実数のエルゴード作用、つまりアーベル フォン ノイマン代数に制限されます。このエルゴード フローは重み のフローと呼ばれ、巡回ベクトルの選択とは無関係です。正の実数の閉じた部分群であるコンヌ スペクトル は、このフローの核に指数関数を適用することで得られます。 ${\displaystyle II_{\infty}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

• 核が の全体である場合、因子は 型になります。${\displaystyle R}$${\displaystyle III_{1}}$
• カーネルが (0,1) の場合、係数はタイプ になります。${\displaystyle (\log \lambda )Z}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle III_{\lambda }}$
• カーネルが単純な場合、係数は 型になります。${\displaystyle III_{0}}$

Connesと Haagerup は、Connes スペクトルと重みの流れが超有限タイプ III 因子の完全な不変量であることを証明しました。この分類とエルゴード理論の結果から、すべての無限次元の超有限因子は、 の何らかの自由エルゴード作用に対して の形を持つことがわかっています。 ${\displaystyle L^{\infty }(X)\rtimes Z}$${\displaystyle Z}$

• を複素数とすると、その交差積はGのフォン・ノイマン群代数と呼ばれます。${\displaystyle C}$${\displaystyle C\rtimes G}$
• が無限離散群で、すべての共役類が無限の順序を持​​つ場合、フォン・ノイマン群代数はタイプ II ₁の因数です。さらに、 のすべての有限の元の集合が有限の部分群を生成する場合 (またはより一般的にはGが従順である場合)、因数はタイプ II ₁の超有限因数です。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• 交差積代数

• 竹崎正道 (2002)、作用素代数理論 I、II、III、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-42248-8、ISBN 3-540-42914-X (II)、ISBN 3-540-42913-1 (III)  
• コネス、アラン（1994）、非可換幾何学、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-185860-5
• Pedersen, Gert Kjaergard (1979)、「C*-代数とその自己同型群」、London Math. Soc. Monographs、vol. 14、ボストン、MA: Academic Press、ISBN 978-0-12-549450-2