積分領域

数学において、整域とは、任意の 2 つの非零要素の積が非零となる非零可換環のことである。^{[ 1 ] [ 2 ]} 整域では、すべての非零要素aは相殺性質を持ち、すなわち、a ≠ 0 の場合、ab = acならばb = cとなる。整域は整数環の一般化であり、整除性を研究する上で有用な設定を提供する。

「整域」はほぼ普遍的に上記のように定義されますが、多少のバリエーションがあります。この記事では、環が乗法単位元（一般に 1 で表される）を持つという慣例に従いますが、整域が乗法単位元を持つことを要求しない著者もいます。^{[ 3 ] [ 4 ]}非可換整域が認められる場合もあります。^{[ 5 ]} ただし、この記事では、可換の場合に「整域」という用語を、非可換環を含む一般の場合に「領域」という用語を使用するという、より一般的な慣例に従います。

一部の文献、特にラングは、整域を「全環」と呼んでいる。^{[ 6 ]}

以下のクラス包含関係の連鎖によって、特定の種類の積分領域が与えられる。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

整域とは、任意の2つの非零要素の積が非零となる非零可換環のことである。言い換えれば、

• 整域とは、零因子を持たない非零可換環のことである。
• 整域とは、零イデアル{0}が素イデアルである可換環のことである。
• 整域とは、すべての非零元が乗法に関して約分可能な、非零の可換環のことである。
• 整域とは、非零要素の集合が乗法に関して可換なモノイドとなるような環のことである（モノイドは乗法に関して閉じていなければならないため）。
• 整域とは、零でない可換環であって、すべての零でない元rに対して、環の各元xを積xrに写像する関数が単射であるような環のことである。この性質を持つ元rは正則と呼ばれるので、環のすべての零でない元が正則であることを要求するのと同値である。
• 整域とは、体の部分環と同型な環のことである。（整域が与えられた場合、それを分数体の中に埋め込むことができる。）

• 典型的な例は指輪である${\displaystyle \mathbb {Z} }$すべての整数の。
• すべての場は整域である。例えば、場${\displaystyle \mathbb {R} }$すべての実数の環は整域である。逆に、すべてのアルティン整域は体である。特に、すべての有限整域は有限体である（より一般的には、ウェダーバーンの小定理により、有限整域は有限体である）。整数環${\displaystyle \mathbb {Z} }$これは、体ではない非アルティン的な無限整域の例を示しており、次のような無限降下列のイデアルを持つ。

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• 多項式の環は、係数が整域から得られる場合、整域となる。例えば、環${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$整数係数を持つ1変数多項式はすべて整域であり、環も同様である。${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$複素係数を持つn変数多項式すべて。
• 前述の例は、素イデアルから商を取ることによってさらに活用できる。例えば、環${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$平面楕円曲線に対応する領域は積分領域である。積分性は、次の式で確認できる。${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$は既約多項式である。
• 指輪${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$は、任意の非平方整数に対する整数領域である。${\displaystyle n}$。 もし${\displaystyle n>0}$すると、この環は常に の部分環となる${\displaystyle \mathbb {R} }$そうでなければ、それは の部分環である${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• p進整数環${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$は整域である。
• 整域の形式的冪級数の環は整域である。
• もし${\displaystyle U}$複素平面の連結した開部分集合である${\displaystyle \mathbb {C} }$そして指輪${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$正則関数のみからなる空間は整域である。解析多様体の連結な開部分集合上の解析関数の環についても同様である。
• 正則局所環は整域である。実際、正則局所環はUFDである。^{[ 7 ] [ 8 ]}

以下の環は整域ではない。

• ゼロリング（${\displaystyle 0=1}$)
• 商環${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$mが合成数の場合。これを示すには、適切な因数分解を選択します。${\displaystyle m=xy}$（つまり、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$等しくない${\displaystyle 1}$または${\displaystyle m}$）。 それから${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$そして${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$、 しかし${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$。
• 2つの非零可換環の積。このような積では${\displaystyle R\times S}$1つは${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$。
• 商環${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$いかなる場合でも${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. の画像${\displaystyle x+n}$そして${\displaystyle x-n}$はゼロではないが、この環ではそれらの積はゼロになる。
• n ≥ 2の場合、任意の非零環上のn × n行列の環。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$は、${\displaystyle N}$核に含まれる${\displaystyle M}$、 それから${\displaystyle MN=0}$例えば、これは次のような場合に起こります。${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$。
• 商環${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$あらゆる分野${\displaystyle k}$および定数でない多項式${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$この商環におけるfとgの像は、積が 0 となる非零元である。この議論は、同等に、次のことを示している。${\displaystyle (fg)}$は素イデアルではありません。この結果の幾何学的解釈は、fgの零点が一般に既約ではない（つまり、代数多様体ではない）アフィン代数集合を形成するということです。この代数集合が既約になる可能性がある唯一のケースは、fg が既約多項式のべき乗である場合で、これは同じ代数集合を定義します。
• 単位区間上の連続関数の環。関数を考える。

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

どちらでもない${\displaystyle f}$または${\displaystyle g}$どこでもゼロですが、${\displaystyle fg}$は。

• テンソル積${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$この環には 2 つの非自明な冪等元があり、${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$そして${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$それらは直交している、つまり${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$、したがって${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$はドメインではありません。実際には同型写像が存在します。${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$定義される${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$その逆は次のように定義される。${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$この例は、既約アフィンスキームのファイバー積が必ずしも既約であるとは限らないことを示している。

この節では、Rは整数領域である。

Rの要素aとbが与えられたとき、ax = bとなるRの要素xが存在する場合、 a はbを割り切る、またはaはbの約数である、またはbはaの倍数であると言う。

Rの単位元とは、1を割り切る要素のことです。これらはまさにRにおける可逆元です。単位元は他のすべての要素を割り切ります。

aがbを割り切り、bがaを割り切る場合、aとbは関連要素または関連要素である。^{[ 9 ]} 同様に、aとbは、ある単位uに対してa = ubである場合に関連要素である。

既約元とは、2つの非単位の積として表すことができない、ゼロでない非単位のことである。

非零非単位元pは、積ab をpが割り切るとき、必ずp がa を割り切るか、またはp がbを割り切る場合に素元である。言い換えれば、元pが素元であるのは、主イデアル( p ) が非零素イデアルである場合に限る。

既約元と素元の概念はどちらも、環における素数の通常の定義を一般化したものである。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$負の素数を素数とみなす場合。

すべての素元は既約である。一般に逆は成り立たない。例えば、2次整数環では${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$要素 3 は既約です (非自明に因数分解すると、各因数はノルム 3 を持つ必要がありますが、ノルム 3 の要素は存在しません)${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$整数解はないが、素数ではない（3 は を割り切るため）${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$どちらの因数も割らずに）。一意の因数分解領域（またはより一般的には、最大公約数領域）では、既約元は素元です。

一意の因数分解は成り立たないが、${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$イデアルの因数分解は一意である。ラスカー・ネーターの定理を参照のこと。

• 可換環Rが整域であるのは、Rのイデアル (0)が素イデアルである場合に限る。
• If R is a commutative ring and P is an ideal in R, then the quotient ringR/P is an integral domain if and only if P is a prime ideal.
• Let R be an integral domain. Then the polynomial rings over R (in any number of indeterminates) are integral domains. This is in particular the case if R is a field.
• The cancellation property holds in any integral domain: for any a, b, and c in an integral domain, if a ≠ 0 and ab = ac then b = c. Another way to state this is that the function x ↦ ax is injective for any nonzero a in the domain.
• The cancellation property holds for ideals in any integral domain: if xI = xJ, then either x is zero or I = J.
• An integral domain is equal to the intersection of its localizations at maximal ideals.
• An inductive limit of integral domains is an integral domain.
• If A, B are integral domains over an algebraically closed field k, then A ⊗_kB is an integral domain. This is a consequence of Hilbert's nullstellensatz,^[a] and, in algebraic geometry, it implies the statement that the coordinate ring of the product of two affine algebraic varieties over an algebraically closed field is again an integral domain.

The field of fractionsK of an integral domain R is the set of fractions a/b with a and b in R and b ≠ 0 modulo an appropriate equivalence relation, equipped with the usual addition and multiplication operations. It is "the smallest field containing R" in the sense that there is an injective ring homomorphism R → K such that any injective ring homomorphism from R to a field factors through K. The field of fractions of the ring of integers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is the field of rational numbers${\displaystyle \mathbb {Q} .}$体の分数体は、その体自体と同型である。

整域は、既約（すなわち、x ² = 0ならばx = 0）かつ既約（すなわち、最小素イデアルがただ一つしかない）であるという条件によって特徴づけられる。前者の条件は、環の冪零根基がゼロであることを保証するので、環のすべての最小素の共通部分はゼロとなる。後者の条件は、環が最小素をただ一つしか持たないことである。したがって、既約かつ既約な環の唯一の最小素イデアルは零イデアルであり、そのような環は整域である。逆もまた明らかである。整域は非零の冪零元を持たず、零イデアルが唯一の最小素イデアルである。

これは代数幾何学において、アフィン代数集合の座標環が整域となるのは、その代数集合が代数多様体である場合に限る、という事実に相当します。

より一般的に言えば、可換環が整域であるのは、そのスペクトルが整アフィンスキームである場合に限る。

整数領域の特性は、0 または素数のいずれかである。

R が素特性pの整域である場合、フロベニウス自己準同型x ↦ x ^pは単射である。

ウィキブックの抽象代数学には、 「整域」というトピックに関するページがあります。

• デデキント・ハッセノルム– 積分領域が主領域となるために必要な追加構造
• ゼロ積特性

• 「『積分領域』という用語はどこから来たのですか？」