形式的導関数

数学において、形式微分とは、多項式環または形式冪級数環の要素に対する演算であり、微積分における微分と同じ形式をとる。両者は似ているように見えるが、形式微分の代数的な利点は、極限の概念に依存しないことである。極限は一般に環に対して定義することが不可能である。微分の性質の多くは形式微分にも当てはまるが、特に数値的な性質など、そうでないものもある。

形式微分は、代数学において多項式の多重根を調べるために用いられる。

指輪を修理する${\displaystyle R}$（必ずしも可換ではない）そして${\displaystyle A=R[x]}$多項式の環を${\displaystyle R}$。 （もし${\displaystyle R}$これは可換ではない。これは単一の不定変数に関する自由代数である。）

すると形式微分は、${\displaystyle A}$、もし

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

すると、その形式的導関数は

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.}$

上記の定義において、任意の非負整数に対して${\displaystyle i}$そして${\displaystyle r\in R}$、${\displaystyle ir}$リング内で通常どおり定義されます。${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ 回}}}}$（と${\displaystyle ir=0}$もし${\displaystyle i=0}$). ^{[ 1 ]}

この定義は、${\displaystyle R}$乗法単位元を持たない（つまり、${\displaystyle R}$乱数発生器です。

以下のことが確認できる。

• 形式微分は線形である。R [ x ] の任意の2 つの多項式f ( x ), g ( x )とRの要素r , sに対して、次の式が成り立つ。

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

• 形式微分は積の法則を満たす。

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

因数の順序に注意してください。Rが可換でない場合、これは重要です。

これら2つの性質により、DはA上の導関数となる（一般化については相対微分形式のモジュールを参照）。

形式微分は環準同型ではないことに注意してください。なぜなら、積の規則は、(そしてそれは当てはまらない)と言うこととは異なるからです。${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$しかし、上記の規則によれば、これはR加群の準同型写像 (線形写像)です。

微積分と同様に、導関数は多重根を検出します。R が体である場合、R [ x ]はユークリッド領域であり、この状況では根の多重度を定義できます。R [ x ]のすべての多項式 f ( x )とRのすべての要素rに対して、非負整数m _rと多項式g ( x )が存在し、

${\displaystyle f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x)}$

ここでg ( r ) ≠ 0 です。 m _rはfの根としてのrの重複度です。ライプニッツの規則から、この場合、m _rは、結果として得られる多項式の根がrでなくなるまでにf ( x )に対して実行しなければならない微分回数でもあります。この観察の有用性は、一般にR [ x ]の次数nのすべての多項式が重複度を数えてn個の根を持つわけではないものの (これは上記の定理による最大値です)、これが成り立つ体拡張(すなわち、代数的閉包) に移行できるということです。そうすると、単純にR上では根ではなかった多重根を発見できる可能性があります。たとえば、R が3 つの要素を持つ有限体である場合、多項式

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

Rには根がありません。ただし、その形式的導関数 (${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}}$）は、 RおよびRの任意の拡大体において3 = 0 であるためゼロになります。したがって、代数的閉包に移行すると、 R自体での因数分解では検出できなかった多重根を持ちます。このように、形式的微分は多重度の概念を効果的に実現します。これは、ガロア理論において重要です。ガロア理論では、分離可能な体拡大（多重根を持たない多項式で定義される）と分離不可能な体拡大が区別されます。

スカラー環Rが可換である場合、微分積分学で見られるものと類似した、形式微分の別の等価な定義が存在する。環R [ X , Y ]の要素Y – Xは、任意の非負整数nに対してY ⁿ – X ^{n を}割り切り、したがって、任意の多項式fに対してf ( Y ) – f ( X )を1 つの不定元で割り切る。R [ X , Y ]における商をgとすると、

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX}}.}$

したがって、 g ( X , X ) ( R [ X ] 内) が、上で定義されたfの形式的導関数と一致することを検証するのは難しくありません。

この導関数の定式化は、係数環が可換である限り、形式的な冪級数に対しても同様に有効である。

実際、この定義における除算を、 Xで連続なYの関数クラスで行うと、導関数の古典的な定義を再現できます。XとYの両方で連続な関数クラスで行うと、一様微分可能性が得られ、関数fは連続微分可能になります。同様に、異なる関数クラス（例えば、リプシッツクラス）を選択することで、異なる種類の微分可能性が得られます。このようにして、微分は関数代数の一部となります。

• デリバティブ
• ユークリッド領域
• 相対微分形式のモジュール
• ガロア理論
• 形式的冪級数
• ピンチャーレ誘導体

• ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556、Zbl 0984.00001​  
• Michael Livshits、「微積分を簡略化できる」、arXiv:0905.3611v1