加法多項式

数学において、加法多項式は古典的な代数的整数論における重要なトピックです。

k を素数特性pの体とする。kに係数を持つ多項式P ( x ) は、次の式を満足する加法多項式、またはフロベニウス多項式と呼ばれる。

${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)\,}$

aとbの多項式として。この等式がk を含むある無限体（その代数的閉包など）内のすべてのaとbに対して成り立つと仮定することと同等です。

時々、絶対加法的が上記の条件に使用され、加法的は、体内のすべてのaとbに対してP ( a  +  b ) = P ( a ) +  P ( b )というより弱い条件に使用されます。無限体の場合、条件は同等ですが、有限体の場合はそうではなく、より弱い条件は適切に動作しないため「誤り」です。たとえば、位数 q の体上で、x q − x の任意の倍数P^は 、 体内のすべてのaとbに対してP ( a  +  b ) = P ( a ) +  P ( b )を満たしますが、通常は (絶対的に) 加法的ではありません。

多項式x ^pは加法多項式である。実際、kの代数閉包内の任意のaとbに対して、二項定理により

${\displaystyle (a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{pn}.}$

pは素数なので、 n = 1, ..., p −1のすべてにおいて二項係数 はpで割り切れ、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle \scriptstyle {p \choose n}}$

${\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}$

aとbの多項式として。

同様に、次の形式の多項式はすべて

${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}}$

は加法性があり、n は負でない整数です。

この定義は、 k が特性 0 の体であっても意味をなしますが、この場合、加法多項式はk内の何らかのaに対してaxの形式の多項式のみになります。^[要出典]

kの係数を持つ多項式の任意の線形結合も加法多項式であることを証明するのは非常に簡単です。興味深い質問は、これらの線形結合以外の加法多項式が存在するかどうかです。答えは、これらだけです。 ${\displaystyle \tau_{p}^{n}(x)}$

P ( x ) とM ( x ) が加法多項式であれば、P ( x ) +  M ( x ) とP ( M ( x ) ) も加法多項式であることが確認できます。これは、加法多項式が多項式の加法と合成の下で環を形成することを意味します。この環は次のように表されます。

${\displaystyle k\{\tau _{p}\}.\,}$

この環は、kが体でない限り可換ではない（モジュラー算術を参照）。実際、 kの係数aに対する加法多項式axとx ^pを考えてみよう。これらが合成に関して可換であるためには、 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$

${\displaystyle (ax)^{p}=ax^{p},\,}$

したがって、a ^p  −  a = 0となる。これは、この式の根ではないa、つまり外側のaに対しては誤りである。${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

P ( x ) をkの係数を持つ多項式とし、をその根の集合とする。P ( x ) の根が互いに異なる（つまり、P ( x ) が分離可能である）と仮定すると、P ( x ) が加法性を持つのは、集合が体加法を持つ群を形成する場合のみである。 ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k}$${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}}$

• ドリンフェルトモジュール
• 加法マップ

• David Goss、『関数体算術の基本構造』、 1996年、Springer、ベルリン。ISBN 3-540-61087-1 。

• ワイスタイン、エリック W.「加法多項式」。マスワールド。