鉱石拡張

数学、特に環論として知られる代数学の分野において、オイスタイン・オアにちなんで名付けられたオア拡張は、その性質が比較的よく理解されている特殊な環拡張の一種である。オア拡張の要素はオア多項式と呼ばれる。

鉱石拡張は、歪多項式環や微分多項式環、多環群の群環、可解リー代数の普遍包絡環、量子群の座標環など、いくつかの自然な文脈で現れます。

R は（必ずしも可換ではない）環であると仮定します。${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$は環準同型であり、${\displaystyle \delta \colon R\to R}$これはRのσ微分であり、つまり${\displaystyle \delta }$は、アーベル群の準同型であり、

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$。

次に、鉱石拡張機能${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$（斜多項式環とも呼ばれる）は、多項式の環を与えることによって得られる非可換環である。${\displaystyle R[x]}$恒等式に従う新たな乗算

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$。

δ = 0 (つまり、ゼロ写像)の場合、Ore 拡張はR [ x ; σ ] と表記されます。σ = 1 (つまり、恒等写像) の場合、 Ore拡張はR [ x , δ ] と表記され、微分多項式環と呼ばれます。

ワイル代数は、 R を任意の可換多項式環、σを恒等環自己準同型、δを多項式微分とするOre 拡張である。Ore 代数は、適切な制約の下で反復 Ore 拡張のクラスであり、 Gröbner 基底の理論の非可換拡張を展開することを可能にする。

• Oreにおけるドメインの拡張は、ドメインである。
• 斜体のOre拡張は、非可換主イデアル整域である。
• σ が自己同型であり、Rが左ネーター環である場合、Ore 拡張R [ λ ; σ , δ ] も左ネーター環である。

鉱石リングRの要素fは、

• R·f = f·Rの場合、両側^{[ 1 ]} (または不変^{[ 2 ]} )であり、
• すべてのg ∈ Rに対してg·f = f·gの場合、中央。

• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004)『非可換ネーター環入門』第2版、ロンドン数学会学生テキスト、第61巻 、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-54537-4MR 2080008​ 
• McConnell, JC; Robson, JC (2001), Noncommutative Noetherian rings , Graduate Studies in Mathematics , vol.  30, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5MR 1811901​ 
• Azeddine Ouarit (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip、Comm.代数、20 No 6、1819-1837。https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Azeddine Ouarit (1994) PI Ore エクステンションの Jacobson 特性に関するコメント。 (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (フランス語) Zbl 0819.16024。アーチ。数学。 63、No.2、136-139 (1994)。https://zbmath.org/?q=an:00687054
• ローウェン、ルイス・H. (1988)、環論、第I巻、第II巻、純粋および応用数学、第 127巻、第128巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、ISBN 0-12-599841-4MR 0940245​