最小多項式（線形代数）

線形代数で $は$ 、 $$ $n\times n$ 体 $F$ 上の行列 $Aは、$ $μ$ $A$ $($ $A$ $)= 0$ を満たす最小次数の $F$ 上の単多項式 $μ$ $A$ である。Q $($ $A$ $) = 0 を満たす$ 他の多項式 $Q は$ $、$ $μ$ $A$ の（多項式）倍数である。

以下の３つの記述は同等である。

$λは$ $μA$ の根 $で$ ある。
$λは$ $A$ の特性多項式 $χA の$ 根であり、
$λ$ は行列 $Aの$ 固有値である。

$μ$ $A$ の根 $λの重複度は、$ $ker(($ $A$ $-$ $λI$ $n$ $)$ $m$ $)が$ $ker(($ $A$ $-$ $λI$ $n$ $)$ $m$ $-1$ $)を$ 厳密に含むような最大のべき乗 $m$ です。言い換えれば、指数を $mまで増やすと$ カーネルはどんどん大きくなりますが、指数を $m を$ 超えてさらに増やすと、同じカーネルしか得られません。

体 $F$ が代数的に閉じていない場合、最小多項式と特性多項式は ( $F$ における) 根のみに基づいて因数分解される必要はなく、言い換えれば、 $1$ より大きい次数の既約多項式因子を持つ可能性がある。既約多項式 $P$ についても同様の同値関係が成り立つ。

$Pは$ $μA を$ 割り切る、
$Pは$ $χA を$ 割り切る、
$P (A)$ の核は少なくとも $1の$ 次元を持つ。
$P (A)$ の核の次元は少なくとも $deg(P)$ である。

特性多項式と同様に、最小多項式は基底体に依存しません。言い換えれば、行列をより大きな体における係数を持つ行列とみなしても、最小多項式は変わりません。その理由は、特性多項式の場合（行列式の定義からすぐにわかる）とは異なり、最小多項式は $A$ のべき乗間の線形従属関係によって決定されるためです。基底体を拡張しても、そのような関係が新たに導入されることはなく（もちろん、既存の関係が削除されることもありません）。

最小多項式は特性多項式と同じになることが多いですが、常にそうとは限りません。たとえば、 $Aが$ 単位行列 $aI n$ の倍数である場合、 $aI$ $n$ $-$ $A$ $= 0$ の核がすでに空間全体であるため、その最小多項式は $X$ $-$ $a$ になります。一方、その特性多項式は $($ $X$ $-$ $a$ $)$ $n$ です(唯一の固有値は $a$ であり、特性多項式の次数は常に空間の次元に等しくなります)。最小多項式は常に特性多項式を割り切ります。これは、ケイリー・ハミルトンの定理(体上の行列の場合) を定式化する一つの方法です。一方、特性多項式は常に最小多項式の何らかのべき乗を割り切ります。

正式な定義

体 $F$ 上の有限次元ベクトル空間 $V上の$ 自己準同型 $T$ が与えられたとき、 $I$ $T を$ 次のように定義される集合とする。

{\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\},

ここで、 $F [t]は体$ $F$ 上のすべての多項式の空間です。 $I T$ $はF$ $[$ $t$ $]$ の真のイデアルです。 $F$ は体なので、 $F$ $[$ $t$ $]は$ 主イデアル整域であり、したがって任意のイデアルは単一の多項式によって生成され、その多項式は $F$ の単位を除いて一意です。生成元のうちちょうど 1 つが単多項式であるため、生成元の中から特定の選択を行うことができます。したがって、最小多項式は $I$ $T$ を生成する単多項式として定義されます。これは $I$ $T$ の次数が最小の単多項式です。

アプリケーション

体 $F$ 上の有限次元ベクトル空間の自己準同型 φ $は$ 、その最小多項式が $F$ 上で異なる線形因子に完全に因数分解できる場合に限り、対角化可能である。すべての固有値 $λに対して因数$ $X$ $-$ $λ$ が 1 つしかないという事実は、 $λ$ の一般化固有空間が $λ$ の固有空間と同じであることを意味する。つまり、すべてのジョルダンブロックのサイズは $1 で$ ある。より一般的に、 $φ が$ 多項式方程式 $P$ $($ $φ$ $) = 0を満たし、$ $P が$ $F$ 上で異なる線形因子に因数分解できる場合、φ は対角化可能である。その最小多項式は $P$ の約数であり、したがって異なる線形因子に因数分解できるからである。特に、次のようになる。

$P=X^{k}-1$ :複素ベクトル空間の有限位数の自己準同型は対角化可能である。対合の特殊な場合 $k = 2については、標数が$ $2$ 以外の任意の体上のベクトル空間の自己準同型についても、これは成り立つ。 $X^{2}-1=(X-1)(X+1)$ これは、そのような体上の異なる因子への因数分解である。これは巡回群の表現論の一部である。
$P=X^{2}-X=X(X-1)$ : $φ 2 = φ$ を満たす自己準同型写像は射影と呼ばれ、常に対角化可能である（さらに、それらの固有値は $0$ と $1 のみ$ である）。
対照的に、 $\mu _{\phi }=X^{k}$ $k \geq 2$ の場合、 φ $($ 冪零自己準同型) は必ずしも対角化可能ではない。 $X^{k}$ 重複根 $0$ を持つ。

これらのケースは直接証明することもできますが、最小多項式を用いることで統一的な視点と証明が得られます。

計算

$V$ 内の非ゼロベクトル $v$ に対して、以下のように定義します。

{\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.

$この定義は、$ 真のイデアルの性質を満たしている。μ $T$ $,$ $v を$ 、それを生成する単多項式とする。

物件

$I T 、 v$ には最小多項式 $μ T$ が含まれているため、後者は $μ T 、 v$ で割り切れます。
$d が$ $v$ $、$ $T$ $($ $v$ $) 、 ...、$ $T$ $d$ $($ $v$ $)が$ 線形従属となる最小の自然数である場合、 $F$ には一意の $a$ $0$ $、$ $a$ $1$ $、 ...、$ $a$ $d$ $-1$ が存在し、
$a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0$
そしてこれらの係数については次のようになる。
$\mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.$
部分空間W を $μ T 、 v (T)$ の像とする。Wは $T$ 不変である。 $μ T 、 v (T)$ は少なくとも線形独立なベクトル $v 、 T (v) 、 ...、 T d -1 (v)$ を消滅させるので、Wの余次元は少なくとも $d$ である。
最小多項式 $μ T$ $は、 μ T 、 v$ $と、 Tを$ $W$ に制限した最小多項式 $Q$ の積です。W の $次元$ が $0$ の場合 (おそらく)、 $Q$ $= 1$ となり、したがって $μ$ $T$ $=$ $μ$ $T$ $、$ $v$ $となります。それ以外の場合は、 Q$ を再帰的に計算すれば $μ$ $T$ を求めることができます。

例

$T を、$ 標準基底上の行列を持つ $R 3$ の自己準同型と定義する。

{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.

最初の正準基底ベクトル $e 1$ $と、 T$ によるその繰り返し像を取ると、次の式が得られる。

e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ および }}\quad T^{3}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}

そのうち最初の３つは容易に線形独立であることがわかり、したがって $R$ $3$ 全体を張る。最後のものは必然的に最初の３つの線形結合であり、実際には

T 3 \cdot e 1 = -4 T 2 \cdot e 1 - T \cdot e 1 + e 1

、

となることによって：

μ T 、 e 1 = X 3 + 4 X 2 + X - I

。

これは実際、最小多項式 $μ T$ と特性多項式 $χ T$ でもあります。実際、 $μ T 、 e 1$ $はμ T$ を割り切り、μ Tは $χ T$ を割り切ります。最初と最後は次数が $3$ であり、すべて単項式であるため、すべて同じでなければなりません。もう 1 つの理由は、一般に、 $T$ の任意の多項式がベクトル $v$ を消滅させる場合、 $T \cdot v$ も消滅させる( $v$ を消滅させるという式に $Tを適用するだけ) ため、反復により、$ $v$ の $T$ による反復イメージによって生成される空間全体が消滅するということです。この場合、 $v$ $=$ $e$ $1の場合、その空間は$ $R$ $3$ 全体であるため、 $μ$ $T$ $、$ $e$ $1$ $($ $T$ $) = 0$ であることがわかっています。実際、完全な行列に対して、 $T$ $3$ $+ 4$ $T$ $2$ $+$ $T$ $-$ $I$ $3$ がゼロ行列であることを確認できます。

{\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

参考文献

ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556

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