スピン（物理学）

スピンとは、素粒子、つまりハドロン、原子核、原子などの複合粒子が持つ角運動量の固有の形態である。 ^{[1] [2] ：183–184}スピンは量子化されており、スピンとの相互作用の正確なモデルには相対論的量子力学または量子場の理論が必要である。

電子 スピン角運動量の存在は、シュテルン・ゲルラッハ実験などの実験から推測されます。この実験では、銀原子は軌道角運動量を持たないにもかかわらず、2つの個別の角運動量を持つことが観測されました。^[3]相対論的スピン統計定理は、電子スピンの量子化とパウリの排他原理を結び付けています。つまり、排他性の観測は半整数スピンを意味し、半整数スピンの観測は排他性を意味します。

スピンは、光子などの一部の粒子ではベクトルとして数学的に記述され、電子などの他の粒子ではスピノルまたはビスピノルとして記述されます。スピノルとビスピノルはベクトルと同様に動作します。つまり、一定の大きさを持ち、回転によって変化します。ただし、非従来型の「方向」を使用します。特定の種類のすべての基本粒子は、方向が変わる場合でも、同じ大きさのスピン角運動量を持ちます。これらは、粒子にスピン量子数を割り当てることによって示されます。^{[2] : 183–184}

スピンのSI単位系は、古典的な角運動量と同じです (つまり、N · m · s、J · s 、またはkg · m ² · s ⁻¹ )。量子力学では、角運動量とスピン角運動量は、プランク定数に比例する離散的な値を取ります。実際には、スピンは通常、スピン角運動量を縮小プランク定数ħで割った無次元スピン量子数として表されます。多くの場合、「スピン量子数」は単に「スピン」と呼ばれます。

電子スピンの最も初期のモデルは回転する荷電質量を想定していたが、詳細に検討するとこのモデルは当てはまらない。必要な空間分布は電子半径の制限と一致しず、必要な回転速度は光速を超えている。^[4]標準モデルでは、基本粒子はすべて「点状」であると考えられており、周囲の場を通して効果を発揮する。^[5]質量回転に基づくスピンのモデルはどれも、このモデルと整合している必要がある。

量子スピンの歴史の中心人物であるヴォルフガング・パウリは、当初、実験的観察を説明するために導入した「自由度」が回転に関連しているという考えを否定した。彼はそれを「古典的に記述できない2値性」と呼んだ。後に彼はそれが角運動量に関連していることを認めたが、スピンを抽象的な性質とみなすことを主張した。^{[6]このアプローチにより、パウリは基本的な}パウリの排他原理の証明を開発することができ、これは現在ではスピン統計定理と呼ばれている。^[7]振り返ってみると、この主張と彼の証明のスタイルは、対称性の性質から導かれた抽象的な量子の性質が支配的な現代の粒子物理学の時代を開始した。具体的な解釈は二次的でオプションになった。^[6]

スピンの最初の古典的モデルは、通常の用語の使用法から想像できるように、軸の周りを回転する小さな剛体粒子を提案した。角運動量も古典場から計算できる。^{[8] [9] : 63}フレデリック・ベリンファンテのアプローチを場の角運動量計算に適用することで、ハンス・C・オハニアン氏は「スピンは本質的に波動特性であり、電子の波動場における電荷の循環流によって生成される」ことを示した。^[10]このスピンの同じ概念は、水中の重力波にも適用できる。「スピンは、水粒子の波長以下の円運動によって生成される」。^[11]

角運動量の連続的な値を許可する古典的な波動場循環とは異なり、量子波動場は離散的な値のみを許可します。^[10]その結果、スピン状態へのまたはスピン状態からのエネルギー転送は常に固定された量子ステップで発生します。許可されるステップはわずかです。多くの定性的な目的のために、スピン量子波動場の複雑さは無視でき、システム特性は、以下の量子数で説明するように、「整数」または「半整数」スピンモデルの観点から議論できます。

電子のスピン特性の定量的な計算にはディラックの相対論的波動方程式が必要である。^[7]

名前が示すように、スピンはもともと、ある軸の周りの粒子の回転として考えられていました。歴史的には、軌道角運動量は粒子の軌道に関連していました。^{[12] : 131}機械モデルに基づく名前は生き残っていますが、物理的な説明は残っていません。量子化は、スピンと軌道角運動量の両方の特性を根本的に変更します。

素粒子は点状であるため、自己回転は明確に定義されていません。しかし、スピンは、スピンSに平行な軸の周りの角度θの回転に関して、粒子の位相が角度に依存することを意味します。これは、運動量を位置の位相依存性として、また軌道角運動量を角度位置の位相依存性として 量子力学的に解釈することと同等です。${\displaystyle e^{iS\theta }\ ,}$

フェルミオンの場合、図はそれほど明確ではありません。エーレンフェストの定理から、角速度はハミルトニアンの共役運動量に対する微分に等しく、これは全角運動量演算子 J = L + Sです。したがって、ハミルトニアンH がスピンSに何らかの依存性を持つ場合、⁠  ∂H ​ / ∂S ​ ⁠ は  ゼロ以外でなければならない。したがって、古典力学、ハミルトニアンにスピンが存在すると、実際の角速度、つまり実際の物理的回転、つまり時間経過に伴う位相角θ。しかし、自由電子の場合、これが当てはまるかどうかは不明瞭である。なぜなら、電子の場合、| S |² は定数であるからである⁠  1 /2⁠  ℏであり、変化できないので部分(∂) は存在できないと判断する人もいるかもしれない。したがって、ハミルトニアンにそのような項が含まれていなければならないかどうか、また古典力学量子力学にまで及ぶ(任意の粒子の固有スピン角運動量Sは軌道角運動量Lのようなより物理的な量ではなく、ディラック方程式数学的解における「スピノルディラック方程式に現れるためディラック場として扱われる電子の相対論的ハミルトニアンはSへの依存性を含むと解釈できる。^[9]

スピンは角運動量の量子化の数学的法則に従います。スピン角運動量の具体的な特性は次のとおりです。

• スピン量子数は半整数または整数値のいずれかを取ることができます。
• 素粒子のスピンの方向は変えられますが、スピンの大きさは変えられません。
• 荷電粒子のスピンは、g因子が1とは異なる磁気双極子モーメントに関連付けられています。 （古典的な文脈では、これは回転する物体の内部電荷と質量の分布が異なることを意味します。 ^[4]）

スピン量子数の従来の定義はs = ⁠ん/2⁠、ここでn は任意の非負整数です。したがって、 sの許容値は0、 ⁠です。1/2⁠、1、 ⁠3/2⁠ 、2 などです。素粒子のsの値は粒子の種類によってのみ決まり、既知の方法で変更することはできません (以下で説明するスピンの方向とは対照的です)。あらゆる物理システムのスピン角運動量Sは量子化されています。Sに許容される値は、 h がプランク定数、 が縮小プランク定数です。対照的に、軌道角運動量はsの整数値、つまりnの偶数値のみを取ります。 $${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

半整数スピンを持つ粒子、例えば⁠1/2⁠、⁠3/2⁠、⁠5/2⁠ 、はフェルミオンとして知られ、0、1、2などの整数スピンを持つ粒子はボソンとして知られています。この2つの粒子ファミリーは異なるルールに従い、私たちの周りの世界で大まかに異なる役割を果たします。2つのファミリーの主な違いは、フェルミオンはパウリの排他原理に従うことです。つまり、同じ量子数（大まかに言えば、同じ位置、速度、スピン方向を持つという意味）を同時に持つ2つの同一のフェルミオンは存在できません。フェルミオンはフェルミ-ディラック統計のルールに従います。対照的に、ボソンはボーズ-アインシュタイン統計のルールに従い、そのような制限がないため、同一の状態で「まとまる」ことがあります。また、複合粒子は、その構成粒子とは異なるスピンを持つことができます。たとえば、基底状態のヘリウム4原子はスピン0を持ち、それを構成するクォークと電子がすべてフェルミオンであるにもかかわらず、ボソンのように動作します。

これには重大な結果が伴います:

• クォークとレプトン（電子とニュートリノを含む）は、古典的には物質として知られているものを構成するもので、すべてスピン を持つフェルミオンである。1/2⁠「物質は空間を占める」という一般的な考えは、実際には、フェルミオンが同じ量子状態になるのを防ぐためにこれらの粒子に作用するパウリの排他原理から来ています。さらに圧縮するには、電子が同じエネルギー状態を占める必要があり、そのため、フェルミオンが過度に接近するのを防ぐ一種の圧力（電子の縮退圧力と呼ばれることもあります）が作用します。
  他のスピンを持つ基本フェルミオン（⁠3/2⁠、⁠5/2⁠など）が存在することは知られていない。
• 力を運ぶと考えられている素粒子はすべてスピン 1 のボソンです。これには、電磁力を運ぶ光子、グルーオン(強い力)、W ボソンと Z ボソン(弱い力) が含まれます。ボソンが同じ量子状態を占める能力は、同じ量子数 (同じ方向と周波数) を持つ多くの光子を整列させるレーザー、ヘリウム4 原子がボソンであるために生じる超流動液体ヘリウム、および電子のペア(個別にはフェルミオン) が単一の複合ボソンとして機能する超伝導で使用されています。
  他のスピン（0、2、3など）を持つ素粒子は、理論的にはかなりの扱いを受けており、それぞれの主流理論の中で十分に確立されているものの、歴史的に存在することは知られていなかった。特に、理論家はスピン2の重力子（一部の量子重力理論によって存在が予測されている）と、スピン0のヒッグス粒子（電弱対称性の破れを説明する）を提案した。2013年以来、スピン0のヒッグス粒子は存在が証明されたと考えられてきた。^[13]これは、自然界に存在することが知られている最初のスカラー素粒子（スピン0）である。
• 原子核は半整数または整数の核スピンを持ち、そのため原子核はフェルミオンまたはボソンのいずれかになります。

スピン統計定理は粒子をボソンとフェルミオンの2つのグループに分け、ボソンはボーズ・アインシュタイン統計に従い、フェルミオンはフェルミ・ディラック統計（したがってパウリの排他原理）に従う。具体的には、この定理では、半整数スピンを持つ粒子はパウリの排他原理に従うが、整数スピンを持つ粒子は従わないことが必要である。例えば、電子は半整数スピンを持ち、パウリの排他原理に従うフェルミオンであるが、光子は整数スピンを持ち、従わない。この定理は1940年にヴォルフガング・パウリによって導き出されたもので、量子力学と特殊相対性理論の両方に依存している。パウリは、スピンと統計のこの関係を「特殊相対性理論の最も重要な応用の1つ」と表現した。^[14]

スピンを持つ粒子は、古典電気力学における回転する荷電体のように、磁気双極子モーメントを持つことができます。これらの磁気モーメントは、シュテルン・ゲルラッハ実験における不均一磁場による粒子の偏向や、粒子自体によって生成される磁場の測定など、 いくつかの方法で実験的に観察できます。

スピンの固有磁気モーメントμ ⁠1/2⁠電荷q、質量m、スピン角運動量Sを^{持つ粒子は[15]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

ここで、無次元量 g _{s は}スピンg因子と呼ばれます。軌道回転のみの場合、これは 1 になります (質量と電荷が等しい半径の球を占めると仮定)。

電子は荷電素粒子であり、ゼロではない磁気モーメントを持っています。量子電気力学の理論の成功の1つは、電子のg因子を正確に予測できることです。これは実験的に次の値を持つことが決定されています。−2.002 319 304 360 92 (36)、括弧内の数字は、 1標準偏差における最後の2桁の測定不確かさを示しています。^[16] 2という値は、電子のスピンと電磁気的性質を結びつける基本方程式であるディラック方程式から生じており、−2は、電子自身の電磁場や仮想粒子を含む周囲の量子場との電子の相互作用から生じる。^[17]

複合粒子もスピンに関連した磁気モーメントを持っています。特に、中性子は電気的に中性であるにもかかわらず、ゼロではない磁気モーメントを持っています。この事実は、中性子が素粒子ではないことを初期から示唆していました。実際、中性子は電荷を帯びた粒子であるクォークで構成されています。中性子の磁気モーメントは、個々のクォークのスピンと軌道運動から生じます。

ニュートリノは素粒子であり、電気的に中性である。ニュートリノの質量がゼロでないことを考慮した最小限に拡張された標準モデルでは、ニュートリノの磁気モーメントは次のように予測される。 ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

ここで、μ _νはニュートリノ磁気モーメント、m _νはニュートリノ質量、μ _Bはボーア磁子である。しかし、電弱スケールを超える新しい物理学は、ニュートリノ磁気モーメントを大幅に高める可能性がある。ニュートリノ磁気モーメントが約 10 ⁻¹⁴  μ _Bより大きいと、ニュートリノ質量への大きな放射寄与も引き起こすため、「不自然」であることがモデルに依存しない方法で示される。ニュートリノ質量は最大で約 10 −14 μ B であることが知られているため、1 eV/ c ²では、放射補正によるニュートリノ質量への大きな寄与を防ぐために微調整が必​​要になる。 ^[21]ニュートリノ磁気モーメントの測定は活発な研究分野である。実験結果によると、ニュートリノ磁気モーメントは 電子の磁気モーメントの 1.2 × 10 ^−10倍。

一方、光子やZボソンなど、スピンはあるが電荷を持たない素粒子は磁気モーメントを持ちません。

通常の材料では、個々の原子の磁気双極子モーメントは、各双極子がランダムな方向を向いており、全体の平均がゼロに非常に近いため、互いに打ち消し合う磁場を生成します。しかし、キュリー温度以下の強磁性材料は、原子の双極子モーメントが局所的に自発的に整列する磁区を示し、その磁区からマクロ的なゼロではない磁場を生成します。これらは、私たちがよく知っている通常の「磁石」です。

常磁性材料では、個々の原子の磁気双極子モーメントは、外部から加えられた磁場と部分的に整列します。一方、反磁性材料では、個々の原子の磁気双極子モーメントは、たとえエネルギーが必要であっても、外部から加えられた磁場と反対の方向に整列します。

このような「スピンモデル」の挙動の研究は、凝縮物質物理学において盛んに行われている研究分野です。たとえば、イジングモデルは、上と下の 2 つの状態しか持たないスピン (双極子) を記述しますが、ハイゼンベルクモデルでは、スピンベクトルはどの方向を向いてもかまいません。これらのモデルには多くの興味深い特性があり、相転移の理論において興味深い結果をもたらしています。

古典力学では、粒子の角運動量は大きさ（物体がどれだけ速く回転しているか）だけでなく、方向（粒子の回転軸の上か下か）も持っています。量子力学のスピンも方向に関する情報を持っていますが、より微妙な形で持っています。量子力学では、スピン粒子の角運動量の成分は、任意の方向に沿って測定され、次の値しか取れないとされています^[22]

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

ここで、Si_はi番目の軸に沿ったスピン成分（x、y、またはz のいずれか）、s _iはi番目の軸に沿ったスピン投影量子数、sは主スピン量子数（前のセクションで説明）です。通常、選択される方向はz 軸です。

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

ここで、S _zはz軸に沿ったスピン成分 、s _{z は}z軸に沿ったスピン投影量子数です 。

s _zには2 s + 1通りの値があることがわかります。「 2 s + 1」という数字は、スピン系の多重度です。たとえば、スピンには 2 つの値しかありません。1/2⁠粒子: s _z = + ⁠1/2⁠そしてs _z = − ⁠1/2これらは、スピン成分がそれぞれ + z方向または - z方向を向いている量子状態に対応し、しばしば「スピンアップ」および「スピンダウン」と呼ばれます。スピンの場合、⁠3/2⁠粒子、例えばデルタバリオンの場合、可能な値は + ⁠3/2⁠、+ ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠3/2⁠ .

与えられた量子状態に対して、各軸に沿ったスピン成分の期待値、すなわち を成分とするスピン ベクトルを考えることができます。このベクトルは、回転軸の古典的な概念に対応して、スピンが向いている「方向」を表します。スピン ベクトルは、直接測定できないため、実際の量子力学計算ではあまり役に立ちません。s x、s _y、s _{z は、}それらの間の量子不確定性関係のため、同時に確定した値を持つことはできません_。ただし、シュテルン・ゲルラッハ装置の使用などにより、同じ純粋な量子状態に置かれた統計的に大規模な粒子の集合の場合、スピン ベクトルには明確に定義された実験的意味があります。これは、集合内のすべての粒子を検出する最大可能確率 (100%) を達成するために、後続の検出器を向ける必要がある通常の空間の方向を指定します。スピン⁠${\textstyle \langle S\rangle }$${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2⁠粒子の場合、スピン ベクトルと検出器の間の角度が増加するにつれて、この確率は徐々に低下し、180° の角度、つまりスピン ベクトルと反対方向に向いた検出器の場合、コレクションから粒子を検出する期待値は最小の 0% に達します。

定性的な概念として、スピン ベクトルは古典的に描くのが容易なため、しばしば便利です。たとえば、量子力学的スピンは、古典的なジャイロ効果に類似した現象を示すことがあります。たとえば、電子を磁場内に置くと、電子に一種の「トルク」を及ぼすことができます(磁場は電子の固有の磁気双極子モーメントに作用します。次のセクションを参照してください)。その結果、スピン ベクトルは古典的なジャイロスコープのように歳差運動をします。この現象は、電子スピン共鳴(ESR) として知られています。原子核内の陽子の同等の挙動は、核磁気共鳴(NMR) 分光法とイメージング で使用されます。

数学的には、量子力学的なスピン状態はスピノルと呼ばれるベクトルのような物体によって記述されます。座標回転におけるスピノルとベクトルの挙動には微妙な違いがあります。たとえば、スピンを回転させると、1/2⁠粒子を 360° 回転させても同じ量子状態には戻らず、量子位相が反対の状態に戻ります。これは原理的には干渉実験で検出可能です。粒子を正確に元の状態に戻すには、720° 回転する必要があります。(プレート トリックとメビウスの帯は非量子的な類似点を示します。) スピン 0 粒子は、トルクが適用された後でも、単一の量子状態しか持てません。スピン 2 粒子を 180° 回転させると、同じ量子状態に戻ることができ、スピン 4 粒子を同じ量子状態に戻すには 90° 回転させる必要がある。スピン 2 粒子は、180° 回転した後でも同じように見えるまっすぐな棒に類似しており、スピン 0 粒子は、どの角度で回転しても同じに見える球体として想像できます。

スピンは、軌道角運動量の場合と同様の交換関係^[23]に従う。 ここで、ε _{jkl は}レヴィ・チヴィタ記号である。従って、（角運動量の場合と同様に）およびの固有ベクトル（全S基底のケットとして表される）は^{[2]である： 166}$${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

これらの固有ベクトルに作用する スピン上昇演算子とスピン下降演算子は 次式を与える。^{[2] : 166}$${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

しかし、軌道角運動量とは異なり、固有ベクトルは球面調和関数ではありません。 θとφの関数ではありません。 sとm _sの半整数値を除外する理由もありません。

すべての量子力学的粒子は固有のスピンを持っています（ただし、この値はゼロに等しい場合があります）。任意の軸上のスピンの投影は、縮小プランク定数の単位で量子化されるため、粒子の状態関数は、 ではなく となります。ただし、 は次の離散集合の値のみを取ることができます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$${\displaystyle s_{z}}$$${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

ボソン（整数スピン）とフェルミオン（半整数スピン）を区別します。相互作用プロセスで保存される全角運動量は、軌道角運動量とスピンの合計になります。

スピンに関連する量子力学演算子は、1/2⁠ 観測可能なものは、 直交座標成分のどこに あるか$${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$$${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

スピンの特殊なケースについては、1/2⁠粒子、σ _x、σ _y、σ _{z は}3つのパウリ行列です。 $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

パウリの排他原理は、スピンsを持つN個の同一の粒子のシステムの波動関数は、 N個の粒子 のうちの2つを交換すると、次のように変化しなければならないと述べている。${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$$${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

したがって、ボソンの場合、前因子(-1) ^{2 s は}+1 に減少し、フェルミオンの場合は-1 に減少します。N粒子状態関数のこの置換公理は、化学元素の 周期表など、日常生活で最も重要な結果をもたらします。

上で述べたように、量子力学によれば、任意の方向に沿って測定された角運動量の成分は、いくつかの離散的な値しか取り得ない。したがって、粒子のスピンの最も便利な量子力学的記述は、与えられた軸上の固有角運動量の投影の与えられた値を見つける振幅に対応する複素数の集合を使用することである。たとえば、スピンの場合、1/2⁠粒子の場合、角運動量の投影が+ ⁠に等しい振幅を与える 2 つの数値a _{±1/2 が}必要になります。ħ/2⁠および− ⁠ħ/2⁠、要件を満たす $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

スピンsを持つ一般的な粒子の場合、このようなパラメータは2 s + 1 個必要になります。これらの数は軸の選択に依存するため、この軸を回転させると、それらは互いに非自明に変換されます。変換法則は線形でなければならないことは明らかなので、各回転に行列を関連付けることで表すことができます。回転 A と B に対応する 2 つの変換行列の積は、回転 AB を表す行列と等しくなければなりません (位相を除いて)。さらに、回転は量子力学的な内積を保存するため、変換行列も同様です。 $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

数学的に言えば、これらの行列は回転群 SO(3)のユニタリ射影表現を提供します。このような各表現は、SO(3) の被覆群の表現であるSU(2)に対応します。^{[24] SU(2) の}n次元既約表現は各次元に1 つありますが、この表現は奇数nに対してn次元実数、偶数nに対してn次元複素数です（ したがって実数次元は2 nです）。法線ベクトル を持つ平面での角度θによる回転に対して、 、およびS はスピン演算子のベクトルです。 ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

3次元空間での一般的な回転は、オイラー角を使用してこのタイプの演算子を組み合わせることで構築できます。 $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

この演算子群の既約表現は、ウィグナーD行列によって与えられる。 ここで 、はウィグナーの小さなd行列 である。γ = 2πおよびα = β = 0 、すなわちz軸の周りの完全な回転の場合 、ウィグナーD行列の要素は次のようになる ことに注意されたい。$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$$${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

一般的なスピン状態は、 mが明確な状態の重ね合わせとして表すことができることを思い出すと、s が整数であれば、 mの値はすべて整数であり、この行列は恒等演算子に対応することがわかります。しかし、s が半整数であれば、mの値もすべて半整数であり、すべてのmに対して(−1) ^{2 m} = −1となり、したがって 2 π回転すると、状態はマイナス符号を取得します。この事実は、スピン統計定理の証明の重要な要素です。

一般的なローレンツ変換の下でのスピンの振る舞いを決定するために同じアプローチを試すこともできますが、すぐに大きな障害に遭遇するでしょう。SO(3)とは異なり、ローレンツ変換群SO(3,1)は非コンパクトであり、したがって忠実でユニタリな有限次元表現を持ちません。

スピンの場合- ⁠1/2⁠粒子の場合、有限次元表現とこの表現によって保存されるスカラー積の両方を含む構成を見つけることができます。各粒子に 4 成分のディラック スピノル ψ を関連付けます。これらのスピノルは、法則に従ってローレンツ変換によって変換されます。 ここで、γ _νはガンマ行列、ω _μνは変換をパラメーター化する反対称 4 × 4 行列です。スカラー積が保存されることが示されます 。ただし、正定値ではないため、表現はユニタリではありません。 $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

スピンの（エルミート）パウリ行列のそれぞれは、1/2⁠粒子には2つの固有値、+1と-1があります。対応する正規化された 固有ベクトルは $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(定数を掛けた固有ベクトルはどれも固有ベクトルなので、全体の符号についてはあいまいさが残ります。この記事では、符号があいまいな場合は最初の要素を虚数で負にする規則を選択します。現在の規則はSymPyなどのソフトウェアで使用されていますが、Sakurai や Griffiths などの多くの物理学の教科書では、実数で正にすることを好みます。)

量子力学の公理によれば、 x、y、またはz軸上の電子スピンを測定するように設計された実験では、その軸上の 対応するスピン演算子（S _x、S _{y 、}またはS _{z ）の固有値のみが得られます。つまり、} ⁠ħ/2⁠または– ⁠ħ/2⁠ .粒子の量子状態（スピンに関して）は、2成分スピノルで表すことができます。 $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

この粒子のスピンを特定の軸（この例ではx軸）に関して測定すると 、そのスピンが次のように測定される確率は⁠ħ/2⁠はちょうど です。それに応じて、そのスピンが次のように測定される確率は– ⁠${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ħ/2⁠は です。測定後、粒子のスピン状態は対応する固有状態に収束します。結果として、特定の軸に沿った粒子のスピンが特定の固有値を持つことが測定された場合、他の軸に沿ってスピンの測定が行われない限り、すべての測定で同じ固有値が得られます ( などであるため)。 ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

任意の軸方向に沿ったスピンを測定する演算子は、パウリのスピン行列から簡単に得られます。u = ( u _x , u _y , u _z )を任意の単位ベクトルとします。この方向のスピンの演算子は単純に $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

演算子S _{u の}固有値は± ⁠ħ/2⁠、通常のスピン行列と同じです。任意の方向のスピンの演算子を見つけるこの方法は、より高いスピン状態に一般化され、 3 つのx、 y、 z軸方向の 3 つの演算子のベクトルと方向のドット積を取得します。

スピンの正規化されたスピノル- ⁠1/2⁠ ( u _x , u _y , u _z )方向（これはスピンダウン以外のすべてのスピン状態で機能し、スピンダウンの場合は⁠となる）0/0⁠）は $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

上記のスピノルは、通常の方法でσ _u行列を対角化し、固有値に対応する固有状態を見つけることによって得られます。量子力学では、ベクトルは正規化係数で乗算されると「正規化」され、その結果ベクトルの長さは 1 になります。

パウリ行列は交換しないので、異なる軸に沿ったスピンの測定は互換性がありません。つまり、たとえば、x 軸に沿ったスピンがわかっていて、y軸に沿ったスピンを測定すると、 x軸のスピン に関する以前の知識が無効になります 。これは、パウリ行列の固有ベクトル（つまり、固有状態）の特性からわかります。 $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

物理学者が粒子のスピンをx軸に沿って測定すると 、例えば、⁠ħ/2⁠、粒子のスピン状態は固有状態 に崩壊します。その後、粒子のスピンをy 軸に沿って測定すると、スピン状態はまたは の、それぞれの確率は⁠${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2⁠ 。例では、以下を測定するとします。 ⁠ħ/2⁠。ここで再び粒子のX 軸に沿ったスピンを測定すると、測定する確率は次のようになります。 ⁠ħ/2⁠または− ⁠ħ/2⁠はそれぞれ⁠1/2⁠ (つまり、それぞれとです)。これは、 x軸に沿ったスピンがどちらの固有値も等しい確率で持つと測定されるため、 x軸 に沿ったスピンの元の測定値がもはや有効ではない ことを意味します。 ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

スピン- ⁠1/2⁠演算子S = ⁠ħ/2⁠ σ はSU(2)の基本表現を形成します。この表現のクロネッカー積を自身と繰り返し取ることで、すべての高次の既約表現を構築できます。つまり、このスピン演算子とラダー演算子を使用して3 次元空間の高スピン系の結果として得られるスピン演算子を、任意の大きさのsに対して計算できます。たとえば、2 つのスピンのクロネッカー積を取ると、1/2⁠ は4 次元表現を生成し、これは 3 次元スピン 1 (三重項状態) と 1 次元スピン 0 表現 (一重項状態) に分離可能です。

結果として得られる既約表現は、z 基底における次のスピン行列と固有値を生成します。